Көрсеткіштік теңдеулер (Рустюмова 3.1.1)

()

 +/-  - Есептің жауабын көрсету/көрсетпеу.

▲/▼ - Жауап орнын жасыру/шығару

   ×    - Сұрақты алып тастау.

Теңдеулердің екі жағын бірдей негізге келтіру арқылы шешу

№ 1 Теңдеуді шешіңіз: ${\left( {\frac{3}{7}} \right)^{3x - 7}} = {\left( {\frac{7}{3}} \right)^{7x - 3}}$

Шешуі: $${\left( {\frac{3}{7}} \right)^{3x - 7}} = {\left( {\frac{3}{7}} \right)^{3 - 7x}}$$ $$3x - 7 = 3 - 7x$$ $$3x + 7x = 3 + 7$$ $$10x = 10$$ $$x = 1$$

Жауабы: $1$

№ 2 Теңдеуді шешіңіз: $\sqrt[3]{{{2^{x - 1}}}} = \frac{2}{{\sqrt 2 }}$

Шешуі:

$${2^{\frac{{x - 1}}{3}}} = {2^{1 - \frac{1}{2}}}$$ $${2^{\frac{{x - 1}}{3}}} = {2^{\frac{1}{2}}}$$ $$\frac{{x - 1}}{3} = \frac{1}{2}$$

$$x - 1 = \frac{3}{2}$$ $$x = \frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$$

Жауабы: $\frac{5}{2}$

№ 3 Теңдеуді шешіңіз: ${{2^x} \cdot {2^{x - 4}} = 16}$

Шешуі:

$${{2^{x + x - 4}} = {2^4}}$$ $${2x - 4 = 4}$$

$${2x = 8}$$ $${x = 4}$$

Жауабы:$4$

№ 4 Теңдеуді шешіңіз: ${{2^{{x^2} - 6x - 2,5}} = 16\sqrt 2 }$

Шешуі:

$${{2^{{x^2} - 6x - 2,5}} = {2^4} \cdot {2^{\frac{1}{2}}}}$$ $${{2^{{x^2} - 6x - 2,5}} = {2^{4\frac{1}{2}}}}$$

$${{x^2} - 6x - 2,5 = 4,5}$$ $${{x^2} - 6x - 7 = 0}$$ $${{x_1} = 7,\quad {x_2} = - 1}$$

Жауабы: ${ - 1;7}$

№ 5 Теңдеуді шешіңіз: ${2^{3x + 1}} = {32^{ - 1}}$

Шешуі:

$${2^{3x + 1}} = {2^{ - 5}}$$ $$3x + 1 = - 5$$

$$3x = - 6$$ $$x = - 2$$

Жауабы: $ - 2$

№ 6 Теңдеуді шешіңіз: ${{{\left( {{{10}^{5 - x}}} \right)}^{6 - x}} = 100}$

Шешуі:

$${{{10}^{(5 - x)(6 - x)}} = {{10}^2}}$$ $${(5 - x)(6 - x) = 2}$$ $${30 - 5x - 6x + {x^2} - 2 = 0}$$

$${{x^2} - 11x + 28 = 0}$$ $${{x_1} = 7,\quad {x_2} = 4}$$

Жауабы: ${4;7}$

№ 7 Теңдеуді шешіңіз: ${{{(2,5)}^{2x - 3}} = \frac{{125}}{8}}$

Шешуі:

$${{{(2,5)}^{2x - 3}} = {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^3}}$$ $${{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^{2x - 3}} = {{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^3}}$$

$${2x - 3 = 3}$$ $${2x = 6}$$ $${x = 3}$$

Жауабы: $3$

№ 8 Теңдеуді шешіңіз: ${{3^{{x^2} - 7,2x}} = \frac{1}{{3\sqrt[5]{9}}}}$

Шешуі:

$${{3^{{x^2} - 7,2x}} = {3^{ - 1}} \cdot {3^{ - \frac{2}{5}}}}$$ $${{3^{{x^2} - 7,2x}} = {3^{ - 1 - \frac{2}{5}}}}$$ $${{x^2} - 7,2x + 1\frac{2}{5} = 0}$$

$${{x^2} - 7,2x + 1,4 = 0}$$ $${D = {{3,6}^2} - 1,4 = 11,56}$$ $${{x_{1,2}} = 3,6 \pm \sqrt {11,56} = 3,6 \pm 3,4}$$ $${x_1} = 7;\quad {x_2} = 0,2$$

Жауабы: ${\quad 7; 0,2}$

№ 9 Теңдеуді шешіңіз: ${{2^{\frac{x}{2}}} \cdot {3^{\frac{x}{2}}} = 36}$

Шешуі:

$${{{(2 \cdot 3)}^{\frac{x}{2}}} = {6^2}}$$ $${{6^{\frac{x}{2}}} = {6^2}}$$

$${\frac{x}{2} = 2}$$ $${x = 4}$$

Жауабы: $4$

№ 10 Теңдеуді шешіңіз: ${{{\left( {\frac{4}{9}} \right)}^x} \cdot {{\left( {\frac{{27}}{8}} \right)}^{x - 1}} = \frac{2}{3}}$

Шешуі:

$${{{\left( {\frac{4}{9}} \right)}^x} \cdot {{\left( {\frac{{27}}{8}} \right)}^x} \cdot {{\left( {\frac{{27}}{8}} \right)}^{ - 1}} = \frac{2}{3}}$$ $${{{\left( {\frac{4}{9} \cdot \frac{{27}}{8}} \right)}^x} = \frac{2}{3}:\frac{8}{{27}}}$$

$${{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} = \frac{2}{3} \cdot \frac{{27}}{8}}$$ $${{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^x} = {{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}}$$ $${x = 2}$$

Жауабы: $2$

№ 11 Теңдеуді шешіңіз: ${{4^x} \cdot {5^{x + 1}} = 5 \cdot {{20}^{2 - x}}}$

Шешуі:

$${{{20}^x} \cdot 5 = 5 \cdot {{20}^{2 - x}}}$$ $${{{20}^x} = {{20}^{2 - x}}}$$

$${x = 2 - x}$$ $${2x = 2}$$ $${x = 1}$$

Жауабы: $1$

№ 12 Теңдеуді шешіңіз: ${0,25^x} = \frac{{128}}{{{2^{x - 1}}}}$

Шешуі:

$${\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} = \frac{{{2^7}}}{{{2^{x - 1}}}}$$ $${2^{ - 2x}} = {2^{7 - x + 1}}$$

$$ - 2x = 8 - x$$ $$ - x = 8$$ $$x = - 8$$

Жауабы: $ - 8$

№ 13 Теңдеуді шешіңіз: ${{{(0,5)}^{{x^2} - 20x + 61,5}} = \frac{8}{{\sqrt 2 }}}$

Шешуі:

$${{2^{ - {x^2} + 20x - 61,5}} = {2^{3 - \frac{1}{2}}}}$$ $${ - {x^2} + 20x - 61,5 = 2,5}$$

$${{x^2} - 20x + 64 = 0}$$ $${D = 100 - 64 = 36}$$ $${x_1} = 10 + 6 = 16$$ $${x_2} = 10 - 6 = 4$$

Жауабы: $4;16$

№ 14 Теңдеуді шешіңіз: ${{5^{\frac{{5 - 3x}}{{x - 2}}}} = \frac{1}{{25}}}$

Шешуі:

$${{5^{\frac{{5 - 3x}}{{x - 2}}}} = {5^{ - 2}}}$$ $${\frac{{5 - 3x}}{{x - 2}} = - 2}$$

$${5 - 3x = - 2x + 4}, \quad x \ne 2$$ $${x = 1}$$

Жауабы: $1$

№ 15 Теңдеуді шешіңіз: ${\left( {\frac{5}{{12}}} \right)^{2x - 3}} = {(2,4)^{3x - 2}}$

Шешуі:

$${\left( {\frac{5}{{12}}} \right)^{2x - 3}} = {\left( {\frac{{24}}{{10}}} \right)^{3x - 2}}$$ $${\left( {\frac{5}{{12}}} \right)^{2x - 3}} = {\left( {\frac{5}{{12}}} \right)^{2 - 3x}}$$

$$2x - 3 = 2 - 3x$$ $$5x = 5$$ $$x = 1$$

Жауабы: $1$

№ 16 Теңдеуді шешіңіз: ${\sqrt[x]{{256}} = {4^x}}$

Шешуі:

$${{4^{\frac{4}{x}}} = {4^x},\quad x \in N}$$ $${\frac{4}{x} = x}$$

$${{x^2} = 4}$$ $${x = 2}$$

Жауабы: $2$

№ 17 Теңдеуді шешіңіз: $1000 \cdot \sqrt[x]{{0,1}} = {100^x}$

Шешуі:

$$\boxed{\sqrt[q]{{{a^p}}} = {a^{\frac{p}{q}}},\quad a \ge 0,\,q \ne 1}$$ $${{{10}^3} \cdot {{10}^{ - \frac{1}{x}}} = {{10}^{2x}}}$$ $${{{10}^{3 - \frac{1}{x}}} = {{10}^2x}}$$ $${3 - \frac{1}{x} = 2x}$$

$${2x + \frac{1}{x} = 3}$$ $${2{x^2} - 3x + 1 = 0}$$ $${D = 9 - 8 = 1}$$ $${{x_{1,2}} = \frac{{3 \pm 1}}{4} = \left\langle \begin{array}{l}\frac{1}{2}\\1\end{array} \right.}$$ $${x \in N,\quad x \ne 1}$$

Жауабы: $\emptyset $

№ 18 Теңдеуді шешіңіз: ${{2^{\cos 2x}} = \sqrt 2 }$

Шешуі:

$${{2^{\cos 2x}} = {2^{\frac{1}{2}}}}$$ $${\cos 2x = \frac{1}{2}}$$

$${2x = \pm \frac{\pi }{3} + 2\pi n}$$ $${x = \pm \frac{\pi }{6} + \pi n,\quad n \in Z}$$

Жауабы: ${ \pm \frac{\pi }{6} + \pi n,\quad n \in Z}$

№ 19 Теңдеуді шешіңіз: ${\sqrt[x]{{15}} = 225}$

Шешуі:

$${{{15}^{\frac{1}{x}}} = {{15}^{ 2}}}$$ $${\frac{1}{x} = 2}$$

$$x = \frac{1}{2}$$ $$x \in N$$

Жауабы: $\emptyset $

№ 20 Теңдеуді шешіңіз: ${{2^{{x^2} - 3}} \cdot {5^{{x^2} - 3}} = 0,01 \cdot {{\left( {{{10}^{x - 1}}} \right)}^3}}$

Шешуі:

$${{{10}^{{x^2} - 3}} = {{10}^{ - 2}} \cdot {{10}^{3x - 3}}}$$ $${{x^2} - 3 = 3x - 5}$$

$${{x^2} - 3x + 2 = 0}$$ $${{x_1} = 2,\quad {x_2} = 1}$$

Жауабы: ${1;2}$

№ 21 Теңдеуді шешіңіз: ${27 = {{\left( {0,(3)} \right)}^{6 - x}}}$

Шешуі:

$${27 = {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{6 - x}}}$$ $${{3^3} = {3^{x - 6}}}$$

$${3 = x - 6}$$ $${x = 9}$$

Жауабы: $9$

№ 22 Теңдеуді шешіңіз: ${25^{|1 - 2x|}} = {5^{4 - 6x}}$

Шешуі:

$${5^2}^{|1 - 2x|} = {5^{4 - 6x}}$$ $$2|1 - 2x| = 4 - 6x$$ $$|1 - 2x| = 2 - 3x$$

$$\left\{ \begin{array}{l}\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 - 2x = 2 - 3x}\\{1 - 2x = 3x - 2}\end{array}} \right.\\2 - 3x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = \frac{3}{5}\end{array} \right.\\x \le \frac{2}{3}\end{array} \right.$$

Жауабы: $\frac{3}{5}$

№ 23 Теңдеуді шешіңіз: ${{2^{|x + 1|}} = {{(\sqrt 2 )}^{ - 2x + 3}}}$

Шешуі: $${{2^{|x + 1|}} = {2^{\frac{1}{2}( - 2x + 3)}}}$$ $${|x + 1| = - x + \frac{3}{2}}$$ $$\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x + 1 = - x + \frac{3}{2}\\x + 1 = x - \frac{3}{2}\end{array} \right.\\ - x + \frac{3}{2} \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{4}\\\emptyset \end{array} \right.\\x \le \frac{3}{2}\end{array} \right.$$

Жауабы: $\frac{1}{4}$

№ 24 Теңдеуді шешіңіз: $\left( {{3^{{x^2} - 7,2x + 3,9}} - 9\sqrt 3 } \right) \cdot \sqrt {5 - x} = 0$

Шешуі:$${{x^2} - 7,2x + 3,9 = 2,5}$$ $$\left[ \begin{array}{l}{3^{{x^2} - 7,2x + 3,9}} - 9\sqrt 3 = 0,\\\sqrt {5 - x} = 0\\5 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 5\end{array} \right. \Rightarrow $$ $$\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 7,2x + 3,9 = 2,5\\x = 5\end{array} \right.$$ $${x^2} - 7,2x + 1,4 = 0$$ $$D = {3,6^2} - 1,4 = 11,56$$ $${{x_{1,2}} = 3,6 \pm 3,4 = \left\langle \begin{array}{l}7 -\text{бөгде түбір} \\0,2\end{array} \right.}$$

Жауабы: $0,2; 5$

№ 25 Теңдеуді шешіңіз: ${(\sqrt[4]{2})^{4x + 5}} = {\left( {\sin \frac{\pi }{4}} \right)^{\frac{{2x}}{3}}}$

Шешуі:

$${{2^{\frac{{4x + 5}}{4}}} = {{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^{\frac{{2x}}{3}}}}$$ $${{2^{\frac{{4x + 5}}{4}}} = {2^{ - \frac{1}{2} \cdot \frac{{2x}}{3}}}}$$ $${x + \frac{5}{4} = - \frac{x}{3}}$$

$${\frac{4}{3}x = - \frac{5}{4}}$$ $${x = - \frac{5}{4} \cdot \frac{3}{4} = - \frac{{15}}{{16}}}$$

Жауабы: ${ - \frac{{15}}{{16}}}$

№ 26 Теңдеуді шешіңіз: ${49^{\frac{1}{6}}} \cdot {7^{2,5}} = {7^{\frac{1}{2}}} \cdot {7^{ - \frac{2}{3}}} \cdot 49 \cdot {x^{0,5}}$

Шешуі:

$${7^{\frac{1}{3}}} \cdot {7^{2,5}} = {7^{\frac{1}{2} - \frac{2}{3}}} \cdot {7^2} \cdot {x^{0,5}}$$ $${\frac{{{7^{2,5 + \frac{1}{3}}}}}{{{7^{\frac{1}{2} - \frac{2}{3} + 2}}}} = {x^{\frac{1}{2}}}}$$

$${{7^{\frac{5}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{3} - 2}} = {x^{\frac{1}{2}}}}$$ $${{7^{2 + 1 - 2}} = {x^{\frac{1}{2}}}}$$ $${x = 49}$$

Жауабы: ${49}$

№ 27 Теңдеуді шешіңіз: $16 \cdot {2^{\frac{1}{8}}} \cdot {8^{\frac{1}{{40}}}} \cdot x = {4^3} \cdot {2^{\frac{6}{5}}} \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2}$

Шешуі: $${{2^{4 + \frac{1}{8} + \frac{3}{{40}}}} \cdot x = {2^{6 + \frac{6}{5} - 4}}}$$ $${x = {2^{2 + \frac{6}{5} - 4 - \frac{1}{8} - \frac{3}{{40}}}}}$$ $${x = {2^{ - 2 + 1}} = {2^{ - 1}} = \frac{1}{2}}$$

Жауабы: ${\frac{1}{2}}$

№ 28 Теңдеуді шешіңіз: ${3^{\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|}} = {9^{x + 1}}$

Шешуі: $$\left| {{x^2} - 3x + 2} \right| = 2(x + 1)$$

$$\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 = 2x + 2\\{x^2} - 3x + 2 = - 2x - 2\end{array} \right.\\2x + 2 \ge 0\end{array} \right.$$

$$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 0,\quad {x_2} = 5\\{x^2} - x + 4 = 0,\quad x \in \emptyset \end{array} \right.\\x \ge - 1\end{array} \right.$$

Жауабы: $0;\,5$

№ 29 Теңдеуді шешіңіз: ${{{3,24}^{2\sqrt x - 5}} = {{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^{5\sqrt x + 1}}}$

Шешуі:

$${{{1,8}^{4\sqrt x - 10}} = {{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^{5\sqrt x + 1}}}$$ $${{{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^{10 - 4\sqrt x }} = {{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^{5\sqrt x + 1}}}$$

$${10 - 4\sqrt x = 5\sqrt x + 1}$$ $${9 = 9\sqrt x }$$ $${x = 1}$$

Жауабы: $1$

№ 30 Теңдеуді шешіңіз: ${\frac{1}{{27}}\sqrt[4]{{{9^{3x - 1}}}} = {{27}^{ - \frac{2}{3}}}}$

Шешуі:

$${{3^{ - 3}} \cdot {3^{\frac{{6x - 2}}{4}}} = {3^{ - 2}}}$$ $${{3^{ - 3 + \frac{{3x - 1}}{2}}} = {3^{ - 2}}}$$ $${\frac{{ - 6 + 3x - 1}}{2} = - 2}$$

$${ - 6 + 3x - 1 = - 4}$$ $${3x = 3}$$ $${x = 1}$$

Жауабы: $1$

Есептер QAZMATH.NET сайтынан алынды.

Есеп шешімдерінің авторы Есетова Жанат Сайлауовна

 

Жазба сіз үшін қаншалықты қажет болды?

Жұлдызшаның үстінен басыңыз!

Сіз бұл жазбаны қажетті деп таптыңыз...

Әлеуметтік желіде бөлісіңіз!

Бұл жазбаның сіз үшін қажетті болмағаны өкінішті!

Жазбамызды жақсартайық!

Жазбаны жақсартуға қандай ұсыныс айтар едіңіз?

Осы тақырыптағы посттар

Пікір қалдыру

Сіздің электронды почтаңыз жарияланбайды, Міндетті жолдарды толтырып шығыңыз.