Құрамында модулі бар өрнектерді түрлендіру
Құрамында модулі бар теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу үшін алдымен модульді ашуды үйрену қажет. Ол үшін мына формула қолданылады: $$\left| a \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}{a, \; \text{егер} \;\; a \ge 0}\\{ – a, \; \text{егер} \;\; a\lt 0}\end{array}} \right.$$
Ол үшін:
- Модуль астындағы өрнекті 0-ге теңестіріп, сандық түзуде шыққан сандарды бейнелейді;
- Осы сандар арқылы пайда болған аралықтардағы өрнектің мәнін зерттейді.
2.22. Мына өрнекті модуль таңбасынсыз жазыңыз:
$y=|x|+|2-x|+3|x-3|$, егер $2 \lt x \lt 3$
Шешуі
$$2 \lt x \lt 3$$ $$y = \mathop {\left| x \right|}\limits^ + + \mathop {\left| {2 – x} \right|}\limits^ – + 3\mathop {\left| {x – 3} \right|}\limits^ – = x – (2 – x) – 3(x – 3) = $$ $$ = x – 2 + x – 3x + 9 = – x + 7$$
2.23. Мына өрнекті модуль таңбасынсыз жазыңыз: $y = \left| {x + 2} \right| – 3x$
Шешуі
$$y = \left| {x + 2} \right| – 3x = \left\{ \begin{array}{l}x + 2 – 3x,\,\,\text{егер}\,\,x + 2 \ge 0;\\ – \left( {x + 2} \right) – 3x,\,\,\text{егер}\,\,x + 2 \lt 0;\end{array} \right. \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 – 2x,\,\,\text{егер}\,\,x \ge – 2;\\ – 2 – 4x,\,\,\text{егер}\,\,x \lt – 2.\end{array} \right.$$
2.24. Өрнектегі модуль таңбасынан құтылыңыз: $y = x + 1 + \left| {x + 5} \right| – \left| {x – 3} \right|$
Шешуі
1)
2) Берілген сандарды сан түзуіне орналастырып, өрнектердің аралықтағы таңбаларын анықтаймыз:
3)Алынған таңбаларды модуль таңбасын ашуда қолданамыз.
Егер $x \lt -5$ болса, онда $$y=x+1-(x+5)+(x-3)=x+1-x-5+x-3=x-7$$
Егер $-5 \le x \le 3$ болса, онда $$y=x+1+(x+5)+(x-3)=x+1+x+5+x-3=3 x+3$$
Егер $x \gt 3$ болса, онда $$y=x+1+(x+5)-(x-3)=x+1+x+5-x+3=x+9$$
Жауабы: $y = \left\{ \begin{array}{l}x – 7,\,\,\text{егер}\,\,x \lt – 5;\\3x + 3,\,\,\text{егер}\,\, – 5 \le x \le 3;\\x + 9,\,\,\text{егер}\,\,x \gt 3\end{array} \right.$
2.25. Өрнектегі модуль таңбасынан құтылыңыз: $y=|2 x+3|+|x-7|-5$
Шешуі
Егер $x \lt -1,5$ болса, онда $y=-(2 x+3)-(x-7)-5=-2 x-3-x+7-5=-3 x-1$
Егер $-1,5 \le x \le 7$ болса, онда $y=(2 x+3)-(x-7)-5=2 x+3-x+7-5=x+5$
Егер $x \gt 7$ болса, онда $y=(2 x+3)+(x-7)-5=2 x+3+x-7-5=3 x-9$
Жауабы: $y = \left\{ \begin{array}{l}-3x – 1,\,\,\text{егер}\,\,x \lt -1,5;\\x + 5,\,\,\text{егер}\,\, – 1,5 \le x \le 7;\\3x – 9,\,\,\text{егер}\,\,x \gt 7.\end{array} \right.$
Модульді ашу бөлшекті қысқартуға қалай әсер ететінін көрейік.
2.26. Бөлшекті қысқартыңыз: $y=\dfrac{x|x-3|}{(x-3)(x+2)}$
Шешуі
$x=3$ және $x=-2$ болғанда, өрнектің мағынасы жоқ.
Модульді ашып, бөлшекті қысқартамыз:
Егер $x-3 \lt 0$ болса, онда $y=\dfrac{-x(x-3)}{(x-3)(x+2)}=\dfrac{-x}{x+2}$
Егер $x-3 \gt 0$ болса, онда $y=\dfrac{x(x-3)}{(x-3)(x+2)}=\dfrac{x}{x+2}$
Жауабы: $y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ – \dfrac{x}{{x + 2}},\,\,\text{егер}\,\,x \lt 3,\,\,x \ne – 2;}\\{\dfrac{x}{{x + 2}},\,\,\text{егер}\,\,x \gt 3.}\end{array}} \right.$
2.27. Бөлшекті қысқартыңыз: $y=\dfrac{3 x-x^2-2}{|2-x|}$
Шешуі
$$y=\frac{3 x-x^2-2}{|2-x|}=\frac{-\left(x^2-3 x+2\right)}{|2-x|}=\frac{-(x-1)(x-2)}{|2-x|}$$
Егер $2-x \gt 0$: $$y=\frac{-(x-1)(x-2)}{2-x}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1$$
Егер $2-x \lt 0$: $$y=\frac{-(x-1)(x-2)}{-(2-x)}=\frac{-(x-1)(x-2)}{x-2}=1-x$$
Жауабы: $y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x – 1,\,\,\text{егер}\,\,x \lt 2;}\\{1 – x,\,\,\text{егер}\,\,x \gt 2.}\end{array}} \right.$
2.28. Ықшамдаңыз: $\left(a^4\right)^{\frac{1}{4}}+\left(b^{\frac{1}{8}}\right)^4$, мұндағы $a=-1,5$ және $b=2,25$.
Шешуі
$${\left( {{a^4}} \right)^{\frac{1}{4}}} + {\left( {{b^{\frac{1}{8}}}} \right)^4} = \sqrt[4]{{{a^4}}} + {(\sqrt[8]{b})^4} = |a| + \sqrt b = $$ $$ = | – 1,5| + \sqrt {2,25} = 1,5 + 1,5 = 3$$
2.29. Есептеңіз: $\sqrt{a+2 \sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2 \sqrt{a-1}}$, мұндағы $1 \lt a \lt 2$
Шешуі
Жаңа айнымалы енгіземіз: $t=\sqrt{a-1}$. Онда $a= t^2 +1$
Есептің шарты бойынша $1 \lt a \lt 2$. Онда:
$0 \lt a-1 \lt 1; \quad 0\lt \sqrt{a-1} \lt 1; \quad 0\lt t \lt 1$
$$\sqrt {a + 2\sqrt {a – 1} } + \sqrt {a – 2\sqrt {a – 1} } = \sqrt {{t^2} + 1 + 2t} + \sqrt {{t^2} + 1 – 2t} = $$ $$ = \sqrt {{{(t + 1)}^2}} + \sqrt {{{(t – 1)}^2}} = |t + 1| + |t – 1| = t + 1 – (t – 1) = 2$$
2.30. $a \in (- \infty; -2)$ үшін $\dfrac{a^3+a^2-2 a}{a|a+2|-a^2+4}$ өрнегін ықшамдаңыз.
Шешуі
$a \in(-\infty ;-2)$ үшін: $ \quad|a+2|=-a-2$
$$\frac{{{a^3} + {a^2} – 2a}}{{a|a + 2| – {a^2} + 4}} = \frac{{{a^3} + {a^2} – 2a}}{{a( – a – 2) – {a^2} + 4}} = $$ $$ = \frac{{a\left( {{a^2} + a – 2} \right)}}{{ – 2{a^2} – 2a + 4}} = \frac{{a\left( {{a^2} + a – 2} \right)}}{{ – 2\left( {{a^2} + a – 2} \right)}} = – \frac{a}{2}$$
2.31. $y(x)=|x|+|x-2|$ өрнегінің ең кіші мәнін табыңыз.
Шешуі
$$y = \left\{ \begin{array}{l} – x – \left( {x – 2} \right),\,\,\text{егер}\,\,x \lt 0;\\x – \left( {x – 2} \right),\,\,\,\,0 \le x \le 2;\\x + x – 2,\,\,\text{егер}\,\,x \gt 2;\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2x + 2,\,\,\text{егер}\,\,x \lt 0;\\2,\,\,\text{егер}\,\,0 \le x \le 2;\\2x – 2,\,\,\text{егер}\,\,x \gt 2.\end{array} \right.$$
Функцияның графигіне қарап, функцияның ең кіші мәні 2-ге тең екенін көруге болады.
Жауабы: $y=2$
2.32. Өрнекті ықшамдаңыз: $\dfrac{\sqrt{a^4-6 a^3+9 a^2}+\sqrt{4 a^4-4 a^3+a^2}}{\sqrt{a^2+4 a+4}}$, мұндағы $\dfrac{1}{2} \lt a \lt 3$
Шешуі
$$\frac{{\sqrt {{a^4} – 6{a^3} + 9{a^2}} + \sqrt {4{a^4} – 4{a^3} + {a^2}} }}{{\sqrt {{a^2} + 4a + 4} }} = \frac{{\sqrt {{a^2}{{(a – 3)}^2}} + \sqrt {{a^2}{{(2a – 1)}^2}} }}{{\sqrt {{{(a + 2)}^2}} }} = $$ $$ = \frac{{\sqrt {{a^2}} \cdot \sqrt {{{(a – 3)}^2}} + \sqrt {{a^2}} \cdot \sqrt {{{(2a – 1)}^2}} }}{{\sqrt {{{(a + 2)}^2}} }} = \frac{{|a| \cdot |a – 3| + |a| \cdot |2a – 1|}}{{|a + 2|}}$$
$\dfrac{1}{2} \lt a \lt 3$ үшін $$\frac{{\mathop {|a|}\limits^ + \cdot \mathop {|a – 3|}\limits^ – + \mathop {|a|}\limits^ + \cdot \mathop {\left| {2a – 1} \right|}\limits^ + }}{{\mathop {|a + 2|}\limits_ + }} = \frac{{a(3 – a) + a(2a – 1)}}{{a + 2}} = \frac{{{a^2} + 2a}}{{a + 2}} = a$$