Периодты ондық бөлшектерді жай бөлшекке айналдыру
1. Периодты ондық бөлшектерді жай бөлшекке айналдырудың формуласы мынадай:
$$0,\left( {{a_1},{a_2},{a_3},…,{a_n}} \right) = \frac{{\overline {{a_1}{a_2}{a_3}…{a_n}} }}{{\underbrace {999…9}_n}}$$
Мысалы: $0,(17) = \frac{{17}}{{99}};\quad 0,(45) = \frac{{45}}{{99}} = \frac{5}{{11}}$
Аралас түрде берілген периодты ондық бөлшектерді мынадай жолмен шығаруға болады:
$$0,2(1) = \frac{{2,(1)}}{{10}} = \frac{{2 + 0,(1)}}{{10}} = \frac{{2 + \frac{1}{9}}}{{10}} = \frac{{19}}{{90}}$$ $$0,2(19) = \frac{{2,(19)}}{{10}} = \frac{{2 + 0,(19)}}{{10}} = \frac{{2 + \frac{{19}}{{99}}}}{{10}} = \frac{{217}}{{990}}$$ $$2,08(3) = \frac{{208,(3)}}{{100}} = \frac{{208 + 0,(3)}}{{100}} = \frac{{208 + \frac{3}{9}}}{{100}} = \frac{{625}}{{300}} = \frac{{25}}{{12}}$$
2. Периодты ондық бөлшектерді жай бөлшекке айналдырудың басқа тәсілі.
Жай периодты және аралас периодты ондық бөлшектерді жай бөлшекке айналдыруды қарастырайық.
a) $0,(13)$ санын жай бөлшек түрінде жазу керек:
$x = 0,(13) = 0,1313 \ldots $ болсын.
Периодты $x$ ондық бөлшегін үтірдің оң жағындағы периоды сол жағына ауысатындай санға көбейтеміз. Бұл есепте периодында 2 цифр бар. Осы екі цифр үтірдің сол жағына шығу үшін 100-ге көбейтеміз. $$x = 0,131313 \ldots = 0,(13)\quad \quad \left| { \times 100} \right.$$ $$100x = 13,1313 \ldots = 13,(13).$$
Енді екінші теңдіктен бірінші теңдікті мүшелеп азайтамыз: $$100x - x = 13,(13) - 0,(13)$$ $$99x = 13$$ $$x = \frac{{13}}{{99}}$$ Жауабы:$\frac{{13}}{{99}}$
б) $x = 0,2(54)$ санын жай бөлшек түрінде жазу керек.
Шешуі: Аралас периодты ондық бөлшекті жай периодты ондық бөлшекке айналдыру қажет. Ол үшін берілген санды 10-ға көбейтіп, $10x=2,(54)$ өрнегін аламыз.
Алдыңғы есептегідей, периоды үтірдің сол жақ бетіне өтетіндей болу үшін 100-ге көбейтеміз: $$10x = 2,(54)\quad \quad \left| \times \right.100$$ $$1000x = 254,(54)$$ $$1000x - 10x = 254,(54) - 2,(54)$$ $$990x = 252$$ $$x = \frac{{252}}{{990}} = \frac{{28}}{{110}} = \frac{{14}}{{55}}$$
Жауабы: $\frac{{14}}{{55}}$
1.1. Периодты ондық бөлшектерді жай бөлшек түрінде жазыңыз.
1) $0,11\left( 7 \right)$
Шешуі
$$x = 0,11(7)\quad \left| \times \right.100$$ $$100x = 11,(7)\quad \left| \times \right.10$$ $$1000x = 117,(7)$$ $$1000x - 100x = 106$$ $$900x = 106$$ $$x = \frac{{106}}{{900}} = \frac{{53}}{{450}}$$
2) $1,(36)$
Шешуі
$$x = 1,(36)\quad \left| \times \right.100$$ $$100x = 136,(36)$$ $$100x - x = 135$$ $$99x = 135$$ $$x = \frac{{135}}{{99}} = \frac{{15}}{{11}}$$
3) $0,2(7)$
Шешуі
$$x = 0,2(7)\quad \left| \times \right.10$$ $$10x = 2,(7)\quad \left| \times \right.10$$ $$100x = 27,(7)$$ $$100x - 10x = 25$$ $$90x = 25$$ $$x = \frac{{25}}{{90}} = \frac{5}{{18}}$$
3. Периодты ондық бөлшектерді шексіз кемімелі геометриялық прогрессияның көмегімен жай бөлшекке айналдыру.
а) $5,4$ санын периодты ондық бөлшекке айналдырайық.
Шешуі. Периодты ондық бөлшекті мына түрде жазамыз:
$$5,(4) = 5,444 \ldots = 5 + \frac{4}{{10}} + \frac{4}{{100}} + \frac{4}{{1000}} + \ldots = 5 + 4\left( {\frac{1}{{10}} + \frac{1}{{{{10}^2}}} + \frac{1}{{{{10}^3}}} + \ldots } \right)$$
Жақша ішінде $q = \frac{1}{{10}}$ және ${b_1} = \frac{1}{{10}}$ болатындай геометриялық прогрессия болады.
$$S = \frac{{{b_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{{10}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{1}{{10}} \div \frac{9}{{10}} = \frac{1}{9}$$
Бұдан $5,(4) = 5 + 4 \cdot \frac{1}{9} = \frac{{49}}{9}$
Жауабы: $5 \frac{4}{9}$
б) $1,2(3)$ санын жай бөлшекке айналдырыңыз.
$$1,2(3) = 1,2333 \ldots = 1 + \frac{2}{{10}} + \frac{3}{{100}} + \frac{3}{{1000}} + \frac{3}{{10000}} + \ldots = $$ $$ = 1 + \frac{2}{{10}} + 3\, \cdot \left( {\frac{1}{{{{10}^2}}} + \frac{1}{{{{10}^3}}} + \frac{1}{{{{10}^4}}} + \ldots } \right)$$ $$S = \frac{{{b_1}}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{{{{10}^2}}}}}{{1 - \frac{1}{{10}}}} = \frac{1}{{100}} \div \frac{9}{{10}} = \frac{1}{{90}}$$ $$1,2(3) = 1 + \frac{2}{{10}} + 3 \cdot \frac{1}{{90}} = 1 + \frac{2}{{10}} + \frac{1}{{30}} = \frac{{37}}{{30}}$$
Периодты ондық бөлшектерді жай бөлшекке айналдыру
Өзіндік жұмысқа берілген есептер
1.2 Есептеңіз: $\left( {\frac{{0,1}}{{1,(4)}} + 1,17} \right):\left( {1,17 + \frac{{0,01}}{{0,0(44)}}} \right)$
Шешуі:
$$0,(4) = \frac{4}{9};\quad \quad 0,0(44) = \frac{{0,(4)}}{{10}} = \frac{4}{{90}}$$ $$\left( {\frac{{0,1}}{{\frac{4}{9}}} + 1,17} \right)\left( {1,17 + \frac{{0,01}}{{\frac{4}{{90}}}}} \right) = \left( {\frac{9}{{40}} + 1,17} \right):\left( {1,17 + \frac{9}{{40}}} \right) = 1$$
1.3 Есептеңіз: $\dfrac{{0,23(7) + \frac{{43}}{{450}}}}{{0,5(61) - \frac{{113}}{{495}}}}$
Шешуі:
$$0.23(7) = \frac{{23,(7)}}{{100}} = \frac{{23 + 0,(7)}}{{100}} = \frac{{23 + \frac{7}{9}}}{{100}} = \frac{{214}}{{900}} = \frac{{107}}{{450}}$$ $$0.5(61) = \frac{{5,(61)}}{{10}} = \frac{{5 + 0,(61)}}{{10}} = \frac{{5 + \frac{{61}}{{99}}}}{{10}} = \frac{{556}}{{990}} = \frac{{278}}{{495}}$$ $$\left( {\frac{{107}}{{450}} + \frac{{43}}{{450}}} \right):\left( {\frac{{278}}{{495}} - \frac{{113}}{{495}}} \right) = \frac{{150}}{{450}}:\frac{{165}}{{495}} = \frac{1}{3}:\frac{1}{3} = 1$$
1.4 Берілген теңдеуден $x$ айнымалысының таңбасын анықтаңыз: $$\frac{{0,1(6) + 0,(3)}}{{0,(3) + 1,1(6)}} \cdot x = 10$$
Шешуі:
Периодты ондық бөлшектерді жай бөлшекке айналдыамыз:$$1,1(6) = \frac{{1,(6)}}{{10}} = \frac{{1 + 0,(6)}}{{10}} = \frac{{1 + \frac{6}{9}}}{{10}} = \frac{1}{6};\quad \quad 0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$ $$1.1(6) = 1 + 0,1(6) = 1 + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$$
Шыққан мәндер арқылы $x$ -ті табамыз.
$$1,1(6) = \frac{{1,(6)}}{{10}} = \frac{{1 + 0,(6)}}{{10}} = \frac{{1 + \frac{6}{9}}}{{10}} = \frac{1}{6};\quad \quad 0,(3) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$ $$\frac{{\frac{1}{6} + \frac{1}{3}}}{{\frac{1}{3} + \frac{7}{6}}} \cdot x = 10;\quad \quad \left( {\frac{3}{6}:\frac{9}{6}} \right) \cdot x = 10;\quad \quad \frac{3}{9}x = 10;\quad \quad x = 30$$