Модуль таңбасы бар өрнектердің өзгеруін орындаңыз.
№ 1 Егер $x \ge 2$ болса, $f(x)=|x-2|+7-x$ табыңыз.
Шешуі: $${x \ge 2\quad \to \quad |x — 2| = x — 2}$$ $${f(x) = x — 2 + 7 — x = 5}$$
№ 2 Егер $(-\infty;0)$ болса, $\dfrac{a^2-4}{|a|+2}$ ықшамдаңыз.
Шешуі: $${a \lt 0\quad \to \quad |a| = — a}$$ $${\frac{{{a^2} — 4}}{{ — a + 2}} = \frac{{(a — 2)(a + 2)}}{{ — (a — 2)}} = — (a + 2) = — a — 2}$$
№ 3 Егер $x \gt \dfrac{3}{4}$ болса, $f(x)=|3x+1|+|4x-3|-7x$ табыңыз.
Шешуі: $${x \gt \frac{3}{4}\quad \to \quad |3x + 1| = 3x + 1}$$ $${x \gt \frac{3}{4}\quad \to \quad |4x — 3| = 4x — 3}$$ $${f(x) = 3x + 1 + 4x — 3 — 7x = — 2}$$
№ 4 Егер $-\dfrac{1}{3} \le x \le \dfrac{3}{4} $ болса, $f(x)=|3x+1|+|4x-3|-7x$ табыңыз.
Шешуі: $$x \ge — \frac{1}{3}\quad \to \quad |3x + 1| \to 3x + 1$$ $$x \le \frac{3}{4}\quad \to \quad |4x — 3| = — 4x + 3$$ $$f(x) = 3x + 1 — 4x + 3 — 7x = — 8x + 4$$
№ 5 Егер $0 \lt x \lt 2$ болса, $f(x)=|x|+|2-x|+3 \cdot |x-3|$ табыңыз.
Шешуі: $${x \gt 0\quad \to \quad |x| = x}$$ $${x \lt 2\quad \to \quad |2 — x| = 2 — x}$$ $${x \lt 2\quad \to \quad |x — 3| = — (x — 3) = — x + 3}$$ $${f(x) = x + 2 — x + 3( — x + 3) = 2 — 3x + 9 = — 3x + 11}$$
№ 6 $f(x)=|x-2|$ функциясы берілген. $f(-3)$ табыңыз.
Шешуі: $$f( — 3) = | — 3 — 2| = | — 5| = 5$$
№ 7 Егер $a \in (-\infty; -2)$ болса, $\dfrac{a^3+a^2-2a}{a\cdot |a+2|-a^2+4}$ ықшамдаңыз.
Шешуі: $${a \lt — 2\quad \to \quad |a + 2| = — (a + 2) = — a — 2}$$ $${\frac{{{a^3} + {a^2} — 2a}}{{a( — a — 2) — \left( {{a^2} — 4} \right)}} = \frac{{a\left( {{a^2} + a — 2} \right)}}{{ — a(a + 2) — (a — 2)(a + 2)}} = }$$ $${ = \frac{{a\left( {{a^2} + 2a — a — 2} \right)}}{{(a + 2)( — a — a + 2)}} = \frac{{a(a + 2)(a — 1)}}{{(a + 2)( — 2a + 2)}} = \frac{{a(a + 2)(a — 1)}}{{ — 2(a — 1)(a + 2)}} = — \frac{a}{2}}$$
№ 8 Қысқартыңыз: $\dfrac{{x \cdot |x — 3|}}{{{x^2} — x — 6}}$
Шешуі: $${\frac{{x \cdot |x — 3|}}{{{x^2} + 2x — 3x — 6}} = \frac{{x \cdot |x — 3|}}{{x(x + 2) — 3(x + 2)}} = \frac{{x \cdot |x — 3|}}{{(x — 3)(x + 2)}} = }$$ $${ = \left\{ \begin{array}{l}x — 3 \ge 0,\quad |x — 3| = x — 3\\x — 3 \lt 0,\quad |x — 3| = — \left( {x — 3} \right)\end{array} \right.\quad \to \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 3,\quad \frac{x}{{x + 2}}}\\{x \lt 3,\quad — \frac{x}{{x + 2}}}\end{array}} \right.}$$
№ 9 $y=|x-2|+|x-3|$ функциясының ең кіші мәнін табыңыз.
Шешуі: $$\left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \lt 2}\\{y = — x + 2 + ( — x) + 3 = — 2x + 5}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 \le x \lt 3}\\{y = x — 2 + ( — x) + 3 = 1}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 3}\\{y = x — 2 + x — 3 = 2x — 5}\end{array}} \right.\end{array} \right.$$ $${y_{\min }} = 1$$
№ 10 $y=|x|+|x-2|$ функциясының ең кіші мәнін табыңыз.
Шешуі: $$\left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \lt 0}\\{y = — x — x + 2 = — 2x + 2}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \lt 2}\\{y = x + ( — x) + 2 = 2}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2}\\{y = x + x — 2 = 2x — 2}\end{array}} \right.\end{array} \right.$$ $${y_{\min }} = 2$$