Қос радикал

()

Қос радикалды өрнектерді түрлендіру

Анықтама. $\sqrt{a+b \sqrt{c}} $ түріндегі өрнектерді ды өрнектер деп атайды. Мұндағы $a,b,c$ — кез келген сандар.

Егер түбір астындағы өрнек бір өрнектің толық квадратына тең болатын болса, онда сыртындағы радикалдан құтылу үшін $$\sqrt{a^2}=|a|$$ теңдігін қолданамыз.

1.11. Қос радикалды өрнектерді ықшамдап, бір радикалы бар өрнекке түрлендіріңіз.

1) $\sqrt{17+2 \sqrt{30}}$

Шешуі

$$\sqrt {17 + 2\sqrt {30} } = \sqrt {15 + 2 + 2\sqrt {15 \cdot 2} } = \sqrt {{{(\sqrt {15} + \sqrt 2 )}^2}} = |\sqrt {15} + \sqrt 2 | = \sqrt {15} + \sqrt 2 $$

2) $\sqrt{19-2 \sqrt{34}}$

Шешуі

$$\sqrt {19 - 2\sqrt {34} } = \sqrt {2 + 17 - 2\sqrt {2 \cdot 17} } = \sqrt {{{(\sqrt 2 - \sqrt {17} )}^2}} = $$ $$ = |\sqrt 2 - \sqrt {17} | = - (\sqrt 2 - \sqrt {17} ) = \sqrt {17} - \sqrt 2 $$

3) $\sqrt{2+\sqrt{9+4 \sqrt{2}}}$

Шешуі

$$\sqrt {2 + \sqrt {9 + 4\sqrt 2 } } = \sqrt {2 + \sqrt {8 + 1 + 4\sqrt 2 } } = \sqrt {2 + \sqrt {{{(2\sqrt 2 + 1)}^2}} } = $$ $$ = \sqrt {2 + 2\sqrt 2 + 1} = \sqrt {{{(\sqrt 2 + 1)}^2}} = |\sqrt 2 + 1| = \sqrt 2 + 1$$

4) $\sqrt{17-4 \sqrt{9+4 \sqrt{5}}}$

Шешуі

$$\sqrt {17 - 4\sqrt {9 + 4\sqrt 5 } } = \sqrt {17 - 4\sqrt {5 + 4\sqrt 5 + 4} } = \sqrt {17 - 4\sqrt {{{(\sqrt 5 + 2)}^2}} } = $$ $$ = \sqrt {17 - 4|\sqrt 5 + 2|} = \sqrt {9 - 4\sqrt 5 } = \sqrt {5 - 4\sqrt 5 + 4} = \sqrt {{{(\sqrt 5 - 2)}^2}} = $$ $$ = |\sqrt 5 - 2| = \sqrt 5 - 2$$

5) $\sqrt[4]{{7 + \sqrt {48} }}$

Шешуі

$$\sqrt[4]{{7 + \sqrt {48} }} = \sqrt[4]{{7 + 4\sqrt 3 }} = \sqrt[4]{{4 + 3 + 4\sqrt 3 }} = \sqrt[4]{{{{(2 + \sqrt 3 )}^2}}} = $$ $$ = \sqrt {2 + \sqrt 3 } = \sqrt {\frac{1}{2}(4 + 2\sqrt 3 )} = \sqrt {\frac{1}{2}(3 + 1 + 2\sqrt 3 )} = $$ $$ = \sqrt {\frac{1}{2}{{(\sqrt 3 + 1)}^2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \cdot \left| {\sqrt 3 + 1} \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(\sqrt 3 + 1)$$

6) $\sqrt{(3-2 \sqrt{3})^2}+3$

Шешуі

$$\sqrt {{{\left( {3 - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} + 3 = \left| {3 - 2\sqrt 3 } \right| + 3 = $$

Себебі $3-2 \sqrt{3} \simeq -0,46$ — теріс сан.

7) $\sqrt{(2-\sqrt{5})^2}+\sqrt{(3-\sqrt{5})^2}$

Шешуі

$$\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = \left| {2 - \sqrt 5 } \right| + \left| {3 - \sqrt 5 } \right| = $$ $$ = - \left( {2 - \sqrt 5 } \right) + \left( {3 - \sqrt 5 } \right) = 1$$ Себебі, $2 - \sqrt 5 \lt 0, \quad 3-\sqrt{5}\gt 0$

8) $\sqrt{28-10 \sqrt{3}} \cdot(5+\sqrt{3})$

Шешуі

$$\sqrt {28 - 10\sqrt 3 } \cdot \left( {5 + \sqrt 3 } \right) = \sqrt {25 + 3 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt 3 } \cdot \left( {5 + \sqrt 3 } \right) = $$ $$ = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 5} \right)}^2}} \cdot \left( {5 + \sqrt 3 } \right) = \left| {\sqrt 3 - 5} \right| \cdot \left( {5 + \sqrt 3 } \right) = $$ $$\left( {5 - \sqrt 3 } \right) \cdot \left( {5 + \sqrt 3 } \right) = 25 - 3 = 22$$

9) ${\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2}$

Шешуі

$${\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } + \sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} = {\left( {\sqrt {3 + \sqrt 5 } } \right)^2} + 2\sqrt {\left( {3 + \sqrt 5 } \right)\left( {3 - \sqrt 5 } \right)} + {\left( {\sqrt {3 - \sqrt 5 } } \right)^2} = $$ $$ = 3 + \sqrt 5 + 2\sqrt 4 + 3 - \sqrt 5 = 10$$

10) $\sqrt{16+\sqrt{31}} \cdot \sqrt{16-\sqrt{31}}$

Шешуі

$$\sqrt {16 + \sqrt {31} } \cdot \sqrt {16 - \sqrt {31} } = \sqrt {\left( {16 + \sqrt {31} } \right)\left( {16 - \sqrt {31} } \right)} = $$ $$ = \sqrt {{{16}^2} - 31} = \sqrt {225} = 15$$

11) $\sqrt[3]{12-\sqrt{80}} \cdot\left(12+80^{0,5}\right)^{\frac{1}{3}}$

Шешуі

$$\sqrt[3]{{12 - \sqrt {80} }} \cdot \sqrt[3]{{12 + \sqrt {80} }} = \sqrt[3]{{\left( {12 - \sqrt {80} } \right)\left( {12 + \sqrt {80} } \right)}} = \sqrt[3]{{144 - 80}} = \sqrt[3]{{64}} = 4$$

12) $\left( {\sqrt[6]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }}} \right) \cdot \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}}$

Шешуі

$$\left( {\sqrt[6]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }}} \right) \cdot \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}} = \left( {\sqrt[6]{{{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}} + \sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }}} \right) \cdot \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}} = $$ $$ = \left( {\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }}} \right) \cdot \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}} = 2 \cdot \sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} \cdot \sqrt[3]{{\sqrt 5 - 2}} = $$ $$ = 2 \cdot \sqrt[3]{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}} = 2 \cdot \sqrt[3]{{5 - 4}} = 2$$

13) $\left( {\sqrt {7 + 2\sqrt {10} } - \sqrt {7 - 2\sqrt {10} } } \right) \cdot 3\sqrt {50} $

Шешуі

$$\left( {\sqrt {7 + 2\sqrt {10} } - \sqrt {7 - 2\sqrt {10} } } \right) \cdot 3\sqrt {50} = \left( {\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)}^2}} } \right) \cdot 15\sqrt 2 = $$ $$ = \left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 - \left( {\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)} \right) \cdot 15\sqrt 2 = 2\sqrt 2 \cdot 15\sqrt 2 = 60$$

14) $\sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^3}}} - \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } $

Шешуі

$$\sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^3}}} - \sqrt {7 - 4\sqrt 3 } = \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)}^3}}} - \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = $$ $$ = \sqrt 3 - 2 - \left| {2 - \sqrt 3 } \right| = \sqrt 3 - 2 - \left( {2 - \sqrt 3 } \right) = 2\sqrt 3 - 4$$

15) $A=\sqrt{4+2 \sqrt{3}}-\sqrt{4-2 \sqrt{3}}$ өрнегінің $50\%$-ын табыңыз.

Шешуі

$$A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} - \sqrt {{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = $$ $$\left| {1 + \sqrt 3 } \right| - \left| {1 - \sqrt 3 } \right| = 1 + \sqrt 3 - \left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 2$$

$p$ санының $50\%$-ы: $\frac{A}{100 \%} \cdot 50 \%=\frac{2}{100} \cdot 50=1$



Жазба сіз үшін қаншалықты қажет болды?

Жұлдызшаның үстінен басыңыз!

Сіз бұл жазбаны қажетті деп таптыңыз...

Әлеуметтік желіде бөлісіңіз!

Бұл жазбаның сіз үшін қажетті болмағаны өкінішті!

Жазбамызды жақсартайық!

Жазбаны жақсартуға қандай ұсыныс айтар едіңіз?

Осы тақырыптағы посттар

Пікір қалдыру

Сіздің электронды почтаңыз жарияланбайды, Міндетті жолдарды толтырып шығыңыз.