Иррационал функциялардың туындысы

()

Иррационал функциялардың сы

2.4. Келесі функциялардың туындысын табыңыз.

1) $f(x)=2,5 x^2+20 \sqrt{x}-3 \cdot \sqrt[3]{x}$.

Шешуі

$f(x)=2,5 x^2+20 \sqrt{x}-3 \cdot \sqrt[3]{x}$
$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}} $, онда
$f^{\prime}(x)=2,5\left(x^2\right)^{\prime}+20(\sqrt{x})^{\prime}-3\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^{\prime}=2,5 \cdot 2 x+20 \cdot \dfrac{1}{2 \sqrt{x}}-3 \cdot \dfrac{1}{3} x^{-\frac{2}{3}}=$
$=5 x+\dfrac{10}{\sqrt{x}}-\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$


2) $f(x)=5 x \cdot \sqrt[5]{x^4}-(\sqrt{\pi})^3$.

Шешуі

$f(x)=5 x \cdot \sqrt[5]{x^4}-(\sqrt{\pi})^3=5 x^1 \cdot x^{\frac{4}{5}}-(\sqrt{\pi})^3=5 x^{\frac{9}{5}}-(\sqrt{\pi})^3$
$(\sqrt{\pi})^3$– const екенін ескерсек,
$f^{\prime}(x)=5\left(x^{\frac{9}{5}}\right)^{\prime}-\left((\sqrt{\pi})^3\right)^{\prime}=5 \cdot \frac{9}{5} \cdot x^{\frac{4}{5}}-0=9 \cdot \sqrt[5]{x^4}$.


3) $f(x)=\dfrac{x^2+2 x}{\sqrt{x}}$.

Шешуі

$f(x)=\dfrac{x^2+2 x}{\sqrt{x}}=\dfrac{x^2}{\sqrt{x}}+\dfrac{2 x}{\sqrt{x}}=x \sqrt{x}+2 \sqrt{x}=x^{\frac{3}{2}}+2 x^{\frac{1}{2}}$
$f^{\prime}(x)=\left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\prime}+2\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\prime}=\dfrac{3}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}}+2 \cdot \dfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{3}{2} \sqrt{x}+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$


4) $f(x)=\frac{1}{4} \cdot \sqrt[4]{8 x^3 \cdot \sqrt{x}}$.

Шешуі

$f(x)=\dfrac{1}{4} \cdot \sqrt[4]{8 x^3 \cdot \sqrt{x}}=\dfrac{1}{4} \cdot \sqrt[4]{8} \cdot\left(x^3 \cdot x^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt[4]{8}}{4} \cdot\left(x^{\frac{7}{2}}\right)^{\frac{1}{4}}=\dfrac{\sqrt[4]{8}}{4} \cdot x^{\frac{7}{8}}$
$f^{\prime}(x)=\left(\dfrac{\sqrt[4]{8}}{4} \cdot x^{\frac{7}{8}}\right)^{\prime}=\dfrac{\sqrt[4]{8}}{4} \cdot \dfrac{7}{8} \cdot x^{-\frac{1}{8}}=\dfrac{7 \cdot \sqrt[4]{8}}{32 \cdot \sqrt[8]{x}}$


5) $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt[4]{x^3}}$.

Шешуі

$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt[4]{x^3}}=x^{-\frac{2}{3}}+x^{-\frac{3}{4}}$
$f^{\prime}(x)=\left(x^{-\frac{2}{3}}\right)^{\prime}+\left(x^{-\frac{3}{4}}\right)^{\prime}=-\dfrac{2}{3} x^{-\frac{5}{3}}-\dfrac{3}{4} x^{-\frac{7}{4}}=-\dfrac{2}{3 \cdot \sqrt[3]{x^5}}-\dfrac{3}{4 \cdot \sqrt[4]{x^7}}=$
$=-\dfrac{2}{3 x \cdot \sqrt[3]{x^2}}-\dfrac{3}{4 x \cdot \sqrt[4]{x^3}}=-\dfrac{2 \cdot \sqrt[3]{x}}{3 x^2}-\dfrac{3 \cdot \sqrt[4]{x}}{4 x^2}=-\dfrac{8 \cdot \sqrt[3]{x}+9 \cdot \sqrt[4]{x}}{12 x^2}$


2.5 Күрделі функциялардың туындысын есептеңіз.

1) $f(x)=x^3 \cdot \sqrt{x-1}, \quad f^{\prime}(2)-?$

Шешуі

$f(x)=x^3 \cdot \sqrt{x-1}=\sqrt{x^6(x-1)}=\sqrt{x^7-x^6}$
$f^{\prime}(x)=\left(\sqrt{x^7-x^6}\right)^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{x^7-x^6}} \cdot\left(x^7-x^6\right)^{\prime}=$
$=\dfrac{7 x^6-6 x^5}{2 \sqrt{x^7-x^6}}=\dfrac{x^5(7 x-6)}{2 x^3 \sqrt{x-1}}=\dfrac{7 x^3-6 x^2}{2 \sqrt{x-1}}$
$f^{\prime}(2)=16$


2) $f(x)=\sqrt{5-x^2}+\dfrac{1}{(3-x)^2}, \quad f^{\prime}(2)-?$

Шешуі

$f(x)=\sqrt{5-x^2}+\dfrac{1}{(3-x)^2}=\sqrt{5-x^2}+(3-x)^{-2}$
$f^{\prime}(x)=\left(\sqrt{5-x^2}\right)^{\prime}+\left((3-x)^{-2}\right)^{\prime}=\dfrac{1}{2 \sqrt{5-x^2}} \cdot\left(5-x^2\right)^{\prime}+$
$+(-2)(3-x)^{-3} \cdot(3-x)^{\prime}=\dfrac{-2 x}{2 \sqrt{5-x^2}}-\dfrac{2(-1)}{(3-x)^3}=-\dfrac{x}{\sqrt{5-x^2}}+\dfrac{2}{(3-x)^3}$
$f^{\prime}(2)=-2+2=0$.


3) $f(x)=\sqrt[3]{\left(x^3+1\right)^2}$ .

Шешуі

$f(x)=\sqrt[3]{\left(x^3+1\right)^2}=\left(x^3+1\right)^{\frac{2}{3}}$
$f^{\prime}(x)=\left(\left(x^3+1\right)^{\frac{2}{3}}\right)^{\prime}=\dfrac{2}{3}\left(x^3+1\right)^{-\frac{1}{3}} \cdot\left(x^3+1\right)^{\prime}=\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{1}{\sqrt[3]{x^3+1}} \cdot 3 x^2=\dfrac{2 x^2}{\sqrt[3]{x^3+1}}$


4) $f(x)=\dfrac{2 x-1}{\sqrt{x^2+1}}$ .

Шешуі

$f(x)=\dfrac{2 x-1}{\sqrt{x^2+1}}$
$f^{\prime}(x)=\dfrac{(2 x-1)^{\prime} \cdot \sqrt{x^2+1}-\left(\sqrt{x^2+1}\right)^{\prime}(2 x-1)}{\left(\sqrt{x^2+1}\right)^2}=\dfrac{2 \sqrt{x^2+1}-\frac{1}{2 \sqrt{x^2+1}}\left(x^2+1\right)^{\prime} \cdot(2 x-1)}{x^2+1}=$
$=\dfrac{2 \sqrt{x^2+1}-\frac{2 x^2-x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\dfrac{\frac{2\left(x^2+1\right)-2 x^2+x}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2+1}=\dfrac{x+2}{\left(x^2+1\right) \sqrt{x^2+1}}=$
$=\dfrac{x+2}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^2\left(x^2+1\right)}}=\dfrac{x+2}{\sqrt{\left(x^2+1\right)^3}}$




Жазба сіз үшін қаншалықты қажет болды?

Жұлдызшаның үстінен басыңыз!

Сіз бұл жазбаны қажетті деп таптыңыз...

Әлеуметтік желіде бөлісіңіз!

Бұл жазбаның сіз үшін қажетті болмағаны өкінішті!

Жазбамызды жақсартайық!

Жазбаны жақсартуға қандай ұсыныс айтар едіңіз?

Осы тақырыптағы посттар

Пікір қалдыру

Сіздің электронды почтаңыз жарияланбайды, Міндетті жолдарды толтырып шығыңыз.