Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу

Жоғары дәрежелі теңдеулер

Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу үшін мынадай тәсілдер қолданылады:

  • Көбейткіштерге жіктеу тәсілі
  • Босмүшеге қарап көпмүшенің түбірін табу ()
  • Жаңа айнымалы енгізу


Көбейткіштерге жіктеу тәсілі

Оң жағы 0-ге тең болатындай етіп стандарт түрде келтіргеннен кейін мен, қысқаша көбейту формуласы көмегімен көбейткіштерге жіктеп аламыз. Көбейтіндіні 0-ге тең екенін ескере отырып, әр көбейткішті 0-ге теңестіру арқылы теңдеуді шешеміз.

3.11. Теңдеуді шешіңіз: $x^3-3 x+2=0$.

Шешуі

Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу

$$x\left( {{x^2} - 1} \right) - 2(x - 1) = 0$$ $$x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1) = 0$$ $$(x - 1)\left( {{x^2} + x - 2} \right) = 0$$ $$\left[ \begin{array}{l}x - 1 = 0,\\{x^2} + x - 2 = 0;\end{array} \right.\quad \left[ \begin{array}{l}x = 1,\\{x_1} = - 2,\quad {x_2} = 1.\end{array} \right.$$

Жауабы: $\{ - 2;1\} $.


3.12. Теңдеуді шешіңіз: $(2 x+1)\left(x^2-7 x+6\right)=(x-1)^2(x+0,5)$.

Шешуі

$$(2x + 1)\left( {{x^2} - 7x + 6} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}(x + 0,5)$$ $$2(x + 0,5)\left( {{x^2} - 7x + 6} \right) - {\left( {x - 1} \right)^2}(x + 0,5) = 0$$ $$(x + 0,5)\left( {2{x^2} - 14x + 12 - {x^2} + 2x - 1} \right) = 0$$ $$(x + 0,5)\left( {{x^2} - 12x + 11} \right) = 0$$ $${\begin{array}{*{20}{l}}{x + 0,5 = 0,}\\{{x^2} - 12x + 11 = 0;}\end{array}\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 0,5}\\{{x_1} = 1,\quad {x_2} = 11}\end{array}} \right.}$$

Жауабы: $\{-0,5 ; 1 ; 11\}$.


3.13. Теңдеуді шешіңіз: $x^3-5 x^2+9 x-5=0$.

Шешуі

Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу

$${x^2}(x - 1) - 4x(x - 1) + 5(x - 1) = 0$$ $$(x - 1)\left( {{x^2} - 4x + 5} \right) = 0$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 0}\\{{x^2} - 4x + 5 = 0}\end{array}} \right.\quad \left[ \begin{array}{l}x = 1,\\D \lt 0 \quad \text{болғандықтан, шешімі жоқ.}\end{array} \right.$$

Жауабы: $x=1$.


3.14. Теңдеуді шешіңіз: $(x-1)(x-2)^3+(1-x)(x-3)^3=13 x-13$.

Шешуі

$$(x - 1){(x - 2)^3} - (x - 1){(x - 3)^3} - 13(x - 1) = 0$$ $$(x - 1)\left( {{{(x - 2)}^3} - {{(x - 3)}^3} - 13} \right) = 0$$ $$(x - 1)\left( {{x^3} - 6{x^2} + 12x - 8 - {x^3} + 9{x^2} - 27x + 27 - 13} \right) = 0$$ $$(x - 1)\left( {3{x^2} - 15x + 6} \right) = 0$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 0,}\\{{x^2} - 5x + 2 = 0;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,}\\{{x_{1,2}} = \frac{{5 \pm \sqrt {17} }}{2}.}\end{array}} \right.$$

Жауабы: $\left\{ {1;\quad \frac{{5 \pm \sqrt {17} }}{2}} \right\}$


3.15. Теңдеуді шешіңіз: $x^5+x^4-6 x^3-6 x^2+8 x+8=0$.

Шешуі

$${x^5} + {x^4} - 6{x^3} - 6{x^2} + 8x + 8 = 0$$ $${x^4}(x + 1) - 6{x^2}(x + 1) + 8(x + 1) = 0$$ $$\left( {{x^4} - 6{x^2} + 8} \right)(x + 1) = 0$$ $$\left( {{x^4} - 2{x^2} - 4{x^2} + 8} \right)(x + 1) = 0$$ $$\left( {{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - 4\left( {{x^2} - 2} \right)} \right)(x + 1) = 0$$ $$\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)(x + 1) = 0$$ $${x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 ;\quad {x_{3,4}} = \pm 2;\quad {x_5} = - 1.$$

Жауабы: $\left\{ { - 1;\quad \pm \sqrt 2 ;\quad \pm 2} \right\}$



Босмүше арқылы көпмүшенің түбірін табу (Безу теоремасы)

Теорема. Егер бүтін коэффициентті $x^n+a_1 x^{n-1}+a_2 x^{n-2}+\ldots+a_n=0$ теңдеуінің бүтін түбірлері бар болса, онда ол түбірлер — теңдеудегі босмүшенің бөлгіштері болады.

3.16. Теңдеуді шешіңіз: $x^3+3 x^2-2 x-2=0$.

Шешуі

$x^3+3 x^2-2 x-2=0$ теңдеуінің коэффициенттері — бүтін. Олай болса, теңдеудің түбірлері босмүшенің, яғни 2 санының бөлгіштері болуы мүмкін: $\pm 1, \, \pm 2.$

Осы сандарды теңдеудегі $x$-тің орнына қойып, теңдік дұрыс орындалғанша тексеріп шығамыз.

$x=1$ үшін $1+3-2-2=0.$

Теңдік орындалды, демек, $x=1$ осы теңдеудің бір түбірі.

Олай болса, $x^3+3 x^2-2 x-2$ көпмүшесі $x-1$ көпмүшесіне қалдықсыз бөлінеді. Көпмшүшелерді бұрыштап бөлу ережесін қолданып, бөлейік:

Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу

Яғни, $$x^3+3 x^2-2 x-2=(x-1)\left(x^2+4 x+2\right)$$

$$(x-1)\left(x^2+4 x+2\right)=0$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 = 0,}\\{{x^2} + 4x + 2 = 0;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,}\\{{x_{1,2}} = - 2 \pm \sqrt 2 .}\end{array}} \right.$$

Жауабы: $\{1 ;\, -2 \pm \sqrt{2}\}$.


3.17. Теңдеуді шешіңіз: $x^3-x^2-8 x+12=0$.

Шешуі

Теңдеудің түбірлерін 12-нің бөлгіштерінің ішінен іздейміз: $\pm 1, \,\pm 2,\, \pm 3,\, \pm 4,\, \pm 6,\, \pm 12.$

Осы мәндерді қойып, тексеріп көрейік:

$x=1: \quad 1-1-8+12 \ne 0$ түбірі болмайды;

$x=-1: \quad -1-1-8+12 \ne 0$ түбірі болмайды;

$x=2: \quad 8-4-16+12=0.$

Яғни, $x=2$ саны $x^3-x^2-8 x+12=0$ теңдеуінің түбірі болады. Жоғарыда келтірілгендегідей, $x^3-x^2-8 x+12$ көпмүшесін $x-2$ көпмүшесіне бұрыштап бөлеміз.

Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу

Бұдан, $$x^3-x^2-8 x+12=(x-2)\left(x^2+x-6\right)$$ $$(x - 2)\left( {{x^2} + x - 6} \right) = 0$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2 = 0,}\\{{x^2} + x - 6 = 0;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2,}\\{{x_1} = 2,\quad {x_2} = - 3.}\end{array}} \right.$$

Жауабы: $\{ { - 3;\,2} \}$.



Жаңа айнымалы енгізу әдісі

Теңдеуден қайталанатын көпмүшелер жұбын тауып, оны жаңа айнымалымен өрнектеп алу керек.

3.18. Теңдеуді шешіңіз: $\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x-3\right)=12$.

Шешуі

$x^2+x-3=a$ жаңа айнымалысын енгіземіз. Онда берілген теңдеу мына түрге келеді:

$$(a + 1)a = 12$$ $${a^2} + a - 12 = 0$$ $${a_1} = - 4,\quad {a_2} = 3$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x - 3 = - 4,}\\{{x^2} + x - 3 = 3;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1 = 0,}\\{{x^2} + x - 6 = 0;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\text{шешімі жоқ},}\\{{x_1} = - 3,\quad {x_2} = 2.}\end{array}} \right.$$

Жауабы: $\{-3 ; 2\}$.


3.19. Теңдеуді шешіңіз: $\left(x^2+3 x\right)^2-14 x^2-42 x+40=0$.

Шешуі

$x^2+3 x=a$ жаңа айнымалысын енгіземіз.

$${a^2} - 14a + 40 = 0$$ $${a_1} = 4,\quad {a_2} = 10$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 3x = 4,}\\{{x^2} + 3x = 10;}\end{array} \Rightarrow } \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 3x - 4 = 0,}\\{{x^2} + 3x - 10 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = - 4,}&{{x_2} = 1,}\\{{x_3} = - 5,}&{{x_4} = 2.}\end{array}} \right.$$

Жауабы: $\{-5 ;\, -4 ;\, 1 ;\, 2\}$.


Кейбір күрделі есептерде алдымен жаңа айнымалы енгізетін жағдайға келтіріп алу керек.

3.20. Теңдеуді шешіңіз: $\left(x^2+2 x\right)^2-(x+1)^2=55$.

Шешуі

Алдымен теңдеуді мына түрде жазып аламыз: $\left(x^2+2 x\right)^2-\left(x^2+2 x+1\right)=55$.

$x^2+2 x=a$ жаңа айнымалысын енгіземіз.

$${a^2} - a - 56 = 0$$ $${a_1} = - 7,\quad {a_2} = 8$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2x = - 7,}\\{{x^2} + 2x = 8;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2x + 7 = 0,}\\{{x^2} + 2x - 8 = 0;}\end{array}} \right.$$ $$\left[ \begin{array}{l}\text{шешімі жоқ},\\{x_1} = 2,\quad {x_2} = - 4.\end{array} \right.$$

Жауабы: $\{-4 ; 2\}$.


3.21. Теңдеуді шешіңіз: $(x-2)(x-3)^2(x-4)=20$.

Шешуі

$$\left( {\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)} \right) \cdot {\left( {x - 3} \right)^2} = 20$$ $$\left( {{x^2} - 6x + 8} \right)\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) = 20$$ $${x^2} - 6x + 8 = a,$$ $$a(a + 1) = 20$$ $${a^2} + a - 20 = 0$$ $${a_1} = - 5,\quad {a_2} = 4$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 6x + 8 = - 5,}\\{{x^2} - 6x + 8 = 4}\end{array}\quad } \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 6x + 13 = 0}\\{{x^2} - 6x + 4 = 0}\end{array}} \right.$$ $$\left[ \begin{array}{l} \empty \\x = 3 \pm \sqrt 5 .\end{array} \right.$$

Жауабы: $\left\{ {3 \pm \sqrt 5 } \right\}$.



Симметриялы теңдеулер

Анықтама. $a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\ldots+a_1 x+a_0=0$ түріндегі теңдеуде $a_n=a_0, \quad a_{n-1}=a_1 \dots $, яғни екі шетінен бірдей қашықтықта жатқан коэффициенттері өзара тең болса, мұндай теңдеулерді деп атайды.

3.22. Симметриялы теңдеуді шешіңіз: $x^4-2 x^3-x^2-2 x+1=0$.

Шешуі

Теңдеудің түбірі 0-ге тең емес екені белгілі. Олай болса, теңдеудің екі жағын $x^2$-қа бөлеміз: $${x^4} - 2{x^3} - {x^2} - 2x + 1 = 0\quad \left| { \div {x^2}} \right.$$ $${x^2} - 2x - 1 - \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0$$ $$\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - 2\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 1 = 0$$

$a=x+\frac{1}{x}$ жаңа айнымалысын енгіземіз.

Онда $a^2=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+2$

Олай болса, $\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)$ өрнегін $a^2-2$ түрінде аламыз.

Мынадай квадрат теңдеуге келді.

$${a^2} - 2 - 2a - 1 = 0$$ $${a^2} - 2a - 3 = 0$$ $${a_1} = - 1,\quad {a_2} = 3$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \frac{1}{x} = - 1,}\\{x + \frac{1}{x} = 3;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1 = 0,}\\{{x^2} - 3x + 1 = 0;}\end{array}} \right.\quad \left[ \begin{array}{l}\emptyset ,\\x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}.\end{array} \right.$$

Жауабы: $\left\{\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\right\}$.


3.23. Симметриялы теңдеуді шешіңіз: $5 x^4-3 x^3-4 x^2-3 x+5=0$.

Шешуі

Теңдеудің екі жағын $x^2$-қа бөлеміз: $$5{x^4} - 3{x^3} - 4{x^2} - 3x + 5 = 0\quad \left| { \div {x^2} \ne 0} \right.$$ $$5{x^2} - 3x - 4 - \frac{3}{x} + \frac{5}{{{x^2}}} = 0$$ $$5\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) - 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 4 = 0$$

$a=x+\dfrac{1}{x}$ жаңа айнымалысын енгіземіз. Онда $\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)$ өрнегі $a^2-2$ болады.

$$5\left( {{a^2} - 2} \right) - 3a - 4 = 0$$ $$5{a^2} - 3a - 14 = 0$$ $${a_1} = - \frac{7}{5};\quad {a_2} = 2$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \frac{1}{x} = - \frac{7}{5},}\\{x + \frac{1}{x} = 2;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{5{x^2} + 7x + 5 = 0,}\\{{x^2} - 2x + 1 = 0;}\end{array}} \right.\quad \left[ \begin{array}{l}\emptyset ,\\x = 1.\end{array} \right.$$

Жауабы: $x=1$.




Біртекті теңдеулер

Анықтама. Біртекті теңдеулер деп, $a y^{2 \alpha}+b y^\alpha z^\alpha+c z^{2 \alpha}=0$ түріндегі теңдеулерді айтады. Мұндағы, $a, b, c, \alpha$ - нөлден басқа сандар. Ал $y=y(x), \quad z=z(x)$ — $x$-ке тәуелді функциялар.

Біртекті теңдеулердің екі жағын бірдей $z^{2 \alpha} \neq 0$ өрнегіне бөлсек, квадрат теңдеуге келтіріледі: $a\left(\frac{y}{z}\right)^{2 \alpha}+b\left(\frac{y}{z}\right)^\alpha+c=0.$

3.24. Біртекті теңдеуді шешіңіз: $$3\left(x^2-x+1\right)^2-5(x+1)\left(x^2-x+1\right)-2(x+1)^2=0.$$

Шешуі

Теңдеудің екі жағын бірдей $\left(x^2-x+1\right)^2 \neq 0$ өрнегіне бөлеміз. $$3-5 \cdot \frac{x+1}{x^2-x+1}-2\left(\frac{x+1}{x^2-x+1}\right)^2=0$$

$\frac{x+1}{x^2-x+1}=a$ жаңа айнымалысын енгізсек, $$2{a^2} + 5a - 3 = 0$$ $${a_1} = - 3,\quad {a_2} = \frac{1}{2}$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x + 1}}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{1}{2},}\\{\frac{{x + 1}}{{{x^2} - x + 1}} = - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 2 = {x^2} - x + 1}\\{x + 1 = - 3{x^2} + 3x - 3}\end{array}} \right. \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 3x - 1 = 0}\\{3{x^2} - 2x + 4 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2},\\\emptyset \end{array} \right.$$

Жауабы: $x_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$.


3.25. Теңдеуді шешіңіз: $\left(x^2+6\right)^2+\left(x^2+6\right)\left(x^2+1\right)-6\left(x^2+1\right)^2=0$.

Шешуі

$${\left( {{x^2} + 6} \right)^2} + \left( {{x^2} + 6} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) - 6{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 0\quad \left| { \div {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} \ne 0} \right.$$ $$\frac{{{{\left( {{x^2} + 6} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \frac{{\left( {{x^2} + 6} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}} - 6 = 0$$

$a=\dfrac{x^2+6}{x^2+1}$ жаңа айнымалысын енгіземіз. $${a^2} + a - 6 = 0$$ $${a_1} = - 3;\quad {a_2} = 2.$$

$\dfrac{x^2+6}{x^2+1}$ өрнегі теріс мәнге ие бола алмайды. Сондықтан, $a_1=-3$ теңдеуін қарастырмаймыз.

$$\frac{{{x^2} + 6}}{{{x^2} + 1}} = 2;\quad {x^2} + 6 = 2{x^2} + 2;$$ $${x^2} = 4;\quad {x_{1,2}} = \pm 2$$

Жауабы: $x=\pm 2$.


Кейбір жағдайларда жаңа айнымалы енгізуді алдын-ала ойластыру қажет. Мысалы, $(x+a)^4+(x+b)^4=c$ теңдеуі үшін $x=t-\dfrac{a+b}{2}$ жаңа айнымалы енгізу арқылы биквадрат теңдеуге келтіруге болады.

3.26. Теңдеуді шешіңіз: $(x+3)^4+(x+5)^4=16$.

Шешуі

$x=t-4$ жаңа айнымалысын енгіземіз. $${(t - 1)^4} + {(t + 1)^4} = 16$$ $${\left( {{t^2} - 2t + 1} \right)^2} + {\left( {{t^2} + 2t + 1} \right)^2} = 16$$ $${t^4} + 4{t^2} + 1 - 4{t^3} - 4t + 2{t^2} + {t^4} + $$ $$ + 4{t^2} + 1 + 4{t^3} + 4t + 2{t^2} = 16$$ $$2{t^4} + 12{t^2} - 14 = 0$$ $${t^4} + 6{t^2} - 7 = 0$$

Тағы $t^2=a, \quad(a \geq 0)$ жаңа айнымалысын енгіземіз.

$${a^2} + 6a - 7 = 0$$ $${a_1} = - 7 \text{- бөгде түбір};$$ $${a_2} = 1.$$ $$t^2=1$$ $$t_{1,2}=\pm 1.$$

Онда, $x_1=1-4=-3, \quad x_2=-1-4=-5$.

Жауабы: $\{-5 ;\; -3\}$.


$(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)=e$ түріндегі теңдеулер $a+b=c+d$ болған жағдайда, квадрат теңдеуге келтіріледі.

3.27. Теңдеуді шешіңіз: $(x-4)(x-5)(x-6)(x-7)=1680$.

Шешуі

$$\left( {(x - 4)(x - 7)} \right) \cdot \left( {(x - 5)(x - 6)} \right) = 1680$$ $$\left( {{x^2} - 11x + 28} \right)\left( {{x^2} - 11x + 30} \right) = 1680$$ $${x^2} - 11x = a,$$ $$a(a + 2) = 1680$$ $${a^2} + 2a - 1680 = 0$$ $${a_1} = - 42,\quad {a_2} = 40$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 11x + 28 = - 42,}\\{{x^2} - 11x + 28 = 40;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 11x + 70 = 0,}\\{{x^2} - 11x - 12 = 0;}\end{array}} \right.$$ $$\left[ \begin{array}{l}\emptyset ,\\{x_1} = 12,\quad {x_2} = - 1.\end{array} \right.$$

Жауабы: $\{ - 1;\,12\} $.


3.28. Теңдеуді шешіңіз: $(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=-15$.

Шешуі

$$\left( {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)} \right) \cdot \left( {\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)} \right) = - 15$$ $$\left( {{x^2} + 8x + 7} \right) \cdot \left( {{x^2} + 8x + 15} \right) = - 15$$ $$a = {x^2} + 8x + 7,$$ $$a(a + 8) = - 15$$ $${a^2} + 8a + 15 = 0$$ $${a_1} = - 5;\quad {a_2} = - 3.$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 8x + 7 = - 5,}\\{{x^2} + 8x + 7 = - 3;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 8x + 12 = 0,}\\{{x^2} + 8x + 10 = 0;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = - 6,\quad {x_2} = - 2,}\\{{x_{3,4}} = - 4 \pm \sqrt 6 }\end{array}} \right.$$

Жауабы: $\left\{ { - 6;\, - 2;\, - 4 \pm \sqrt 6 } \right\}$.






Осы тақырыптағы посттар

Пікір қалдыру

Сіздің электронды почтаңыз жарияланбайды, Міндетті жолдарды толтырып шығыңыз.