Толық квадратын бөліп алу арқылы көпмүшелерді көбейткіштерге жіктеу
Көпмүшеге кез келген бірмүшені қоссақ және азайтсақ, өрнектің мағынасы өзгермейді. Осындай қадаммен (қосып, қайтадан алып тастау) бір өрнектің толық квадратын бөліп алуға, және сол арқылы көпмүшені көбейткіштерге жіктеуге болады. Мысалдар қарастырайық.
2.4. Көпмүшені көбейткіштерге жіктеңіз.:
1) $4 x^2-12 x y+8 y^2$
Шешуі
$$4{x^2} - 12xy + 8{y^2} = 4{x^2} - 12xy + \overbrace {9{y^2} - 9{y^2}}^{ = 0} + 8{y^2} = $$ $$ = {(2x - 3y)^2} - {y^2} = (2x - 3y - y)(2x - 3y + y) = $$ $$ = (2x - 4y)(2x - 2y) = 4(x - 2y)(x - y)$$
2) $x^4+4$
Шешуі
$${x^4} + 4 = {x^4} + 4{x^2} + 4 - 4{x^2} = {\left( {{x^2} + 2} \right)^2} - {(2x)^2} = $$ $$ = \left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)$$
3) $x^4+x^2+1$
Шешуі
$${x^4} + {x^2} + 1 = {x^4} + 2{x^2} + 1 - {x^2} = {\left( {{x^2} + 1} \right)^2} - {x^2} = $$ $$ = \left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)$$
4) $81 x^4+4$
Шешуі
$$81{x^4} + 4 = 81{x^4} + 4 + 36{x^2} - 36{x^2} = {\left( {9{x^2} + 2} \right)^2} - 36{x^2} = $$ $$ = \left( {9{x^2} + 6x + 2} \right)\left( {9{x^2} - 6x + 2} \right)$$
Кейбір есептерде бір қосылғышты — екі өрнектің қосындысы түрінде алып, көбейткіштерге жіктеу әдісі қолданылады.
Мысалы:
1-мысал$${x^3} - 3x + 2 = {x^3} - 2x - x + 2 = \left( {{x^3} - x} \right) + ( - 2x + 2) = $$ $$ = x\left( {{x^2} - 1} \right) - 2(x - 1) = x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1) = $$ $$ = (x - 1)\left( {{x^2} + x - 2} \right) = (x - 1)\left( {{x^2} + 2x - x - 2} \right) = $$ $$ = (x - 1)\left( {x(x + 2) - (x + 2)} \right) = (x - 1)(x + 2)(x - 1) = {(x - 1)^2}(x + 2)$$
2-мысал$${y^3} + y - 2 = {y^3} + 2y - y - 2 = y\left( {{y^2} - 1} \right) + 2(y - 1) = $$ $$ = (y - 1)\left( {y(y + 1) + 2} \right) = (y - 1)\left( {{y^2} + y + 2} \right)$$
3-мысал$$5{x^2}y - 4x{y^2} - {y^3} = y\left( {5{x^2} - 4xy - {y^2}} \right) = y\left( {5{x^2}\underbrace { - 5xy + xy}_{ - 4y} - {y^2}} \right) = $$ $$ = y\left( {5x(x - y) + y(x - y)} \right) = y(x - y)(5x + y)$$
Жаңа айнымалы енгізу арқылы да есепті жеңілдетуге болады. Мысалы:
4-мысал$$\left( {{x^2} + x + 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) - 12 = \left\| {{x^2} + x + 1 = a} \right\| = $$ $$ = a(a + 1) - 12 = {a^2} + a - 12 = {a^2} + 4a - 3c - 12 = $$ $${ = a(a + 4) - 3(a + 4) = (a + 4)(a - 3) = }$$ $${ = \left( {{x^2} + x + 1 + 4} \right)\left( {{x^2} + x + 1 - 3} \right) = \left( {{x^2} + x + 5} \right)\left( {{x^2} + x - 2} \right) = }$$ $${ = \left( {{x^2} + x + 5} \right)\left( {{x^2} + 2x - x - 2} \right) = \left( {{x^2} + x + 5} \right)(x(x + 2) - (x + 2)) = }$$ $${ = \left( {{x^2} + x + 5} \right)(x + 2)(x - 1)}$$
5-мысал$$(x + 2y + 1)(x + 2y - 5) - (x - 2y)(x - 2y + 4) + 5 = $$ $$ = \left\| {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y = a}\\{x - 2y = b}\end{array}} \right\| = (a + 1)(a - 5) - b(b + 4) + 5 = $$ $$ = {a^2} + a - 5a - 5 - {b^2} - 4b + 5 = {a^2} - 4a - {b^2} - 4b = $$ $$ = \left( {{a^2} - {b^2}} \right) - (4a + 4b) = (a - b)(a + b) - 4(a + b) = (a + b)(a - b - 4) = $$
6-мысал$$\left( {{x^2} - 3x} \right)\left( {{x^2} - 3x - 2} \right) - 8 = \left\| {{x^2} - 3x = a} \right\| = a(a - 2) - 8 = $$ $$ = {a^2} - 2a - 8 = (a - 4)(a + 2) = \left( {{x^2} - 3x - 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = $$ $$ = (x - 4)(x + 1)(x - 1)(x - 2)$$
Есептер
2.5. $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+10$ өрнегінің ең кіші мәнін табыңыз.
Шешуі
$(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ өрнегінде 1-ші және 4-ші көбейткішті, 2-ші және 3-көбейткішті бөлек көбейтіп, жақшаларды ашайық: $$\left[ {(x - 1) \cdot (x - 4)} \right] \cdot \left[ {(x - 2) \cdot (x - 3)} \right] + 10 = \left( {{x^2} - 5x + 4} \right) \cdot \left( {{x^2} - 5x + 6} \right) + 10$$
$a=x^2-5 x+4$ жаңа айнымалысын енгізсек, мынадай квадрат үшмүше аламыз: $$a(a + 2) + 10 = {a^2} + 2a + 1 + 9 = {(a + 1)^2} + 9$$
$(a+1)^2 \geq 0$ болғандықтан, $(a+1)^2+9 \geq 9$. Олай болса, берілген өрнектің ең кіші мәні 9.
Кейбір өрнектің мәнін табуда алдымен көбейткіштерге жіктеп алған тиімді.
2.6. $x^3+x^2 y-x y^2-y^3$ өрнегінің мәнін табыңыз. Мұндағы, $x = 3,6\,;\quad y = - 2,6$
Шешуі
$${x^3} + {x^2}y - x{y^2} - {y^3} = \left( {{x^3} + {x^2}y} \right) - \left( {x{y^2} + {y^3}} \right) = $$ $$ = {x^2}(x + y) - {y^2}(x + y) = (x + y)\left( {{x^2} - {y^2}} \right) = $$ $$ = {(x + y)^2}(x - y) = {(3,6 - 2,6)^2} \cdot (3,6 + 2,6) = 6,2$$
2.7. $\dfrac{x^3+y^3-(x+y)^3}{x^2-y^2}$ өрнегінің мәнін табыңыз. Мұндағы, $x = \dfrac{1}{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }},\quad y = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}$
Шешуі
$$\frac{{{x^3} + {y^3} - {{(x + y)}^3}}}{{{x^2} - {y^2}}} = \frac{{{x^3} + {y^3} - {x^3} - 3{x^2}y - 3x{y^2} - {y^3}}}{{{x^2} - {y^2}}} = $$ $$ = \frac{{ - 3xy(x + y)}}{{(x - y)(x + y)}} = \frac{{3xy}}{{y - x}}$$ $$x = \frac{1}{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }}{3},\quad y = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3}.$$ $$xy = \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }}{3} \cdot \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3} = \frac{{6 - 3}}{9} = \frac{1}{3},$$ $$y - x = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3} - \frac{{\sqrt 6 + \sqrt 3 }}{3} = \frac{{\sqrt 6 - \sqrt 3 - \sqrt 6 - \sqrt 3 }}{3} = \frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3}.$$ $$\frac{{3xy}}{{y - x}} = \left( {3 \cdot \frac{1}{3}} \right):\left( {\frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$$
2.8. $y=x^3-11 x^2-41 x+9$ функциясының $x=14$ болғандағы мәнін табыңыз.
Шешуі
1) Алғашқы үш қосылғышты топтастырып, ортақ көбейткішті жақша сыртына шығарайық: $y=\left(x^2-11 x-41\right) x+9$
2) ${x^2} - 11x - 41$ өрнегінде де алғашқы екі мүшесінен $x$-ті жақша сыртына шығарып алайық: $$y = \left( {(x - 11)x - 41} \right)x + 9$$
Орнына қойсақ, $$y(14)=(3 \cdot 14-41) \cdot 14+9=14+9=23$$