Алгебралық бөлшектерді теңбе-тең түрлендіру

Алгебралық бөлшектерді теңбе-тең түрлендіру

1) Бөлшек-ді ықшамдау кезінде ортақ бөлімге келтірмей тұрып, алдымен бөлшектердің өзін қысқартып алған тиімді. Сондықтан бөлшектерді бірден қосып азайтпас бұрын, осы бөлшектің өзі ықшамдауға келе ма деп, алдымен талдау жүргізу қажет.

2.14. Өрнекті ықшамдаңыз:

1) $\dfrac{1+a^2+a}{1-a^3}+\dfrac{a-a^2}{(1-a)^3}$

Шешуі

$$\frac{{1 + {a^2} + a}}{{1 - {a^3}}} + \frac{{a - {a^2}}}{{{{(1 - a)}^3}}} = \frac{{1 + {a^2} + a}}{{(1 - a)\left( {1 + {a^2} + a} \right)}} + \frac{{a(1 - a)}}{{{{(1 - a)}^3}}} = $$ $$ = \frac{1}{{1 - a}} + \frac{a}{{{{(1 - a)}^2}}} = \frac{{1 - a + a}}{{{{(1 - a)}^2}}} = \frac{1}{{{{(1 - a)}^2}}}$$

2) $\dfrac{a^2(a-b)}{a^3-b^3}+\dfrac{b^2+a b}{a^2+a b+b^2}$

Шешуі

$$\frac{{{a^2}(a - b)}}{{{a^3} - {b^3}}} + \frac{{{b^2} + ab}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} = \frac{{{a^2}(a - b)}}{{(a - b)\left( {{a^2} + ab + {b^2}} \right)}} + \frac{{{b^2} + ab}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} = $$ $$ = \frac{{{a^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} + \frac{{{b^2} + ab}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} = \frac{{{a^2} + ab + {b^2}}}{{{a^2} + ab + {b^2}}} = 1$$

3) $\dfrac{a^3+b^3}{b\left(a^2-a b+b^2\right)}-\dfrac{a}{b}$

Шешуі

$$\frac{{{a^3} + {b^3}}}{{b\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)}} - \frac{a}{b} = \frac{{(a + b)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)}}{{b\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)}} - \frac{a}{b} = $$ $$ = \frac{{a + b}}{b} - \frac{a}{b} = \frac{{a + b - a}}{b} = 1$$



2) $(a+b)\cdot c$ түріндегі өрнектерді түрлендіру кезінде кей жағдайларда жақшаның ішін орындап алғаннан гөрі, көбейтудің терімділік қасиетін қолдану тиімді болады.

2.15. Өрнекті ықшамдаңыз:

1) $\left(\dfrac{1}{(a-b)^2}-\dfrac{1}{(a+b)^2}\right) \cdot\left(a^2-b^2\right)^2$

Шешуі

$$\left( {\frac{1}{{{{(a - b)}^2}}} - \frac{1}{{{{(a + b)}^2}}}} \right) \cdot {\left( {{a^2} - {b^2}} \right)^2} = \left( {\frac{1}{{{{(a - b)}^2}}} - \frac{1}{{{{(a + b)}^2}}}} \right) \cdot {(a - b)^2} \cdot {(a + b)^2} = $$ $$ = \frac{{{{(a - b)}^2} \cdot {{(a + b)}^2}}}{{{{(a - b)}^2}}} - \frac{{{{(a - b)}^2} \cdot {{(a + b)}^2}}}{{{{(a + b)}^2}}} = {(a + b)^2} - {(a - b)^2} = 4ab$$

2) $\left(a^2-x^2\right)\left(\dfrac{1}{a+x}+\dfrac{1}{a^2-x^2}-\dfrac{1}{a-x}\right)$

Шешуі

$$\left( {{a^2} - {x^2}} \right)\left( {\frac{1}{{a + x}} + \frac{1}{{{a^2} - {x^2}}} - \frac{1}{{a - x}}} \right) = \frac{{(a - x)(a + x)}}{{a + x}} + $$ $$ + \frac{{{a^2} - {x^2}}}{{{a^2} - {x^2}}} - \frac{{(a - x)(a + x)}}{{a - x}} = a - x + 1 - a - x = 1 - 2x$$

3) $\dfrac{{\left( {\frac{1}{{{{(x - y)}^2}}} + \frac{2}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{1}{{{{(x + y)}^2}}}} \right) \cdot {{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2}}}{{{{(x + y)}^2} + 2\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + {{(x - y)}^2}}}$

Шешуі

$${\frac{{\left( {\frac{1}{{{{(x - y)}^2}}} + \frac{2}{{{x^2} - {y^2}}} + \frac{1}{{{{(x + y)}^2}}}} \right) \cdot {{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2}}}{{{{(x + y)}^2} + 2\left( {{x^2} - {y^2}} \right) + {{(x - y)}^2}}} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{{x - y}} + \frac{1}{{x + y}}} \right)}^2} \cdot {{\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}^2}}}{{{{(x + y + x - y)}^2}}} = }$$ $${ = \frac{{{{\left( {\frac{{(x - y)(x + y)}}{{x - y}} + \frac{{(x - y)(x + y)}}{{x + y}}} \right)}^2}}}{{4{x^2}}} = \frac{{{{(x + y + x - y)}^2}}}{{4{x^2}}} = 1.}$$



3) Бөлшектің алымы мен бөлімінде бөлшек өрнек тұратын жағдайларды қарастырайық. Мұндай өрнектерді күрделі бөлшектер деп атайды.

2.16. Өрнекті ықшамдаңыз:

1) $\dfrac{{\frac{x}{y} - \frac{y}{x}}}{{\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2}}$

Шешуі

Бөлшектің негізгі қасиетін пайдаланып, алымын да бөлімін де $xy$ өрнегіне көбейтеміз. $$\frac{{\left( {\frac{x}{y} - \frac{y}{x}} \right)xy}}{{\left( {\frac{x}{y} + \frac{y}{x} - 2} \right)xy}} = \frac{{\frac{x}{y} \cdot xy - \frac{y}{x} \cdot xy}}{{\frac{x}{y} \cdot xy + \frac{y}{x} \cdot xy - 2xy}} = $$ $$ = \frac{{{x^2} - {y^2}}}{{{x^2} + {y^2} - 2xy}} = \frac{{(x - y)(x + y)}}{{{{(x - y)}^2}}} = \frac{{x + y}}{{x - y}}$$

2) $\dfrac{{1 - \frac{1}{x}}}{{x + \frac{1}{x} - 2}}$

Шешуі

Бөлшектің алымы мен бөлімін $x$-ке көбейтеміз. $$\frac{{\left( {1 - \frac{1}{x}} \right) \cdot x}}{{\left( {x + \frac{1}{x} - 2} \right) \cdot x}} = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1 - 2x}} = \frac{{x - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{1}{{x - 1}}$$

2.17. Қосындыны бөлшек түрінде көрсетіңіз: $$\frac{1}{{(x + 1)(x + 2)}} + \frac{1}{{(x + 2)(x + 3)}} + \frac{1}{{(x + 3)(x + 4)}}$$

Шешуі

$\frac{1}{(x+1)(x+2)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$ теңдігі орындалатынын байқауға болады. Онда $$\frac{1}{{(x + 1)(x + 2)}} + \frac{1}{{(x + 2)(x + 3)}} + \frac{1}{{(x + 3)(x + 4)}} = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 2}} + $$ $$ + \frac{1}{{x + 2}} - \frac{1}{{x + 3}} + \frac{1}{{x + 3}} - \frac{1}{{x + 4}} = \frac{1}{{x + 1}} - \frac{1}{{x + 4}} = \frac{3}{{(x + 1)(x + 4)}}$$

2.18. Өрнекті ықшамдаңыз: $$\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x+2}+\frac{2 x}{x^2+4}+\frac{4 x^3}{x^4+16}$$

Шешуі

Есепті шығаруды мына қадамдар бойынша орындаймыз:

  • Алдымен алғашқы екі бөлшекті қосып аламыз;
  • Шыққан өрнекті үшінші бөлшекке қосамыз.
  • Алғашқы үш бөлшектің қосындысын соңғы бөлшекке қосамыз.

$$\frac{1}{{x - 2}} + \frac{1}{{x + 2}} + \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}} + \frac{{4{x^3}}}{{{x^4} + 16}} = \frac{{2x}}{{{x^2} - 4}} + \frac{{2x}}{{{x^2} + 4}} + \frac{{4{x^3}}}{{{x^4} + 16}} = $$ $$ = \frac{{4{x^3}}}{{{x^4} - 16}} + \frac{{4{x^3}}}{{{x^4} + 16}} = \frac{{8{x^7}}}{{{x^8} - 256}}$$

2.19. Өрнекті ықшамдаңыз: $$\frac{x^4-(x-1)^2}{\left(x^2+1\right)^2-x^2}+\frac{x^2-\left(x^2-1\right)^2}{x^2(x+1)^2-1}+\frac{x^2(x-1)^2-1}{x^4-(x+1)^2}$$

Шешуі

$$\frac{{{x^4} - {{(x - 1)}^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2} - {x^2}}} + \frac{{{x^2} - {{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}{{{x^2}{{(x + 1)}^2} - 1}} + \frac{{{x^2}{{(x - 1)}^2} - 1}}{{{x^4} - {{(x + 1)}^2}}} = $$ $$ = \frac{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + x - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + 1 - x} \right)\left( {{x^2} + 1 + x} \right)}} + \frac{{\left( {x - {x^2} + 1} \right)\left( {x + {x^2} - 1} \right)}}{{\left( {{x^2} + x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} + $$ $$ + \frac{{\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {{x^2} - x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \frac{{{x^2} + x - 1}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{x - {x^2} + 1}}{{{x^2} + x + 1}} + \frac{{{x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = $$ $$ = \frac{{{x^2} + x - 1 + x - {x^2} + 1 + {x^2} - x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{{x^2} + x + 1}} = 1$$

2.20. Өрнекті ықшамдаңыз: $$\frac{x^2+x-20}{x-4}-\frac{2 x^2-5 x+3}{2 x-3}-\frac{4-8 x-5 x^2}{x+2}$$

Шешуі

$$\frac{{{x^2} + x - 20}}{{x - 4}} - \frac{{2{x^2} - 5x + 3}}{{2x - 3}} + \frac{{5{x^2} + 8x - 4}}{{x + 2}} = \frac{{(x + 5)(x - 4)}}{{x - 4}} - $$ $$ - \frac{{2(x - 1)\left( {x - \frac{3}{2}} \right)}}{{2x - 3}} + \frac{{5(x + 2)\left( {x - \frac{2}{5}} \right)}}{{x + 2}} = \frac{{(x + 5)(x - 4)}}{{x - 4}} - $$ $$ - \frac{{(x - 1)(2x - 3)}}{{2x - 3}} + \frac{{(x + 2)(5x - 2)}}{{x + 2}} = x + 5 - (x - 1) + 5x - 2 = 5x + 4$$

2.21.Есептеңіз: $\dfrac{(1-x)(x+2)}{x^2(x+1)^2}$, мұндағы $x=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}$

Шешуі

$$\frac{{(1 - x)(x + 2)}}{{{x^2}{{(x + 1)}^2}}} = \frac{{\left( {1 - \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2}} \right)\left( {\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} + 2} \right)}}{{\frac{{{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}}}{4}{{\left( {\frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} + 1} \right)}^2}}} = $$ $$ = \frac{{\frac{{3 - \sqrt 3 }}{2} \cdot \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}}}{4} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}}}{4}}} = \frac{{\frac{{9 - 3}}{4}}}{{\frac{{{{(3 - 1)}^2}}}{{16}}}} = \frac{{6 \cdot 16}}{{4 \cdot 4}} = 6$$



Осы тақырыптағы посттар

Пікір қалдыру

Сіздің электронды почтаңыз жарияланбайды, Міндетті жолдарды толтырып шығыңыз.