Шартпен берілген рационал өрнектерді түрлендіру

Алдымен берілген өрнекті ықшамдап аламыз: $$\frac{{{a^2} - {b^2}}}{{2{a^2} + 5ab + 3{b^2}}} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{{2{a^2} + 2ab + 3ab + 3{b^2}}} = $$ $$ = \frac{{(a - b)(a + b)}}{{2a(a + b) + 3b(a + b)}} = \frac{{(a - b)(a + b)}}{{(a + b)(2a + 3b)}} = \frac{{a - b}}{{2a + 3b}}$$

$\dfrac{a+b}{a-2 b}=\dfrac{2}{3}$ теңдігінен $a$ және $b$ өрнектерін бір-бірі арқылы өрнектеп аламыз: $$\frac{{a + b}}{{a - 2b}} = \frac{2}{3};\quad 3a + 3b = 2a - 4b;\quad a = - 7b$$

Онда, $$\frac{{a - b}}{{2a + 3b}} = \frac{{ - 7b - b}}{{ - 14b + 3b}} = \frac{8}{{11}}.$$

Жауабы: $\dfrac{8}{11}$

$$\frac{{{x^{ - 1}} - 2{y^{ - 1}}}}{{{x^{ - 1}} + 2{y^{ - 1}}}} = {5^{ - 1}};\quad \frac{{\frac{1}{x} - \frac{2}{y}}}{{\frac{1}{x} + \frac{2}{y}}} = \frac{1}{5};$$ $$\frac{{y - 2x}}{{y + 2x}} = \frac{1}{5};\quad 5y - 10x = y + 2x;\quad y = 3x$$

$${\left( {\frac{{{x^{ - 1}}}}{{{y^{ - 1}}}}} \right)^{ - 1}} = \frac{x}{y} = \frac{1}{3}.$$

Жауабы: $\dfrac{1}{3}$

$a+\dfrac{1}{a}=3$ теңдігінің екі жағын квадраттаймыз: $${\left( {a + \frac{1}{a}} \right)^2} = {3^2};\quad {a^2} + \frac{1}{{{a^2}}} + 2 = 9;\quad {a^2} + \frac{1}{{{a^2}}} = 7$$

Жауабы: 7.

Екі теңдікті де квадраттау арқылы мынадай жүйені аламыз: $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x - y)}^2} = {{(\sqrt {111} )}^2},}\\{{{(x + y)}^2} = {{(\sqrt {37} )}^2};}\end{array}} \right.$$ $$ - \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 2xy + {y^2} = 111,}\\{{x^2} + 2xy + {y^2} = 37}\end{array}} \right.$$ $$ - 4xy = 74$$ $$xy = - 18,5.$$

Жауабы: $xy = - 18,5.$

Бөлшектің алымын да, бөлімін де $y^2 \neq 0$ санына бөлеміз: $$\frac{{10\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} - 13\frac{{xy}}{{{y^2}}} + 3\frac{{{y^2}}}{{{y^2}}}}}{{2\frac{{{x^2}}}{{{y^2}}} - 3\frac{{{y^2}}}{{{y^2}}}}} = 4;\quad \frac{{10{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - 13\frac{x}{y} + 3}}{{2{{\left( {\frac{x}{y}} \right)}^2} - 3}} = 4$$

Жаңа айнымалы енгіземіз: $\dfrac{x}{y}=a$

$$\dfrac{10 a^2-13 a+3}{2 a^2-3}=4$$

$$2{a^2} - 13a + 15 = 0;$$ $$\left[ \begin{array}{l}a = 1,5\\a = 5\end{array} \right.\quad \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{y} = 1,5\\\frac{x}{y} = 5\end{array} \right.$$

Жауабы: 1,5 немесе 5

$${x^2} - 6x + {y^2} + 4y + 13 = 0$$ $${x^2} - 6x + 9 + {y^2} + 4y + 4 = 0$$ $${(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} = 0$$

${(x - 3)^2}$ және ${(y + 2)^2}$ өрнектері — теріс емес өрнектер. Сондықтан, екеуі де 0-ге тең болғанда ғана, қосындысы 0-ге тең болу керек: $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 3 = 0,}\\{y + 2 = 0;}\end{array}\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3,}\\{y = - 2;}\end{array}} \right.} \right.\quad x + y = 3 - 2 = 1$$

Жауабы: 1

$a - \dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{3}$ өрнегін кубтаймыз: $${\left( {a - \frac{1}{a}} \right)^3} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3};\quad {a^3} - 3a \cdot \frac{1}{a} \cdot \left( {a - \frac{1}{a}} \right) - \frac{1}{{{a^3}}} = \frac{8}{{27}};$$ $${a^3} - 3 \cdot \frac{2}{3} - \frac{1}{{{a^3}}} = \frac{8}{{27}};\quad {a^3} - \frac{1}{{{a^3}}} = \frac{8}{{27}} + 2;$$ $${a^3} - \frac{1}{{{a^3}}} = 2\frac{8}{{27}}$$

Жауабы: $2\dfrac{8}{{27}}$

$$\frac{(a-b)^{-1}-(a+b)^{-1}}{(a-b)^{-1}+(a+b)^{-1}}=\frac{\frac{1}{a-b}-\frac{1}{a+b}}{\frac{1}{a-b}+\frac{1}{a+b}}=\frac{a+b-a+b}{a+b+a-b}=\frac{2 b}{2 a}=\frac{b}{a}=\frac{1}{3}$$

Жауабы: $\dfrac{1}{3}$

$$\frac{{2a - b}}{{3a - b}} + \frac{{5b - a}}{{3a + b}} = \frac{{(2a - b)(3a + b) + (5b - a)(3a - b)}}{{9{a^2} - {b^2}}} = \frac{{3{a^2} + 15ab - 6{b^2}}}{{9{a^2} - {b^2}}}$$

$10 a^2-3 b^2+5 a b=0$ теңдігінен $5 a b=3 b^2-10 a^2$ аламыз. $$\frac{{3{a^2} + 3 \cdot 5ab - 6{b^2}}}{{9{a^2} - {b^2}}} = \frac{{3{a^2} + 3\left( {3{b^2} - 10{a^2}} \right) - 6{b^2}}}{{9{a^2} - {b^2}}} = $$ $$ = \frac{{3{b^2} - 27{a^2}}}{{9{a^2} - {b^2}}} = \frac{{ - 3\left( {9{a^2} - {b^2}} \right)}}{{9{a^2} - {b^2}}} = - 3$$

Жауабы: - 3

$\dfrac{3 a^2+a b-b^2}{a^2+b^2-a b}$ бөлшегінің алымын да, бөлімін де $b^2 \neq 0$ өрнегіне бөлеміз: $$\frac{{3\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{ab}}{{{b^2}}} - \frac{{{b^2}}}{{{b^2}}}}}{{\frac{{{a^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{b^2}}} - \frac{{ab}}{{{b^2}}}}} = 3;\quad \frac{{3{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2} + \frac{a}{b} - 1}}{{{{\left( {\frac{a}{b}} \right)}^2} + 1 - \frac{a}{b}}} = 3.$$

$\dfrac{a}{b}=x$ жаңа айнымалысын енгіземіз.

$$\frac{{3{x^2} + x - 1}}{{{x^2} + 1 - x}} = 3;\quad 3{x^2} + x - 1 = 3{x^2} + 3 - 3x;\quad 4x = 4;\quad x = 1$$

Яғни, $\dfrac{a}{b}=1$. Бұдан $a=b$ $$\frac{{a + 2b}}{{a - 2b}} = \frac{{b + 2b}}{{b - 2b}} = \frac{{3b}}{{ - b}} = - 3$$

Жауабы: -3

$$\frac{{\left( {{x^2} + 3x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4x + 1} \right)}}{{{x^2}}} = \left( {\frac{{{x^2} + 3x + 1}}{x}} \right)\left( {\frac{{{x^2} - 4x + 1}}{x}} \right) = $$ $$ = \left( {x + \frac{1}{x} + 3} \right)\left( {x + \frac{1}{x} - 4} \right) = (3 + 3)(3 - 4) = - 6$$

Жауабы: -6

$${x^3}y + x{y^3} = xy\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = xy\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy - 2xy} \right) = $$ $$ = xy\left( {{{(x - y)}^2} + 2xy} \right) = 3 \cdot \left( {{4^2} + 2 \cdot 3} \right) = 66.$$

Жауабы: 66.