Сандық өрнектерді ықшамдау
Сандық өрнектерді ықшамдау кезінде алдымен өрнекті ортақ көбейткіштерді жақша сыртына шығару немесе бөлшекті қысқарту арқылы ықшамдап алып, содан кейін есептеу ыңғайлы болады.
1.5. Есептеңіз:
1) $\dfrac{{195 \cdot 41 + 5 \cdot 41}}{{465 \cdot 82 - 245 \cdot 82}}$
Шешуі
$$\frac{{195 \cdot 41 + 5 \cdot 41}}{{465 \cdot 82 - 245 \cdot 82}} = \frac{{41(195 + 5)}}{{82(465 - 245)}} = \frac{{41 \cdot 200}}{{82 \cdot 220}} = \frac{{1 \cdot 10}}{{2 \cdot 11}} = \frac{5}{{11}}$$
2) $\dfrac{{3\frac{5}{{11}} \cdot 6\frac{3}{4}}}{{3\frac{5}{{11}} \cdot 6\frac{3}{4} + 3\frac{5}{{11}} \cdot 1\frac{1}{2}}}$
Шешуі
$$\frac{{3\frac{5}{{11}} \cdot 6\frac{3}{4}}}{{3\frac{5}{{11}} \cdot 6\frac{3}{4} + 3\frac{5}{{11}} \cdot 1\frac{1}{2}}} = \frac{{3\frac{5}{{11}} \cdot 6\frac{3}{4}}}{{3\frac{5}{{11}}\left( {6\frac{3}{4} + 1\frac{1}{2}} \right)}} = 6\frac{3}{4}:8\frac{1}{4} = \frac{{27}}{4} \cdot \frac{4}{{33}} = \frac{9}{{11}}$$
3) $\dfrac{{8:2\frac{2}{5}}}{{5\frac{1}{4}:7}}:\dfrac{{2\frac{1}{7}:\frac{5}{7}}}{{4:\frac{8}{9}}}$
Шешуі
$$\frac{{8:2\frac{2}{5}}}{{5\frac{1}{4}:7}}:\frac{{2\frac{1}{7}:\frac{5}{7}}}{{4:\frac{8}{9}}} = \frac{{8 \cdot \frac{5}{{12}}}}{{\frac{{21}}{4} \cdot \frac{1}{7}}} \cdot \frac{{4 \cdot \frac{9}{{15}}}}{{\frac{7}{7} \cdot \frac{7}{5}}} = \left( {\frac{{10}}{3}:\frac{3}{4}} \right) \cdot \left( {\frac{9}{2}:\frac{3}{1}} \right) = $$ $$ = \frac{{10}}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{9}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{{20}}{3} = 6\frac{2}{3}$$
4) ${\left( {\dfrac{{3\left( {\frac{{17}}{{90}} - 0,125:1\frac{1}{8}} \right):480}}{{\left( {7:1,8 - 2\frac{1}{3}:1,5} \right):2\frac{2}{3}}}} \right)^{ - 1}}$
Шешуі
$${\left( {\frac{{3\left( {\frac{{17}}{{90}} - 0,125:1\frac{1}{8}} \right):480}}{{\left( {7:1,8 - 2\frac{1}{3}:1,5} \right):2\frac{2}{3}}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{3\left( {\frac{{17}}{{90}} - \frac{1}{8} \cdot \frac{8}{9}} \right) \cdot \frac{1}{{480}}}}{{\left( {7 \cdot \frac{5}{9} - \frac{7}{3} \cdot \frac{2}{3}} \right) \cdot \frac{3}{8}}}} \right)^{ - 1}} = $$ $$ = {\left( {\frac{{3 \cdot \frac{{17 - 10}}{{90}} \cdot \frac{1}{{480}}}}{{\frac{{7(5 - 2)}}{9} \cdot \frac{3}{8}}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {\frac{{3 \cdot 7 \cdot 9 \cdot 8}}{{7 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 90 \cdot 480}}} \right)^{ - 1}} = \frac{{3 \cdot 480 \cdot 10}}{8} = 1800$$
5) $\dfrac{1}{{1 \cdot 2}} + \dfrac{1}{{2 \cdot 3}} + \dfrac{1}{{3 \cdot 4}} + \dfrac{1}{{4 \cdot 5}} + \dfrac{1}{{5 \cdot 6}} + \dfrac{1}{{6 \cdot 7}} + \dfrac{1}{{7 \cdot 8}}$
Шешуі
$$\frac{1}{{1 \cdot 2}} + \frac{1}{{2 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 4}} + \frac{1}{{4 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 6}} + \frac{1}{{6 \cdot 7}} + \frac{1}{{7 \cdot 8}} = $$ $$ = \left( {1 - \frac{1}{2}} \right) + \left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} \right) + \left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{4}} \right) + \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{5}} \right) + \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{6}} \right) + \left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{7}} \right) + \left( {\frac{1}{7} - \frac{1}{8}} \right) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$$
6) $\dfrac{1}{{1 \cdot 3}} + \dfrac{1}{{3 \cdot 5}} + \dfrac{1}{{5 \cdot 7}} + \ldots + \dfrac{1}{{99 \cdot 101}}$
Шешуі
$$\frac{1}{{1 \cdot 3}} + \frac{1}{{3 \cdot 5}} + \frac{1}{{5 \cdot 7}} + \ldots + \frac{1}{{99 \cdot 101}} = $$ $$ = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3} - \frac{1}{5}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{5} - \frac{1}{7}} \right) + \ldots + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{99}} \cdots \frac{1}{{101}}} \right) = $$ $$ = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \ldots + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{101}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 - \frac{1}{{101}}} \right) = \frac{{50}}{{101}}$$
Сандық өрнектерді ықшамдау кезінде көбіне жаңа айнымалы енгізу әдісі қолданылады. Ол өрнектің барынша ықшам түрде жазылуына көмектеседі.
7) ${7521^2} - 7522 \cdot 7520$
Шешуі
$${7521^2} - 7522 \cdot 7520 = |7521 = x| = {x^2} - (x + 1)(x - 1) = {x^2} - {x^2} + 1 = 1$$
8)$\dfrac{{199 \cdot 201 + 299 \cdot 301 + 2}}{{1999 \cdot 2001 + 2999 \cdot 3001 + 2}}$
Шешуі
$$\frac{{199 \cdot 201 + 299 \cdot 301 + 2}}{{1999 \cdot 2001 + 2999 \cdot 3001 + 2}} = \left| {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 200}\\{y = 300}\end{array}} \right| = $$ $$ = \frac{{(x - 1)(x + 1) + (y - 1)(y + 1) + 2}}{{(10x - 1)(10x + 1) + (10y - 1)(10y + 1) + 2}} = $$ $$ = \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{100{x^2} + 100{y^2}}} = \frac{1}{{100}} = 0,01$$
9)$\dfrac{{254 \cdot 399 - 145}}{{254 + 399 \cdot 253}}$
Шешуі
$$\frac{{254 \cdot 399 - 145}}{{254 + 399 \cdot 253}} = \frac{{(253 + 1) \cdot 399 - 145}}{{254 + 399 \cdot 253}} = \frac{{253 \cdot 399 + 399 - 145}}{{254 + 399 \cdot 253}} = $$ $$ = \frac{{253 \cdot 399 + 254}}{{254 + 399 \cdot 253}} = 1$$