Қос радикалды өрнектерді түрлендіру
Анықтама. $\sqrt{a+b \sqrt{c}} $ түріндегі өрнектерді қос радикалды өрнектер деп атайды. Мұндағы $a,b,c$ — кез келген сандар.
Егер түбір астындағы өрнек бір өрнектің толық квадратына тең болатын болса, онда сыртындағы радикалдан құтылу үшін $$\sqrt{a^2}=|a|$$ теңдігін қолданамыз.
1.11. Қос радикалды өрнектерді ықшамдап, бір радикалы бар өрнекке түрлендіріңіз.
1) $\sqrt{17+2 \sqrt{30}}$
Шешуі
$$\sqrt {17 + 2\sqrt {30} } = \sqrt {15 + 2 + 2\sqrt {15 \cdot 2} } = \sqrt {{{(\sqrt {15} + \sqrt 2 )}^2}} = |\sqrt {15} + \sqrt 2 | = \sqrt {15} + \sqrt 2 $$
2) $\sqrt{19-2 \sqrt{34}}$
Шешуі
$$\sqrt {19 - 2\sqrt {34} } = \sqrt {2 + 17 - 2\sqrt {2 \cdot 17} } = \sqrt {{{(\sqrt 2 - \sqrt {17} )}^2}} = $$ $$ = |\sqrt 2 - \sqrt {17} | = - (\sqrt 2 - \sqrt {17} ) = \sqrt {17} - \sqrt 2 $$
3) $\sqrt{2+\sqrt{9+4 \sqrt{2}}}$
Шешуі
$$\sqrt {2 + \sqrt {9 + 4\sqrt 2 } } = \sqrt {2 + \sqrt {8 + 1 + 4\sqrt 2 } } = \sqrt {2 + \sqrt {{{(2\sqrt 2 + 1)}^2}} } = $$ $$ = \sqrt {2 + 2\sqrt 2 + 1} = \sqrt {{{(\sqrt 2 + 1)}^2}} = |\sqrt 2 + 1| = \sqrt 2 + 1$$
4) $\sqrt{17-4 \sqrt{9+4 \sqrt{5}}}$
Шешуі
$$\sqrt {17 - 4\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } } = \sqrt {17 - 4\sqrt {5 + 4\sqrt 5 + 4} } = \sqrt {17 - 4\sqrt {{{(\sqrt 5 + 2)}^2}} } = $$ $$ = \sqrt {17 - 4|\sqrt 5 + 2|} = \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } = \sqrt {5 - 4\sqrt 5 + 4} = \sqrt {{{(\sqrt 5 - 2)}^2}} = $$ $$ = |\sqrt 5 - 2| = \sqrt 5 - 2$$
5) $\sqrt[4]{{7 + \sqrt {48} }}$
Шешуі
$$\sqrt[4]{{7 + \sqrt {48} }} = \sqrt[4]{{7 + 4\sqrt 3 }} = \sqrt[4]{{4 + 3 + 4\sqrt 3 }} = \sqrt[4]{{{{(2 + \sqrt 3 )}^2}}} = $$ $$ = \sqrt {2 + \sqrt 3 } = \sqrt {\frac{1}{2}(4 + 2\sqrt 3 )} = \sqrt {\frac{1}{2}(3 + 1 + 2\sqrt 3 )} = $$ $$ = \sqrt {\frac{1}{2}{{(\sqrt 3 + 1)}^2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \left| {\sqrt 3 + 1} \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(\sqrt 3 + 1)$$
6) $\sqrt{(3-2 \sqrt{3})^2}+3$
Шешуі
$$\sqrt {{{\left( {3 - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} + 3 = \left| {3 - 2\sqrt 3 } \right| + 3 = $$
Себебі $3-2 \sqrt{3} \simeq -0,46$ — теріс сан.
7) $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}+\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}$
Шешуі
$$\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = \left| {2 - \sqrt 5 } \right| + \left| {3 - \sqrt 5 } \right| = $$ $$ = - \left( {2 - \sqrt 5 } \right) + \left( {3 - \sqrt 5 } \right) = 1$$ Себебі, $2 - \sqrt 5 \lt 0, \quad 3-\sqrt{5}\gt 0$
8) $\sqrt{28-10 \sqrt{3}} \cdot(5+\sqrt{3})$
Шешуі
$$\sqrt {28 - 10\sqrt 3 } \cdot \left( {5 + \sqrt 3 } \right) = \sqrt {25 + 3 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt 3 } \cdot \left( {5 + \sqrt 3 } \right) = $$ $$ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 5} \right)}^2}} \cdot \left( {5 + \sqrt 3 } \right) = \left| {\sqrt 3 - 5} \right| \cdot \left( {5 + \sqrt 3 } \right) = $$ $$\left( {5 - \sqrt 3 } \right) \cdot \left( {5 + \sqrt 3 } \right) = 25 - 3 = 22$$
9) ${\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2}$
Шешуі
$${\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^2} + 2\sqrt {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} + {\left( {\sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} = $$ $$ = 3 + \sqrt 5 + 2\sqrt 4 + 3 - \sqrt 5 = 10$$
10) $\sqrt{16+\sqrt{31}} \cdot \sqrt{16-\sqrt{31}}$
Шешуі
$$\sqrt {16 + \sqrt {31} } \cdot \sqrt {16 - \sqrt {31} } = \sqrt {\left( {16 + \sqrt {31} } \right)\left( {16 - \sqrt {31} } \right)} = $$ $$ = \sqrt {{{16}^2} - 31} = \sqrt {225} = 15$$
11) $\sqrt[3]{12-\sqrt{80}} \cdot\left(12+80^{0,5}\right)^{\frac{1}{3}}$
Шешуі
$$\sqrt[3]{{12 - \sqrt {80} }} \cdot \sqrt[3]{{12 + \sqrt {80} }} = \sqrt[3]{{\left( {12 - \sqrt {80} } \right)\left( {12 + \sqrt {80} } \right)}} = \sqrt[3]{{144 - 80}} = \sqrt[3]{{64}} = 4$$
12) $\left( {\sqrt[6]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }}} \right) \cdot \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}}$
Шешуі
$$\left( {\sqrt[6]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }}} \right) \cdot \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}} = \left( {\sqrt[6]{{{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }}} \right) \cdot \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}} = $$ $$ = \left( {\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }}} \right) \cdot \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}} = 2 \cdot \sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} \cdot \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}} = $$ $$ = 2 \cdot \sqrt[3]{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}} = 2 \cdot \sqrt[3]{{5 - 4}} = 2$$
13) $\left( {\sqrt {7 + 2\sqrt {10} } - \sqrt {7 - 2\sqrt {10} } } \right) \cdot 3\sqrt {50} $
Шешуі
$$\left( {\sqrt {7 + 2\sqrt {10} } - \sqrt {7 - 2\sqrt {10} } } \right) \cdot 3\sqrt {50} = \left( {\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)}^2}} } \right) \cdot 15\sqrt 2 = $$ $$ = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 - \left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)} \right) \cdot 15\sqrt 2 = 2\sqrt 2 \cdot 15\sqrt 2 = 60$$
14) $\sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^3}}} - \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } $
Шешуі
$$\sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^3}}} - \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } = \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^3}}} - \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = $$ $$ = \sqrt 3 - 2 - \left| {2 - \sqrt 3 } \right| = \sqrt 3 - 2 - \left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 - 4$$
15) $A=\sqrt{4+2 \sqrt{3}}-\sqrt{4-2 \sqrt{3}}$ өрнегінің $50\%$-ын табыңыз.
Шешуі
$$A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = $$ $$\left| {1 + \sqrt 3 } \right| - \left| {1 - \sqrt 3 } \right| = 1 + \sqrt 3 - \left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 2$$
$p$ санының $50\%$-ы: $\frac{A}{100 \%} \cdot 50 \%=\frac{2}{100} \cdot 50=1$