Квадрат теңдеулер
Анықтама. $ax^2+bx+c=0, \quad a \ne 0$ түріндегі теңдеулерді — квадрат теңдеулер деп атайды.
Мұндай теңдеудің түбірін мына түрде табамыз: $x=-\dfrac{b}{a}$
Мектеп математика курсында квадрат теңдеулердің түбірін табу формуласы (дискриминант арқылы) оқытылады. Бұл тәсіл барлық квадрат теңдеулерді шешуге болатын әмбебап тәсіл. Дегенмен, теңдеудің түбірлерін оңай табу тәсілдері тест сұрақтарын белгілеу кезінде уақыт үнемдейді.
$a=1$ жағдайында квадрат теңдеуді Виет формуласы көмегімен шешу оңайға соғады. Бірақ бұл тәсіл — теңдеудің түбірлері бөлшек сан болған жағдайда жарамсыз.
Мұндай қиыншылықты шешу мақсатында мынадай тәсіл қолданылады:
- $a$ коэффициентің түсіріп тастаймыз, ал босмүшені $a$ коэффициентіне көбейтеміз;
- Пайда болған теңдеудің түбірлерін Виет формуласымен анықтаймыз;
- Түбірлердің әрқайсысын $a$-ға бөлеміз.
Мысал қарастырайық.
3.5. Теңдеуді шешіңіз: $12 x^2+13 x+3=0$.
Шешуі
$$\left[\kern-0.15em\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 13x + 3 \cdot 12 = 0\\{x_1} = - 4,\quad {x_2} = - 9\end{array} \right]\kern-0.15em\right]$$
$$x_1=\frac{-4}{12}=-\frac{1}{3}, \quad x_2=\frac{-9}{12}=-\frac{3}{4}.$$
Жауабы: $\left\{-\dfrac{3}{4} ;-\dfrac{1}{3}\right\}$
Квадрат теңдеудің коэффициенттерінің қасиетін қолдану
$ax^2+bx+c=0$ түріндегі квадрат теңдеу берілсін.
- Егер $a+b+c=0$ болса (яғни коэффициенттерінің қосындысы 0-ге тең болса), онда
$$x_1=1, \quad x_2=\frac{c}{a}$$
3.6. Теңдеуді шешіңіз: $345 x^2-137 x-208=0$.
Шешуі
$a+b+c=0 \quad(345-137-208=0)$ шарты орындалып тұр, онда:
$x_1=1, \quad x_2=-\dfrac{208}{345}$
Жауабы: $\left\{-\dfrac{208}{345} ; 1\right\}$
- Егер $a-b+c=0$ немесе $b=a+c$ болса, онда
$$x_1=-1, \quad x_2=-\frac{c}{a}$$
3.7. Теңдеуді шешіңіз: $11x^2+27x+16=0$.
Шешуі
$b=a+c \quad(11+16=27)$ шарты орындалып тұр, онда:
$x_1=-1, x_2=-\frac{16}{11}$
Жауабы: $\left\{-\frac{16}{11} ;-1\right\}$
- Егер екінші коэффициент $b=2k$ — жұп сан болса, онда түбірлерінің формуласы мынадай болады:
$${x_{1,2}} = \frac{{ - k \pm \sqrt {{k^2} - ac} }}{a}$$
3.8. Теңдеуді шешіңіз: $3 x^2-14 x+16=0$.
Шешуі
$$3{x^2} - 14x + 16 = 0$$ $${x_{1,2}} = \frac{{7 \pm \sqrt {49 - 48} }}{3} = \frac{{7 \pm 1}}{3}$$ $${x_1} = 2,\quad {x_2} = \frac{8}{3}.$$
Жауабы: $\left\{2 ; \dfrac{8}{3}\right\}$
Жоғарыда көрсетілген тәсілдер теңдеуді тез әрі рационалды жолмен шешуге мүмкіндік береді.
3.9. Теңдеуді шешіңіз: $27 x^2-6 \sqrt{3} x+1=0$
Шешуі
$$27{x^2} - 6\sqrt 3 x + 1 = 0$$
$${x_{1,2}} = \frac{{3\sqrt 3 \pm \sqrt {27 - 27} }}{{27}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{27}} = \frac{{\sqrt 3 }}{9}$$
Жауабы: $x=\dfrac{\sqrt{3}}{9}$
3.10. Теңдеуді шешіңіз: $6 x^2+3 \sqrt{3} x+\sqrt{3}+2 x=0$
Шешуі
$$6{x^2} + \left( {3\sqrt 3 + 2} \right)x + \sqrt 3 = 0$$ $$D = {\left( {3\sqrt 3 + 2} \right)^2} - 24\sqrt 3 = $$ $$ = {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} + 12\sqrt 3 + {2^2} - 24\sqrt 3 = $$ $$ = {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} - 12\sqrt 3 + {2^2} = {\left( {3\sqrt 3 - 2} \right)^2}$$ $${x_{1,2}} = \frac{{ - \left( {3\sqrt 3 + 2} \right) \pm \sqrt {{{\left( {3\sqrt 3 - 2} \right)}^2}} }}{{12}}$$ $${x_1} = \frac{{ - 3\sqrt 3 - 2 + 3\sqrt 3 - 2}}{{12}} = - \frac{4}{{12}} = - \frac{1}{3}$$ $${x_2} = \frac{{ - 3\sqrt 3 - 2 - 3\sqrt 3 + 2}}{{12}} = - \frac{{6\sqrt 3 }}{{12}} = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}$$
Жауабы: $\left\{-\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{3}\right\}$