Құрамында модулі бар өрнектерді түрлендіру

Құрамында терді түрлендіру

Құрамында модулі бар теңдеулер мен ді шешу үшін алдымен модульді ашуды үйрену қажет. Ол үшін мына формула қолданылады: $$\left| a \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{a, \; \text{егер} \;\; a \ge 0}\\{ - a, \; \text{егер} \;\; a\lt 0}\end{array}} \right.$$

Ол үшін:

  1. Модуль астындағы өрнекті 0-ге теңестіріп, сандық түзуде шыққан сандарды бейнелейді;
  2. Осы сандар арқылы пайда болған аралықтардағы өрнектің мәнін зерттейді.

2.22. Мына өрнекті модуль таңбасынсыз жазыңыз:

$y=|x|+|2-x|+3|x-3|$, егер $2 \lt x \lt 3$

Шешуі

$$2 \lt x \lt 3$$ $$y = \mathop {\left| x \right|}\limits^ + + \mathop {\left| {2 - x} \right|}\limits^ - + 3\mathop {\left| {x - 3} \right|}\limits^ - = x - (2 - x) - 3(x - 3) = $$ $$ = x - 2 + x - 3x + 9 = - x + 7$$

2.23. Мына өрнекті модуль таңбасынсыз жазыңыз: $y = \left| {x + 2} \right| - 3x$

Шешуі

$$y = \left| {x + 2} \right| - 3x = \left\{ \begin{array}{l}x + 2 - 3x,\,\,\text{егер}\,\,x + 2 \ge 0;\\ - \left( {x + 2} \right) - 3x,\,\,\text{егер}\,\,x + 2 \lt 0;\end{array} \right. \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 - 2x,\,\,\text{егер}\,\,x \ge - 2;\\ - 2 - 4x,\,\,\text{егер}\,\,x \lt - 2.\end{array} \right.$$

2.24. Өрнектегі модуль таңбасынан құтылыңыз: $y = x + 1 + \left| {x + 5} \right| - \left| {x - 3} \right|$

Шешуі

1) Модуль астындағы өрнектерді 0-ге теңестіріп, нүктелерін анықтаймыз: $$\begin{array}{*{20}{c}}{x + 5 = 0}&{x - 3 = 0}\\{x = - 5}&{x = 3}\end{array}$$

2) Берілген сандарды сан түзуіне орналастырып, өрнектердің аралықтағы таңбаларын анықтаймыз:

Құрамында модулі бар өрнектерді түрлендіру

3)Алынған таңбаларды модуль таңбасын ашуда қолданамыз.

Егер $x \lt -5$ болса, онда $$y=x+1-(x+5)+(x-3)=x+1-x-5+x-3=x-7$$

Егер $-5 \le x \le 3$ болса, онда $$y=x+1+(x+5)+(x-3)=x+1+x+5+x-3=3 x+3$$

Егер $x \gt 3$ болса, онда $$y=x+1+(x+5)-(x-3)=x+1+x+5-x+3=x+9$$

Жауабы: $y = \left\{ \begin{array}{l}x - 7,\,\,\text{егер}\,\,x \lt - 5;\\3x + 3,\,\,\text{егер}\,\, - 5 \le x \le 3;\\x + 9,\,\,\text{егер}\,\,x \gt 3\end{array} \right.$

2.25. Өрнектегі модуль таңбасынан құтылыңыз: $y=|2 x+3|+|x-7|-5$

Шешуі Құрамында модулі бар өрнектерді түрлендіру

Егер $x \lt -1,5$ болса, онда $y=-(2 x+3)-(x-7)-5=-2 x-3-x+7-5=-3 x-1$

Егер $-1,5 \le x \le 7$ болса, онда $y=(2 x+3)-(x-7)-5=2 x+3-x+7-5=x+5$

Егер $x \gt 7$ болса, онда $y=(2 x+3)+(x-7)-5=2 x+3+x-7-5=3 x-9$

Жауабы: $y = \left\{ \begin{array}{l}-3x - 1,\,\,\text{егер}\,\,x \lt -1,5;\\x + 5,\,\,\text{егер}\,\, - 1,5 \le x \le 7;\\3x - 9,\,\,\text{егер}\,\,x \gt 7.\end{array} \right.$



Модульді ашу ға қалай әсер ететінін көрейік.

2.26. Бөлшекті қысқартыңыз: $y=\dfrac{x|x-3|}{(x-3)(x+2)}$

Шешуі

$x=3$ және $x=-2$ болғанда, өрнектің мағынасы жоқ.

Модульді ашып, бөлшекті қысқартамыз:

Егер $x-3 \lt 0$ болса, онда $y=\dfrac{-x(x-3)}{(x-3)(x+2)}=\dfrac{-x}{x+2}$

Егер $x-3 \gt 0$ болса, онда $y=\dfrac{x(x-3)}{(x-3)(x+2)}=\dfrac{x}{x+2}$

Жауабы: $y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - \dfrac{x}{{x + 2}},\,\,\text{егер}\,\,x \lt 3,\,\,x \ne - 2;}\\{\dfrac{x}{{x + 2}},\,\,\text{егер}\,\,x \gt 3.}\end{array}} \right.$

2.27. Бөлшекті қысқартыңыз: $y=\dfrac{3 x-x^2-2}{|2-x|}$

Шешуі

$$y=\frac{3 x-x^2-2}{|2-x|}=\frac{-\left(x^2-3 x+2\right)}{|2-x|}=\frac{-(x-1)(x-2)}{|2-x|}$$

Егер $2-x \gt 0$: $$y=\frac{-(x-1)(x-2)}{2-x}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1$$

Егер $2-x \lt 0$: $$y=\frac{-(x-1)(x-2)}{-(2-x)}=\frac{-(x-1)(x-2)}{x-2}=1-x$$

Жауабы: $y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1,\,\,\text{егер}\,\,x \lt 2;}\\{1 - x,\,\,\text{егер}\,\,x \gt 2.}\end{array}} \right.$

2.28. Ықшамдаңыз: $\left(a^4\right)^{\frac{1}{4}}+\left(b^{\frac{1}{8}}\right)^4$, мұндағы $a=-1,5$ және $b=2,25$.

Шешуі

$${\left( {{a^4}} \right)^{\frac{1}{4}}} + {\left( {{b^{\frac{1}{8}}}} \right)^4} = \sqrt[4]{{{a^4}}} + {(\sqrt[8]{b})^4} = |a| + \sqrt b = $$ $$ = | - 1,5| + \sqrt {2,25} = 1,5 + 1,5 = 3$$

2.29. Есептеңіз: $\sqrt{a+2 \sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2 \sqrt{a-1}}$, мұндағы $1 \lt a \lt 2$

Шешуі

Жаңа айнымалы енгіземіз: $t=\sqrt{a-1}$. Онда $a= t^2 +1$

Есептің шарты бойынша $1 \lt a \lt 2$. Онда:

$0 \lt a-1 \lt 1; \quad 0\lt \sqrt{a-1} \lt 1; \quad 0\lt t \lt 1$

$$\sqrt {a + 2\sqrt {a - 1} } + \sqrt {a - 2\sqrt {a - 1} } = \sqrt {{t^2} + 1 + 2t} + \sqrt {{t^2} + 1 - 2t} = $$ $$ = \sqrt {{{(t + 1)}^2}} + \sqrt {{{(t - 1)}^2}} = |t + 1| + |t - 1| = t + 1 - (t - 1) = 2$$

2.30. $a \in (- \infty; -2)$ үшін $\dfrac{a^3+a^2-2 a}{a|a+2|-a^2+4}$ өрнегін ықшамдаңыз.

Шешуі

$a \in(-\infty ;-2)$ үшін: $ \quad|a+2|=-a-2$

$$\frac{{{a^3} + {a^2} - 2a}}{{a|a + 2| - {a^2} + 4}} = \frac{{{a^3} + {a^2} - 2a}}{{a( - a - 2) - {a^2} + 4}} = $$ $$ = \frac{{a\left( {{a^2} + a - 2} \right)}}{{ - 2{a^2} - 2a + 4}} = \frac{{a\left( {{a^2} + a - 2} \right)}}{{ - 2\left( {{a^2} + a - 2} \right)}} = - \frac{a}{2}$$

2.31. $y(x)=|x|+|x-2|$ өрнегінің ең кіші мәнін табыңыз.

Шешуі

$$y = \left\{ \begin{array}{l} - x - \left( {x - 2} \right),\,\,\text{егер}\,\,x \lt 0;\\x - \left( {x - 2} \right),\,\,\,\,0 \le x \le 2;\\x + x - 2,\,\,\text{егер}\,\,x \gt 2;\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2x + 2,\,\,\text{егер}\,\,x \lt 0;\\2,\,\,\text{егер}\,\,0 \le x \le 2;\\2x - 2,\,\,\text{егер}\,\,x \gt 2.\end{array} \right.$$

Құрамында модулі бар өрнектерді түрлендіру

Функцияның графигіне қарап, функцияның ең кіші мәні 2-ге тең екенін көруге болады.

Жауабы: $y=2$

2.32. Өрнекті ықшамдаңыз: $\dfrac{\sqrt{a^4-6 a^3+9 a^2}+\sqrt{4 a^4-4 a^3+a^2}}{\sqrt{a^2+4 a+4}}$, мұндағы $\dfrac{1}{2} \lt a \lt 3$

Шешуі

$$\frac{{\sqrt {{a^4} - 6{a^3} + 9{a^2}} + \sqrt {4{a^4} - 4{a^3} + {a^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + 4a + 4} }} = \frac{{\sqrt {{a^2}{{(a - 3)}^2}} + \sqrt {{a^2}{{(2a - 1)}^2}} }}{{\sqrt {{{(a + 2)}^2}} }} = $$ $$ = \frac{{\sqrt {{a^2}} \cdot \sqrt {{{(a - 3)}^2}} + \sqrt {{a^2}} \cdot \sqrt {{{(2a - 1)}^2}} }}{{\sqrt {{{(a + 2)}^2}} }} = \frac{{|a| \cdot |a - 3| + |a| \cdot |2a - 1|}}{{|a + 2|}}$$

$\dfrac{1}{2} \lt a \lt 3$ үшін $$\frac{{\mathop {|a|}\limits^ + \cdot \mathop {|a - 3|}\limits^ - + \mathop {|a|}\limits^ + \cdot \mathop {\left| {2a - 1} \right|}\limits^ + }}{{\mathop {|a + 2|}\limits_ + }} = \frac{{a(3 - a) + a(2a - 1)}}{{a + 2}} = \frac{{{a^2} + 2a}}{{a + 2}} = a$$



Осы тақырыптағы посттар

Пікір қалдыру

Сіздің электронды почтаңыз жарияланбайды, Міндетті жолдарды толтырып шығыңыз.