Сандық өрнектерді тепе-тең түрлендіру (Рустюмова 1.1.2)

()

 +/-  - Есептің жауабын көрсету/көрсетпеу.

▲/▼ - Жауап орнын жасыру/шығару

   ×    - Сұрақты алып тастау.

Қысқаша көбейту формулаларын пайдаланып, есептеңіз.

№ 1 Есептеңіз: $\dfrac{{{{41}^2} - {{17}^2}}}{{{{37}^2} - {{21}^2}}} - \dfrac{{{{39}^2} - {{27}^2}}}{{{{45}^2} - {{21}^2}}}$

Шешуі: $$ = \dfrac{{(41 - 17)(41 + 17)}}{{(37 - 21)(37 + 21)}} - \dfrac{{(39 - 27)(39 + 27)}}{{(45 - 21)(45 + 21)}} = $$ $$ = \dfrac{{24 \cdot 58}}{{16 \cdot 58}} - \dfrac{{12 \cdot 66}}{{24 \cdot 66}} = \dfrac{3}{2} - \dfrac{1}{2} = 1$$

№ 2 Есептеңіз: ${\left( {5\dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{{16}}} \right)^2} - {\left( {5\dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{{16}}} \right)^2} + {\left( {7\dfrac{3}{5} + \dfrac{5}{{38}}} \right)^2} - {\left( {7\dfrac{3}{5} - \dfrac{5}{{38}}} \right)^2}$

Шешуі: $$ = \left( {5\dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{{16}} - 5\dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{{16}}} \right)\left( {5\dfrac{1}{3} + \dfrac{3}{{16}} + 5\dfrac{1}{3} - \dfrac{3}{{16}}} \right) + \left( {7\dfrac{3}{5} + \dfrac{5}{{38}} - + \dfrac{3}{5} + \dfrac{5}{{38}}} \right)\left( {7\dfrac{3}{5} + \dfrac{5}{{38}} + 7\dfrac{3}{5} - \dfrac{5}{{38}}} \right) = $$ $$\dfrac{6}{{16}} \cdot 10\dfrac{2}{3} + \dfrac{{10}}{{38}} \cdot 14\dfrac{6}{5} = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{{32}}{3} + \dfrac{5}{{19}} \cdot \dfrac{{76}}{5} = 4 + 4 = 8$$

№ 3 Есептеңіз: $\dfrac{{{{52}^2} - {{37}^2}}}{{{{57}^2} - {{32}^2}}} + \dfrac{{{{39}^2} - {{36}^2}}}{{{{45}^2} - {{30}^2}}}$

Шешуі: $${ = \dfrac{{(52 - 37)(52 + 37)}}{{(57 - 32)(57 + 32)}} + \dfrac{{(39 - 36)(39 + 36)}}{{(45 - 30)(45 + 30)}} = }$$ $${ = \dfrac{{15 \cdot 89}}{{25 \cdot 89}} + \dfrac{{3 \cdot 75}}{{15 \cdot 75}} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{3}{{15}} = \dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}}$$

№ 4 Есептеңіз: ${\dfrac{{{{7,4}^2} - {{2,6}^2}}}{{{{11,2}^2} - {{8,8}^2}}}}$

Шешуі: $${ = \dfrac{{(7,4 - 2,6)(7,4 + 2,6)}}{{(11,2 - 8,8)(11,2 + 8,8)}} = \dfrac{{4,8 \cdot 10}}{{2,4 \cdot 20}} = 1}$$

№ 5 Есептеңіз: $\dfrac{{{{3,88}^2} + {{3,12}^2}}}{2} + 3,88 \cdot 3,12$

Шешуі: $$ = \dfrac{{{{3,88}^2} + {{3,12}^2} + 2 \cdot 3,88 \cdot 3,12}}{2} = \dfrac{{{{(3,88 + 3,12)}^2}}}{2} = \dfrac{{49}}{2} = 24,5$$

№ 6 Есептеңіз: ${2,85^2} + {7,15^2} + \dfrac{{2,85 \cdot 7,15}}{{0,5}}$

Шешуі: $${2,85^2} + {7,15^2} + 2 \cdot 2,85 \cdot 7,15 = {(2,85 + 7,15)^2} = {10^2} = 100$$

№ 7 Есептеңіз: ${(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{5})(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{{25}})}$

Шешуі: $${(\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{5})\left( {{{(\sqrt[3]{2})}^2} + \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{2} + {{(\sqrt[3]{5})}^2}} \right) = {{(\sqrt[3]{2})}^3} - {{(\sqrt[3]{5})}^3} = 2 - 5 = - 3}$$

№ 8 Есептеңіз: ${{{\left( {5 + {{17}^{\frac{1}{2}}}} \right)}^{ - \frac{1}{3}}}:{{(5 - \sqrt {17} )}^{\frac{1}{3}}}}$

Шешуі: $${ = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{5 + \sqrt {17} }}}} \cdot \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{5 - \sqrt {17} }}}} = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{25 - 17}}}} = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{8}}} = \dfrac{1}{2}}$$

№ 9 Есептеңіз: ${\sqrt {\dfrac{{\sqrt {{{56}^2} - {{46}^2}} }}{{0,25 \cdot \sqrt {10} }}} }$

Шешуі: $${ = \sqrt {\dfrac{{\sqrt {(56 - 46)(56 + 46)} }}{{\dfrac{1}{4} \cdot \sqrt {10} }}} = \sqrt {\dfrac{{4\sqrt {10} \cdot \sqrt {102} }}{{\sqrt {10} }}} = 2\sqrt[4]{{102}}}$$

№ 10 Есептеңіз: ${\dfrac{{7{{(\sqrt 5 - \sqrt 3 )}^2}}}{{20(2 + \sqrt[4]{{15}})(2 - \sqrt[4]{{15}})}}}$

Шешуі: $${ = \dfrac{{7{{(\sqrt 5 - \sqrt 3 )}^2}}}{{20(4 - \sqrt {15} )}} = \dfrac{{7(8 - 2\sqrt {15} )}}{{20(4 - \sqrt {15} )}} = \dfrac{{14(4 - \sqrt {15} )}}{{20(4 - \sqrt {15} )}} = 0,7}$$

№ 11 Есептеңіз: ${\sqrt[4]{{\sqrt {23} - \sqrt 7 }} \cdot \sqrt[4]{{\sqrt {23} + \sqrt 7 }}}$

Шешуі: $${ = \sqrt[4]{{{{(\sqrt {23} )}^2} - {{(\sqrt 7 )}^2}}} = \sqrt[4]{{23 - 7}} = \sqrt[4]{{16}} = 2}$$

№ 12 Есептеңіз: ${0,507^3} + {0,493^3} - 0,507 \cdot 0,493$

Шешуі: $${ = (0,507 + 0,493)\left( {{{0,507}^2} - 0,507 \cdot 0,493 + {{0,493}^2}} \right) - 0,507 \cdot 0,493 = }$$ $${ = {{0,507}^2} - 2 \cdot 0,507 \cdot 0,493 + {{0,493}^2} = }$$ $${ = {{(0,507 - 0,493)}^2} = {{0,014}^2} = 0,000196}$$

№ 13 Есептеңіз: ${\dfrac{{\dfrac{{{{57}^3} + {{63}^3}}}{{120}} - 57 \cdot 63}}{{{{18,5}^2} - {{17,5}^2}}}}$

Шешуі: $${ = \dfrac{{(57 + 63)\left( {{{57}^2} - 5 \cdot 63 + {{63}^2}} \right)}}{{120}} - 57 \cdot 63 = }$$ $${ = \dfrac{{(18,5 - 17,5)(18,5 + 17,5)}}{{1 \cdot 36}} = \dfrac{{36}}{{36}} = 1}$$

№ 14 Есептеңіз: $\dfrac{{\dfrac{{{{15,1}^3} - {{10,5}^3}}}{{4,6}} + 15,1 \cdot 10,5}}{{{{32}^2} - {{19,2}^2}}}$

Шешуі: $$ = \dfrac{{\dfrac{{(15,1 - 10,5)\left( {{{15,1}^2} + 15,1 \cdot 10,5 + {{10,5}^2}} \right)}}{{4,6}} + 15,1 \cdot 10,5}}{{{{32}^2} - {{19,2}^2}}} = $$ $$ = \dfrac{{{{(15,1 + 10,5)}^2}}}{{(32 - 19,2)(32 + 19,2)}} = \dfrac{{{{25,6}^2}}}{{12,8 \cdot 51,2}} = \dfrac{{25,6 \cdot 25,6}}{{12,8 \cdot 25,6 \cdot 2}} = 1$$

№ 15 Есептеңіз: ${\left( {{9^{ - 0,25}} + {{(2\sqrt 2 )}^{ - \frac{2}{3}}}} \right)\left( {{9^{ - 0,25}} - {{(2\sqrt 2 )}^{ - \frac{2}{3}}}} \right)}$

Шешуі: $${{9^{ - 0,25}} = {{\left( {{3^2}} \right)}^{ - 0,25}} = {3^{ - 0,5}} = {3^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}}$$ $${{{(2\sqrt 2 )}^{ - \frac{2}{3}}} = {{\left( {\sqrt {{2^3}} } \right)}^{ - \frac{2}{3}}} = {2^{\frac{3}{2} \cdot \left( { - \frac{2}{3}} \right)}} = {2^{ - 1}} = \frac{1}{2}}$$ $${\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }} + \frac{1}{2}} \right)\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }} - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{{12}}}$$

№ 16 Есептеңіз: $\sqrt {\dfrac{{{{(\sqrt {13} )}^3} + {{(\sqrt 3 )}^3}}}{{\sqrt {13} + \sqrt 3 }} - \sqrt {39} } \cdot (\sqrt {13} + \sqrt 3 )$

Шешуі: $$ = \sqrt {\dfrac{{(\sqrt {13} + \sqrt 3 )\left( {{{(\sqrt {13} )}^2} - \sqrt {39} + {{(\sqrt 3 )}^2}} \right)}}{{\sqrt {13} + \sqrt 3 }} - \sqrt {39} } \cdot (\sqrt {13} + \sqrt 3 ) = $$ $$ = \sqrt {{{(\sqrt {13} - \sqrt 3 )}^2}} - (\sqrt {13} + \sqrt 3 ) = (\sqrt {13} - \sqrt 3 )(\sqrt {13} + \sqrt 3 ) = 13 - 3 = 10$$

№ 17 Есептеңіз: ${\dfrac{{6{{(\sqrt 2 - 1)}^3}}}{{1 - 5{{(\sqrt 2 - 1)}^2}}}}$

Шешуі: $${ = \dfrac{{6\left( {{{(\sqrt 2 )}^3} - 3{{(\sqrt 2 )}^2} \cdot 1 + 3 \cdot \sqrt 2 \cdot {1^2} - {1^3}} \right)}}{{1 - 5\left( {{{(\sqrt 2 )}^2} - 2\sqrt 2 \cdot 1 + {1^2}} \right)}} = }$$ $${ = \dfrac{{6(2\sqrt 2 - 6 + 3\sqrt 2 - 1)}}{{1 - 5(3 - 2\sqrt 2 )}} = \dfrac{{6(5\sqrt 2 - 7)}}{{1 - 15 + 10\sqrt 2 }} = \dfrac{{6(5\sqrt 2 - 7)}}{{2(5\sqrt 2 - 7)}} = 3}$$

№ 18 Есептеңіз: ${\dfrac{{25}}{{198}} \cdot \sqrt {\dfrac{{{{101}^2} - {{20}^2}}}{{125}}} - \dfrac{1}{{45}} \cdot \sqrt {{{115}^2} - {{110}^2}} }$

Шешуі: $${ = \dfrac{{25}}{{198}} \cdot \sqrt {\dfrac{{(101 - 20)(101 + 20)}}{{25 \cdot 5}}} - \dfrac{1}{{45}}\sqrt {(115 - 110)(115 + 110)} = }$$ $${ = \dfrac{{25}}{{198}}\sqrt {\dfrac{{81 \cdot 121}}{{25 \cdot 5}}} - \dfrac{1}{{45}}\sqrt {5 \cdot 225} = \dfrac{{25}}{{198}} \cdot \dfrac{{9 \cdot 11}}{{5\sqrt 5 }} - \dfrac{1}{{45}} \cdot 15 \cdot \sqrt 5 = }$$ $${ = \dfrac{5}{{2\sqrt 5 }} - \dfrac{{\sqrt 5 }}{3} = \dfrac{{\sqrt 5 \cdot \sqrt 5 }}{{2\sqrt 5 }} - \dfrac{{\sqrt 5 }}{3} = \sqrt 5 \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 5 }}{6}}$$

№ 19 Есептеңіз: $\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right)\left( {{3^{16}} + 1} \right)\left( {{3^{32}} + 1} \right) - \dfrac{1}{8} \cdot {3^{64}}$

Шешуі: $$ = \dfrac{{\left( {{3^2} - 1} \right)\left( {{3^2} + 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right)\left( {{3^{16}} + 1} \right)\left( {{3^{32}} + 1} \right)}}{8} - \dfrac{1}{8} \cdot {3^{64}}$$ $$\left( {{3^2} - 1} \right)\left( {{3^2} + 1} \right) = {3^4} - 1$$ $$\left( {{3^4} - 1} \right)\left( {{3^4} + 1} \right) = {3^8} - 1$$ $$\left( {{3^8} - 1} \right)\left( {{3^8} + 1} \right) = {3^{16}} - 1$$ $$\left( {{3^{16}} - 1} \right)\left( {{3^{16}} + 1} \right) = {3^{32}} - 1$$ $$\left( {{3^{32}} - 1} \right)\left( {{3^{32}} + 1} \right) = {3^{64}} - 1$$ $$\dfrac{{{3^{64}}}}{8} - \dfrac{1}{8} - \dfrac{{{3^{64}}}}{8} = - \dfrac{1}{8}$$

№ 20 Есептеңіз: $\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\left( {{2^{32}} + 1} \right)\left( {{2^{64}} + 1} \right) - \dfrac{1}{3} \cdot {2^{128}}$

Шешуі: $$ = \dfrac{{\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {{2^2} + 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right)\left( {{2^{32}} + 1} \right)\left( {{2^{64}} + 1} \right)}}{3} - \dfrac{1}{3} \cdot {2^{128}}$$ $$\left( {{2^4} - 1} \right)\left( {{2^4} + 1} \right) = {2^8} - 1$$ $${\left( {{2^8} - 1} \right)\left( {{2^8} + 1} \right) = {2^{16}} - 1}$$ $${\left( {{2^{16}} - 1} \right)\left( {{2^{16}} + 1} \right) = {2^{32}} - 1}$$ $${\left( {{2^{32}} - 1} \right)\left( {{2^{32}} + 1} \right) = {2^{64}} - 1}$$ $$\left( {{2^{64}} - 1} \right)\left( {{2^{64}} + 1} \right) = {2^{128}} - 1$$ $$\dfrac{{{2^{128}}}}{3} - \dfrac{1}{3} - \dfrac{{{2^{128}}}}{3} = - \dfrac{1}{3}$$

 

Жазба сіз үшін қаншалықты қажет болды?

Жұлдызшаның үстінен басыңыз!

Сіз бұл жазбаны қажетті деп таптыңыз...

Әлеуметтік желіде бөлісіңіз!

Бұл жазбаның сіз үшін қажетті болмағаны өкінішті!

Жазбамызды жақсартайық!

Жазбаны жақсартуға қандай ұсыныс айтар едіңіз?

Осы тақырыптағы посттар

Пікір қалдыру

Сіздің электронды почтаңыз жарияланбайды, Міндетті жолдарды толтырып шығыңыз.