Жоғары дәрежелі теңдеулерді шешу

$$x\left( {{x^2} – 1} \right) – 2(x – 1) = 0$$ $$x(x – 1)(x + 1) – 2(x – 1) = 0$$ $$(x – 1)\left( {{x^2} + x – 2} \right) = 0$$ $$\left[ \begin{array}{l}x – 1 = 0,\\{x^2} + x – 2 = 0;\end{array} \right.\quad \left[ \begin{array}{l}x = 1,\\{x_1} = – 2,\quad {x_2} = 1.\end{array} \right.$$

Жауабы: $\{ – 2;1\} $.

$$(2x + 1)\left( {{x^2} – 7x + 6} \right) = {\left( {x – 1} \right)^2}(x + 0,5)$$ $$2(x + 0,5)\left( {{x^2} – 7x + 6} \right) – {\left( {x – 1} \right)^2}(x + 0,5) = 0$$ $$(x + 0,5)\left( {2{x^2} – 14x + 12 – {x^2} + 2x – 1} \right) = 0$$ $$(x + 0,5)\left( {{x^2} – 12x + 11} \right) = 0$$ $${\begin{array}{*{20}{l}}{x + 0,5 = 0,}\\{{x^2} – 12x + 11 = 0;}\end{array}\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = – 0,5}\\{{x_1} = 1,\quad {x_2} = 11}\end{array}} \right.}$$

Жауабы: $\{-0,5 ; 1 ; 11\}$.

$${x^2}(x – 1) – 4x(x – 1) + 5(x – 1) = 0$$ $$(x – 1)\left( {{x^2} – 4x + 5} \right) = 0$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x – 1 = 0}\\{{x^2} – 4x + 5 = 0}\end{array}} \right.\quad \left[ \begin{array}{l}x = 1,\\D \lt 0 \quad \text{болғандықтан, шешімі жоқ.}\end{array} \right.$$

Жауабы: $x=1$.

$$(x – 1){(x – 2)^3} – (x – 1){(x – 3)^3} – 13(x – 1) = 0$$ $$(x – 1)\left( {{{(x – 2)}^3} – {{(x – 3)}^3} – 13} \right) = 0$$ $$(x – 1)\left( {{x^3} – 6{x^2} + 12x – 8 – {x^3} + 9{x^2} – 27x + 27 – 13} \right) = 0$$ $$(x – 1)\left( {3{x^2} – 15x + 6} \right) = 0$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x – 1 = 0,}\\{{x^2} – 5x + 2 = 0;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,}\\{{x_{1,2}} = \frac{{5 \pm \sqrt {17} }}{2}.}\end{array}} \right.$$

Жауабы: $\left\{ {1;\quad \frac{{5 \pm \sqrt {17} }}{2}} \right\}$

$${x^5} + {x^4} – 6{x^3} – 6{x^2} + 8x + 8 = 0$$ $${x^4}(x + 1) – 6{x^2}(x + 1) + 8(x + 1) = 0$$ $$\left( {{x^4} – 6{x^2} + 8} \right)(x + 1) = 0$$ $$\left( {{x^4} – 2{x^2} – 4{x^2} + 8} \right)(x + 1) = 0$$ $$\left( {{x^2}\left( {{x^2} – 2} \right) – 4\left( {{x^2} – 2} \right)} \right)(x + 1) = 0$$ $$\left( {{x^2} – 2} \right)\left( {{x^2} – 4} \right)(x + 1) = 0$$ $${x_{1,2}} = \pm \sqrt 2 ;\quad {x_{3,4}} = \pm 2;\quad {x_5} = – 1.$$

Жауабы: $\left\{ { – 1;\quad \pm \sqrt 2 ;\quad \pm 2} \right\}$

$x^3+3 x^2-2 x-2=0$ теңдеуінің коэффициенттері — бүтін. Олай болса, теңдеудің түбірлері босмүшенің, яғни 2 санының бөлгіштері болуы мүмкін: $\pm 1, \, \pm 2.$

Осы сандарды теңдеудегі $x$-тің орнына қойып, теңдік дұрыс орындалғанша тексеріп шығамыз.

$x=1$ үшін $1+3-2-2=0.$

Теңдік орындалды, демек, $x=1$ осы теңдеудің бір түбірі.

Олай болса, $x^3+3 x^2-2 x-2$ көпмүшесі $x-1$ көпмүшесіне қалдықсыз бөлінеді. Көпмшүшелерді бұрыштап бөлу ережесін қолданып, бөлейік:

Яғни, $$x^3+3 x^2-2 x-2=(x-1)\left(x^2+4 x+2\right)$$

$$(x-1)\left(x^2+4 x+2\right)=0$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x – 1 = 0,}\\{{x^2} + 4x + 2 = 0;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1,}\\{{x_{1,2}} = – 2 \pm \sqrt 2 .}\end{array}} \right.$$

Жауабы: $\{1 ;\, -2 \pm \sqrt{2}\}$.

Теңдеудің түбірлерін 12-нің бөлгіштерінің ішінен іздейміз: $\pm 1, \,\pm 2,\, \pm 3,\, \pm 4,\, \pm 6,\, \pm 12.$

Осы мәндерді қойып, тексеріп көрейік:

$x=1: \quad 1-1-8+12 \ne 0$ түбірі болмайды;

$x=-1: \quad -1-1-8+12 \ne 0$ түбірі болмайды;

$x=2: \quad 8-4-16+12=0.$

Яғни, $x=2$ саны $x^3-x^2-8 x+12=0$ теңдеуінің түбірі болады. Жоғарыда келтірілгендегідей, $x^3-x^2-8 x+12$ көпмүшесін $x-2$ көпмүшесіне бұрыштап бөлеміз.

Бұдан, $$x^3-x^2-8 x+12=(x-2)\left(x^2+x-6\right)$$ $$(x – 2)\left( {{x^2} + x – 6} \right) = 0$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x – 2 = 0,}\\{{x^2} + x – 6 = 0;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2,}\\{{x_1} = 2,\quad {x_2} = – 3.}\end{array}} \right.$$

Жауабы: $\{ { – 3;\,2} \}$.

$x^2+x-3=a$ жаңа айнымалысын енгіземіз. Онда берілген теңдеу мына түрге келеді:

$$(a + 1)a = 12$$ $${a^2} + a – 12 = 0$$ $${a_1} = – 4,\quad {a_2} = 3$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x – 3 = – 4,}\\{{x^2} + x – 3 = 3;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1 = 0,}\\{{x^2} + x – 6 = 0;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\text{шешімі жоқ},}\\{{x_1} = – 3,\quad {x_2} = 2.}\end{array}} \right.$$

Жауабы: $\{-3 ; 2\}$.

$x^2+3 x=a$ жаңа айнымалысын енгіземіз.

Жауабы: $\{-5 ;\, -4 ;\, 1 ;\, 2\}$.

Алдымен теңдеуді мына түрде жазып аламыз: $\left(x^2+2 x\right)^2-\left(x^2+2 x+1\right)=55$.

$x^2+2 x=a$ жаңа айнымалысын енгіземіз.

$${a^2} – a – 56 = 0$$ $${a_1} = – 7,\quad {a_2} = 8$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2x = – 7,}\\{{x^2} + 2x = 8;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 2x + 7 = 0,}\\{{x^2} + 2x – 8 = 0;}\end{array}} \right.$$ $$\left[ \begin{array}{l}\text{шешімі жоқ},\\{x_1} = 2,\quad {x_2} = – 4.\end{array} \right.$$

Жауабы: $\{-4 ; 2\}$.

$$\left( {\left( {x – 2} \right)\left( {x – 4} \right)} \right) \cdot {\left( {x – 3} \right)^2} = 20$$ $$\left( {{x^2} – 6x + 8} \right)\left( {{x^2} – 6x + 9} \right) = 20$$ $${x^2} – 6x + 8 = a,$$ $$a(a + 1) = 20$$ $${a^2} + a – 20 = 0$$ $${a_1} = – 5,\quad {a_2} = 4$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – 6x + 8 = – 5,}\\{{x^2} – 6x + 8 = 4}\end{array}\quad } \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – 6x + 13 = 0}\\{{x^2} – 6x + 4 = 0}\end{array}} \right.$$ $$\left[ \begin{array}{l} \empty \\x = 3 \pm \sqrt 5 .\end{array} \right.$$

Жауабы: $\left\{ {3 \pm \sqrt 5 } \right\}$.

Теңдеудің түбірі 0-ге тең емес екені белгілі. Олай болса, теңдеудің екі жағын $x^2$-қа бөлеміз: $${x^4} – 2{x^3} – {x^2} – 2x + 1 = 0\quad \left| { \div {x^2}} \right.$$ $${x^2} – 2x – 1 – \frac{2}{x} + \frac{1}{{{x^2}}} = 0$$ $$\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) – 2\left( {x + \frac{1}{x}} \right) – 1 = 0$$

$a=x+\frac{1}{x}$ жаңа айнымалысын енгіземіз.

Онда $a^2=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+2$

Олай болса, $\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)$ өрнегін $a^2-2$ түрінде аламыз.

Мынадай квадрат теңдеуге келді.

$${a^2} – 2 – 2a – 1 = 0$$ $${a^2} – 2a – 3 = 0$$ $${a_1} = – 1,\quad {a_2} = 3$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \frac{1}{x} = – 1,}\\{x + \frac{1}{x} = 3;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + x + 1 = 0,}\\{{x^2} – 3x + 1 = 0;}\end{array}} \right.\quad \left[ \begin{array}{l}\emptyset ,\\x = \frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}.\end{array} \right.$$

Жауабы: $\left\{\frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}\right\}$.

Теңдеудің екі жағын $x^2$-қа бөлеміз: $$5{x^4} – 3{x^3} – 4{x^2} – 3x + 5 = 0\quad \left| { \div {x^2} \ne 0} \right.$$ $$5{x^2} – 3x – 4 – \frac{3}{x} + \frac{5}{{{x^2}}} = 0$$ $$5\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right) – 3\left( {x + \frac{1}{x}} \right) – 4 = 0$$

$a=x+\dfrac{1}{x}$ жаңа айнымалысын енгіземіз. Онда $\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)$ өрнегі $a^2-2$ болады.

$$5\left( {{a^2} – 2} \right) – 3a – 4 = 0$$ $$5{a^2} – 3a – 14 = 0$$ $${a_1} = – \frac{7}{5};\quad {a_2} = 2$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \frac{1}{x} = – \frac{7}{5},}\\{x + \frac{1}{x} = 2;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{5{x^2} + 7x + 5 = 0,}\\{{x^2} – 2x + 1 = 0;}\end{array}} \right.\quad \left[ \begin{array}{l}\emptyset ,\\x = 1.\end{array} \right.$$

Жауабы: $x=1$.

Теңдеудің екі жағын бірдей $\left(x^2-x+1\right)^2 \neq 0$ өрнегіне бөлеміз. $$3-5 \cdot \frac{x+1}{x^2-x+1}-2\left(\frac{x+1}{x^2-x+1}\right)^2=0$$

$\frac{x+1}{x^2-x+1}=a$ жаңа айнымалысын енгізсек, $$2{a^2} + 5a – 3 = 0$$ $${a_1} = – 3,\quad {a_2} = \frac{1}{2}$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{x + 1}}{{{x^2} – x + 1}} = \frac{1}{2},}\\{\frac{{x + 1}}{{{x^2} – x + 1}} = – 3}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 2 = {x^2} – x + 1}\\{x + 1 = – 3{x^2} + 3x – 3}\end{array}} \right. \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – 3x – 1 = 0}\\{3{x^2} – 2x + 4 = 0}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 \pm \sqrt {13} }}{2},\\\emptyset \end{array} \right.$$

Жауабы: $x_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

$${\left( {{x^2} + 6} \right)^2} + \left( {{x^2} + 6} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) – 6{\left( {{x^2} + 1} \right)^2} = 0\quad \left| { \div {{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} \ne 0} \right.$$ $$\frac{{{{\left( {{x^2} + 6} \right)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} + \frac{{\left( {{x^2} + 6} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)}} – 6 = 0$$

$a=\dfrac{x^2+6}{x^2+1}$ жаңа айнымалысын енгіземіз. $${a^2} + a – 6 = 0$$ $${a_1} = – 3;\quad {a_2} = 2.$$

$\dfrac{x^2+6}{x^2+1}$ өрнегі теріс мәнге ие бола алмайды. Сондықтан, $a_1=-3$ теңдеуін қарастырмаймыз.

$$\frac{{{x^2} + 6}}{{{x^2} + 1}} = 2;\quad {x^2} + 6 = 2{x^2} + 2;$$ $${x^2} = 4;\quad {x_{1,2}} = \pm 2$$

Жауабы: $x=\pm 2$.

$x=t-4$ жаңа айнымалысын енгіземіз. $${(t – 1)^4} + {(t + 1)^4} = 16$$ $${\left( {{t^2} – 2t + 1} \right)^2} + {\left( {{t^2} + 2t + 1} \right)^2} = 16$$ $${t^4} + 4{t^2} + 1 – 4{t^3} – 4t + 2{t^2} + {t^4} + $$ $$ + 4{t^2} + 1 + 4{t^3} + 4t + 2{t^2} = 16$$ $$2{t^4} + 12{t^2} – 14 = 0$$ $${t^4} + 6{t^2} – 7 = 0$$

Тағы $t^2=a, \quad(a \geq 0)$ жаңа айнымалысын енгіземіз.

$${a^2} + 6a – 7 = 0$$ $${a_1} = – 7 \text{- бөгде түбір};$$ $${a_2} = 1.$$ $$t^2=1$$ $$t_{1,2}=\pm 1.$$

Онда, $x_1=1-4=-3, \quad x_2=-1-4=-5$.

Жауабы: $\{-5 ;\; -3\}$.

$$\left( {(x – 4)(x – 7)} \right) \cdot \left( {(x – 5)(x – 6)} \right) = 1680$$ $$\left( {{x^2} – 11x + 28} \right)\left( {{x^2} – 11x + 30} \right) = 1680$$ $${x^2} – 11x = a,$$ $$a(a + 2) = 1680$$ $${a^2} + 2a – 1680 = 0$$ $${a_1} = – 42,\quad {a_2} = 40$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – 11x + 28 = – 42,}\\{{x^2} – 11x + 28 = 40;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} – 11x + 70 = 0,}\\{{x^2} – 11x – 12 = 0;}\end{array}} \right.$$ $$\left[ \begin{array}{l}\emptyset ,\\{x_1} = 12,\quad {x_2} = – 1.\end{array} \right.$$

Жауабы: $\{ – 1;\,12\} $.

$$\left( {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)} \right) \cdot \left( {\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)} \right) = – 15$$ $$\left( {{x^2} + 8x + 7} \right) \cdot \left( {{x^2} + 8x + 15} \right) = – 15$$ $$a = {x^2} + 8x + 7,$$ $$a(a + 8) = – 15$$ $${a^2} + 8a + 15 = 0$$ $${a_1} = – 5;\quad {a_2} = – 3.$$ $$\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 8x + 7 = – 5,}\\{{x^2} + 8x + 7 = – 3;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 8x + 12 = 0,}\\{{x^2} + 8x + 10 = 0;}\end{array}} \right.\quad \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = – 6,\quad {x_2} = – 2,}\\{{x_{3,4}} = – 4 \pm \sqrt 6 }\end{array}} \right.$$

Жауабы: $\left\{ { – 6;\, – 2;\, – 4 \pm \sqrt 6 } \right\}$.