Қос радикал ∞ QAZ MATH

Қос радикалды өрнектерді түрлендіру

Анықтама. $\sqrt{a + b \sqrt{c}}$ түріндегі өрнектерді қос радикалды өрнектер деп атайды. Мұндағы $a, b, c$ — кез келген сандар.

Егер түбір астындағы өрнек бір өрнектің толық квадратына тең болатын болса, онда сыртындағы радикалдан құтылу үшін $\sqrt{a^{2}} = | a |$ теңдігін қолданамыз.

1.11. Қос радикалды өрнектерді ықшамдап, бір радикалы бар өрнекке түрлендіріңіз.

1) $\sqrt{17 + 2 \sqrt{30}}$

Шешуі

$\sqrt{17 + 2 \sqrt{30}} = \sqrt{15 + 2 + 2 \sqrt{15 \cdot 2}} = \sqrt{{(\sqrt{15} + \sqrt{2})}^{2}} = | \sqrt{15} + \sqrt{2} | = \sqrt{15} + \sqrt{2}$

2) $\sqrt{19 - 2 \sqrt{34}}$

Шешуі

$\sqrt{19 - 2 \sqrt{34}} = \sqrt{2 + 17 - 2 \sqrt{2 \cdot 17}} = \sqrt{{(\sqrt{2} - \sqrt{17})}^{2}} =$ $= | \sqrt{2} - \sqrt{17} | = - (\sqrt{2} - \sqrt{17}) = \sqrt{17} - \sqrt{2}$

3) $\sqrt{2 + \sqrt{9 + 4 \sqrt{2}}}$

Шешуі

$\sqrt{2 + \sqrt{9 + 4 \sqrt{2}}} = \sqrt{2 + \sqrt{8 + 1 + 4 \sqrt{2}}} = \sqrt{2 + \sqrt{{(2 \sqrt{2} + 1)}^{2}}} =$ $= \sqrt{2 + 2 \sqrt{2} + 1} = \sqrt{{(\sqrt{2} + 1)}^{2}} = | \sqrt{2} + 1 | = \sqrt{2} + 1$

4) $\sqrt{17 - 4 \sqrt{9 + 4 \sqrt{5}}}$

Шешуі

$\sqrt{17 - 4 \sqrt{9 + 4 \sqrt{5}}} = \sqrt{17 - 4 \sqrt{5 + 4 \sqrt{5} + 4}} = \sqrt{17 - 4 \sqrt{{(\sqrt{5} + 2)}^{2}}} =$ $= \sqrt{17 - 4 | \sqrt{5} + 2 |} = \sqrt{9 - 4 \sqrt{5}} = \sqrt{5 - 4 \sqrt{5} + 4} = \sqrt{{(\sqrt{5} - 2)}^{2}} =$ $= | \sqrt{5} - 2 | = \sqrt{5} - 2$

5) $\sqrt[4]{7 + \sqrt{48}}$

Шешуі

$\sqrt[4]{7 + \sqrt{48}} = \sqrt[4]{7 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt[4]{4 + 3 + 4 \sqrt{3}} = \sqrt[4]{{(2 + \sqrt{3})}^{2}} =$ $= \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{1}{2} (4 + 2 \sqrt{3})} = \sqrt{\frac{1}{2} (3 + 1 + 2 \sqrt{3})} =$ $= \sqrt{\frac{1}{2} {(\sqrt{3} + 1)}^{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot | \sqrt{3} + 1 | = \frac{\sqrt{2}}{2} (\sqrt{3} + 1)$

6) $\sqrt{(3 - 2 \sqrt{3})^{2}} + 3$

Шешуі

$\sqrt{{(3 - 2 \sqrt{3})}^{2}} + 3 = | 3 - 2 \sqrt{3} | + 3 =$

Себебі $3 - 2 \sqrt{3} ≃ - 0, 46$ — теріс сан.

7) $\sqrt{(2 - \sqrt{5})^{2}} + \sqrt{(3 - \sqrt{5})^{2}}$

Шешуі

$\sqrt{{(2 - \sqrt{5})}^{2}} + \sqrt{{(3 - \sqrt{5})}^{2}} = | 2 - \sqrt{5} | + | 3 - \sqrt{5} | =$ $= - (2 - \sqrt{5}) + (3 - \sqrt{5}) = 1$ Себебі, $2 - \sqrt{5} < 0, 3 - \sqrt{5} > 0$

8) $\sqrt{28 - 10 \sqrt{3}} \cdot (5 + \sqrt{3})$

Шешуі

$\sqrt{28 - 10 \sqrt{3}} \cdot (5 + \sqrt{3}) = \sqrt{25 + 3 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{3}} \cdot (5 + \sqrt{3}) =$ $= \sqrt{{(\sqrt{3} - 5)}^{2}} \cdot (5 + \sqrt{3}) = | \sqrt{3} - 5 | \cdot (5 + \sqrt{3}) =$ $(5 - \sqrt{3}) \cdot (5 + \sqrt{3}) = 25 - 3 = 22$

9) ${(\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2}$

Шешуі

${(\sqrt{3 + \sqrt{5}} + \sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2} = {(\sqrt{3 + \sqrt{5}})}^{2} + 2 \sqrt{(3 + \sqrt{5}) (3 - \sqrt{5})} + {(\sqrt{3 - \sqrt{5}})}^{2} =$ $= 3 + \sqrt{5} + 2 \sqrt{4} + 3 - \sqrt{5} = 10$

10) $\sqrt{16 + \sqrt{31}} \cdot \sqrt{16 - \sqrt{31}}$

Шешуі

$\sqrt{16 + \sqrt{31}} \cdot \sqrt{16 - \sqrt{31}} = \sqrt{(16 + \sqrt{31}) (16 - \sqrt{31})} =$ $= \sqrt{16^{2} - 31} = \sqrt{225} = 15$

11) $\sqrt[3]{12 - \sqrt{80}} \cdot {(12 + 80^{0, 5})}^{\frac{1}{3}}$

Шешуі

$\sqrt[3]{12 - \sqrt{80}} \cdot \sqrt[3]{12 + \sqrt{80}} = \sqrt[3]{(12 - \sqrt{80}) (12 + \sqrt{80})} = \sqrt[3]{144 - 80} = \sqrt[3]{64} = 4$

12) $(\sqrt[6]{9 + 4 \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}}) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5} - 2}$

Шешуі

$(\sqrt[6]{9 + 4 \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}}) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5} - 2} = (\sqrt[6]{{(2 + \sqrt{5})}^{2}} + \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}}) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5} - 2} =$ $= (\sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} + \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}}) \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5} - 2} = 2 \cdot \sqrt[3]{2 + \sqrt{5}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5} - 2} =$ $= 2 \cdot \sqrt[3]{(\sqrt{5} - 2) (\sqrt{5} + 2)} = 2 \cdot \sqrt[3]{5 - 4} = 2$

13) $(\sqrt{7 + 2 \sqrt{10}} - \sqrt{7 - 2 \sqrt{10}}) \cdot 3 \sqrt{50}$

Шешуі

$(\sqrt{7 + 2 \sqrt{10}} - \sqrt{7 - 2 \sqrt{10}}) \cdot 3 \sqrt{50} = (\sqrt{{(\sqrt{5} + \sqrt{2})}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{5} - \sqrt{2})}^{2}}) \cdot 15 \sqrt{2} =$ $= (\sqrt{5} + \sqrt{2} - (\sqrt{5} - \sqrt{2})) \cdot 15 \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \cdot 15 \sqrt{2} = 60$

14) $\sqrt[3]{{(\sqrt{3} - 2)}^{3}} - \sqrt{7 - 4 \sqrt{3}}$

Шешуі

$\sqrt[3]{{(\sqrt{3} - 2)}^{3}} - \sqrt{7 - 4 \sqrt{3}} = \sqrt[3]{{(\sqrt{3} - 2)}^{3}} - \sqrt{{(2 - \sqrt{3})}^{2}} =$ $= \sqrt{3} - 2 - | 2 - \sqrt{3} | = \sqrt{3} - 2 - (2 - \sqrt{3}) = 2 \sqrt{3} - 4$

15) $A = \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}$ өрнегінің $50 %$ -ын табыңыз.

Шешуі

$A = \sqrt{4 + 2 \sqrt{3}} - \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} = \sqrt{{(1 + \sqrt{3})}^{2}} - \sqrt{{(1 - \sqrt{3})}^{2}} =$ $| 1 + \sqrt{3} | - | 1 - \sqrt{3} | = 1 + \sqrt{3} - (\sqrt{3} - 1) = 2$

$p$ санының $50 %$ -ы: $\frac{A}{100 %} \cdot 50 % = \frac{2}{100} \cdot 50 = 1$

Терминдер: ✽қос радикал, ✽радикал астындағы радикал өрнектер, ✽Сандық өрнектерді ықшамдау

Қос радикал

Қос радикалды өрнектерді түрлендіру

Осы тақырыптағы посттар

Пікір қалдыруКері қайту