Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылу

()

Бөлшек бөліміндегі

Анықтама. Бөлімінде ирационал өрнегі бар бөлшекті бөлімі рационал болатындай өрнекпен алмастыруды — бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылу деп атайды.

1.8. Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз:

Бөлшектің бөлімінде квадрат түбір болмайтындай, алымы мен бөлімін бірдей өрнектерге көбейту қажет.

1) $\dfrac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}$

Шешуі

Бөлшектің алымын да, бөлімін де оның түйіндесіне, яғни $\sqrt{10}-\sqrt{2}$ өрнегіне көбейтіп, қысқаша көбейту формуласын пайдалану керек.

$$\frac{{4(\sqrt {10} – \sqrt 2 )}}{{(\sqrt {10} + \sqrt 2 )(\sqrt {10} – \sqrt 2 )}} = \frac{{4(\sqrt {10} – \sqrt 2 )}}{{{{\sqrt {10} }^2} – {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} = $$ $$ = \frac{{4(\sqrt {10} – \sqrt 2 )}}{8} = \frac{{\sqrt {10} – \sqrt 2 }}{2}$$

2) $\dfrac{17}{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{7}}$

Шешуі

$$\frac{{17}}{{3\sqrt 5 – 2\sqrt 7 }} = \frac{{17 \cdot (3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 )}}{{(3\sqrt 5 – 2\sqrt 7 ) \cdot (3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 )}} = $$ $$ = \frac{{17 \cdot (3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 )}}{{45 – 28}} = 3\sqrt 5 + 2 \cdot \sqrt 7 $$

3) $\dfrac{7}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$

Шешуі

$$\frac{7}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} = \frac{{7\sqrt {2 – \sqrt 3 } }}{{\sqrt {(2 + \sqrt 3 )(2 – \sqrt 3 )} }} = 7\sqrt {2 – \sqrt 3 } $$

4) $\dfrac{1}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}}$

Шешуі

Берілген айырманың екеуі де и болып тұр. Екеуінен түбірден құтылу үшін — қосындының толымсыз квадратына көбейтіп, бөлшек бөлімін кубтардың айырмасы түрінде көрсету қажет. $$\frac{{\sqrt[3]{{{5^2}}} + \sqrt[3]{{5 \cdot 2}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}}}{{\left( {\sqrt[3]{5} – \sqrt[3]{2}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{5^2}}} + \sqrt[3]{{5 \cdot 2}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}} \right)}} = \frac{{\sqrt[3]{{25}} + \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{4}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{5}} \right)}^3} – {{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^3}}} = \frac{{\sqrt[3]{{25}} + \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{4}}}{3}$$

5) $\dfrac{4}{2-3 \sqrt[3]{2}}=$

Шешуі

$$\frac{4}{{2 – 3\sqrt[3]{2}}} = \frac{{4 \cdot (4 + 6\sqrt[3]{2} + 9\sqrt[3]{4})}}{{(2 – 3\sqrt[3]{2}) \cdot (4 + 6\sqrt[3]{2} + 9\sqrt[3]{4})}} = $$ $$ = \frac{{4 \cdot (4 + 6\sqrt[3]{2} + 9\sqrt[3]{4})}}{{8 – 54}} = \frac{{ – 2(4 + 6\sqrt[3]{2} + 9\sqrt[3]{4})}}{{23}}$$

6) $\dfrac{1}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}$

Шешуі

$\dfrac{1}{{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}} = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{3^2}}} + \sqrt[3]{{3 \cdot 2}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}}}$

Бөлшек бөлімі $\sqrt[3]{3}$ және $\sqrt[3]{2}$ сандарының айырмасының толымсыз квадраты тұрғанын байқауға болады. Сондықтан айырманың кубы шығу үшін бөлшектің алымын да, бөлімін де осы сандардың айырмасына көбейтеміз:

$$\frac{{\sqrt[3]{3} – \sqrt[3]{2}}}{{\left( {\sqrt[3]{{{3^2}}} + \sqrt[3]{{3 \cdot 2}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}} \right)(\sqrt[3]{3} – \sqrt[3]{2})}} = \frac{{\sqrt[3]{3} – \sqrt[3]{2}}}{{{{(\sqrt[3]{3})}^3} – {{(\sqrt[3]{2})}^3}}} = \sqrt[3]{3} – \sqrt[3]{2}$$

7) $\dfrac{1}{1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}$

Шешуі

$$\frac{1}{{1 – \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}} = \frac{{1 + \sqrt[3]{3}}}{{(1 – \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})(1 + \sqrt[3]{3})}} = \frac{{1 + \sqrt[3]{3}}}{{1 + {{(\sqrt[3]{3})}^3}}} = \frac{{\sqrt[3]{3} + 1}}{4}$$

8) $\dfrac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{15}+\sqrt{14}-\sqrt{21}}$

Шешуі

Бөлшектің бөлімін көбейткіштерге жіктейік:

$\dfrac{1}{\sqrt{5}(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{7}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}=\dfrac{1}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{7})}$

Бөлшектің алымын да, бөлімін де берілген көбейткіштердің түйіндестеріне көбейтеміз:

$$\frac{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 )(\sqrt 5 – \sqrt 7 )}}{{(\sqrt 2 – \sqrt 3 )(\sqrt 2 + \sqrt 3 )(\sqrt 5 + \sqrt 7 )(\sqrt 5 – \sqrt 7 )}} = $$ $$ = \frac{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 )(\sqrt 5 – \sqrt 7 )}}{{\left( {{{(\sqrt 2 )}^2} – {{(\sqrt 3 )}^2}} \right)\left( {{{(\sqrt 5 )}^2} – {{(\sqrt 7 )}^2}} \right)}} = \frac{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 )(\sqrt 5 – \sqrt 7 )}}{2}$$

Кейбір күрделі есептерде бір тәсілді пайдаланып иррационалдықтан құтылу мүмкін болмай жатады. Ондай жағдайда осы қолданылған тәсілдерді бірнеше рет қолдану қажет.

1.9. Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз:

1) $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[4]{3}}$

Шешуі

Түйіндесіне көбейту әдісін екі рет қолданамыз:

$$\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt[4]{3}}} = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt[4]{3}}}{{(\sqrt 2 + \sqrt[4]{3})(\sqrt 2 – \sqrt[4]{3})}} = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt[4]{3}}}{{{{(\sqrt 2 )}^2} – {{(\sqrt[4]{3})}^2}}} = $$ $$ = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt[4]{3}}}{{2 – \sqrt 3 }} = \frac{{(\sqrt 2 – \sqrt[4]{3})(2 + \sqrt 3 )}}{{(2 – \sqrt 3 )(2 + \sqrt 3 )}} = (\sqrt 2 – \sqrt[4]{3})(2 + \sqrt 3 )$$

2) $\dfrac{1}{\sqrt[4]{7}+\sqrt[4]{2}}$

Шешуі

$$\frac{1}{{\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2}}} = \frac{{\sqrt[4]{7} – \sqrt[4]{2}}}{{(\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{7} – \sqrt[4]{2})}} = \frac{{\sqrt[4]{7} – \sqrt[4]{2}}}{{{{(\sqrt[4]{7})}^2} – {{(\sqrt[4]{2})}^2}}} = $$ $$ = \frac{{\sqrt 7 – \sqrt[4]{2}}}{{\sqrt 7 – \sqrt 2 }} = \frac{{(\sqrt[4]{7} – \sqrt[4]{2})(\sqrt 7 + \sqrt 2 )}}{{(\sqrt 7 – \sqrt 2 )(\sqrt 7 + \sqrt 2 )}} = $$ $$ = \frac{{(\sqrt[4]{7} – \sqrt[4]{2})(\sqrt 7 + \sqrt 2 )}}{{{{(\sqrt 7 )}^2} – {{(\sqrt 2 )}^2}}} = \frac{{(\sqrt[4]{7} – \sqrt[4]{2})(\sqrt 7 + \sqrt 2 )}}{5}$$

3) $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}}$

Шешуі

$$\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt[3]{3}}} = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt[3]{3}}}{{(\sqrt 2 + \sqrt[3]{3})(\sqrt 2 – \sqrt[3]{3})}} = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt[3]{3}}}{{{{(\sqrt 2 )}^2} – {{(\sqrt[3]{3})}^2}}} = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt[3]{3}}}{{2 – \sqrt[3]{9}}} = $$ $$ = \frac{{(\sqrt 2 – \sqrt[3]{3})(4 + 2 \cdot \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{{81}})}}{{(2 – \sqrt[3]{9})(4 + 2 \cdot \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{{81}})}} = \frac{{(\sqrt 2 – \sqrt[3]{3})(4 + 2 \cdot \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{{81}})}}{{{{(2)}^3} – {{(\sqrt[3]{9})}^3}}} = $$ $$ = (\sqrt[3]{3} – \sqrt 2 )(4 + 2 \cdot \sqrt[3]{9} + 3 \cdot \sqrt[3]{3})$$

4) $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

Шешуі

$$\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }} = \frac{1}{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 ) + \sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 – \sqrt 5 }}{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 )(\sqrt 2 + \sqrt 3 – \sqrt 5 )}} = $$ $$ = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 – \sqrt 5 }}{{{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 )}^2} – {{(\sqrt 5 )}^2}}} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 – \sqrt 5 }}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 (\sqrt 2 + \sqrt 3 – \sqrt 5 )}}{{12}} = $$ $$ = \frac{{\sqrt {12} + \sqrt {18} – \sqrt {30} }}{{12}} = \frac{{2\sqrt 3 + 3\sqrt 2 – \sqrt {30} }}{{12}}$$

5) $\dfrac{12}{3+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

Шешуі

$$\frac{{12}}{{(3 + \sqrt 2 ) – \sqrt 3 }} = \frac{{12(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}}{{(3 + \sqrt 2 – \sqrt 3 )(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}} = \frac{{12(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}}{{{{(3 + \sqrt 2 )}^2} – {{(\sqrt 3 )}^2}}} = $$ $$ = \frac{{12(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}}{{8 + 6\sqrt 2 }} = \frac{{6(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}}{{4 + 3\sqrt 2 }} = \frac{{6(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )(4 – 3\sqrt 2 )}}{{(4 + 3\sqrt 2 )(4 – 3\sqrt 2 )}} = $$ $$ = \frac{{6(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )(4 – 3\sqrt 2 )}}{{ – 2}} = 3(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )(3\sqrt 2 – 4) = $$ $$ = 3(9\sqrt 2 – 12 + 6 – 4\sqrt 2 + 3\sqrt 6 – 4\sqrt 3 ) = 3(5\sqrt 2 – 6 + 3\sqrt 6 – 4\sqrt 3 )$$

1.10. Есептеңіз:

1) $\dfrac{9}{5-\sqrt{7}}-\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\dfrac{22}{7+\sqrt{5}}$

Шешуі

$$\frac{9}{{5 – \sqrt 7 }} – \frac{1}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }} + \frac{{22}}{{7 + \sqrt 5 }} = \frac{{9(5 + \sqrt 7 )}}{{(5 – \sqrt 7 )(5 + \sqrt 7 )}} – $$ $$ – \frac{{\sqrt 7 – \sqrt 5 }}{{(\sqrt 7 + \sqrt 5 )(\sqrt 7 – \sqrt 5 )}} + \frac{{22(7 – \sqrt 5 )}}{{(7 + \sqrt 5 )(7 – \sqrt 5 )}} = $$ $$ = \frac{{9(5 + \sqrt 7 )}}{{18}} – \frac{{\sqrt 7 – \sqrt 5 }}{2} + \frac{{22(7 – \sqrt 5 )}}{{44}} = \frac{{5 + \sqrt 7 }}{2} – $$ $$ – \frac{{\sqrt 7 – \sqrt 5 }}{2} + \frac{{7 – \sqrt 5 }}{2} = \frac{1}{2}(5 + \sqrt 7 – \sqrt 7 + \sqrt 5 + 7 – \sqrt 5 ) = 6$$

2) $\left(\dfrac{12}{\sqrt{5}-1}-\dfrac{71}{3+4 \sqrt{5}}\right) \cdot\left(\dfrac{8}{\sqrt{5}-1}+\dfrac{11}{4+\sqrt{5}}\right)$

Шешуі

$$\left( {\frac{{12}}{{\sqrt 5 – 1}} – \frac{{71}}{{3 + 4\sqrt 5 }}} \right) \cdot \left( {\frac{8}{{\sqrt 5 – 1}} + \frac{{11}}{{4 + \sqrt 5 }}} \right) = \left( {\frac{{12(\sqrt 5 + 1)}}{{(\sqrt 5 – 1)(\sqrt 5 + 1)}} – \frac{{71(3 – 4\sqrt 5 )}}{{(3 + 4\sqrt 5 )(3 – 4\sqrt 5 )}}} \right) \times $$ $$ \times \left( {\frac{{8(\sqrt 5 + 1)}}{{(\sqrt 5 – 1)(\sqrt 5 + 1)}} + \frac{{11(4 – \sqrt 5 )}}{{(4 + \sqrt 5 )(4 – \sqrt 5 )}}} \right) = \left( {\frac{{12(\sqrt 5 + 1)}}{4} – \frac{{71(3 – 4\sqrt 5 )}}{{ – 71}}} \right) \times $$ $$ \times \left( {\frac{{8(\sqrt 5 + 1)}}{4} + \frac{{11(4 – \sqrt 5 )}}{{11}}} \right) = (3\sqrt 5 + 3 + 3 – 4\sqrt 5 ) \cdot (2\sqrt 5 + 2 + 4 – \sqrt 5 ) = $$ $$ = (6 – \sqrt 5 ) \cdot (6 + \sqrt 5 ) = 31$$

3) $\dfrac{\sqrt[3]{(6-\sqrt{35})^2}}{\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}+\sqrt{35}$

Шешуі

$$\frac{{\sqrt[3]{{{{(6 – \sqrt {35} )}^2}}}}}{{\sqrt[3]{{6 + \sqrt {35} }}}} + \sqrt {35} = \sqrt[3]{{\frac{{{{(6 – \sqrt {35} )}^2} \cdot (6 – \sqrt {35} )}}{{(6 + \sqrt {35} ) \cdot (6 – \sqrt {35} )}}}} + \sqrt {35} = $$ $$\sqrt[3]{{\frac{{{{(6 – \sqrt {35} )}^3}}}{{36 – 35}}}} + \sqrt {35} = 6 – \sqrt {35} + \sqrt {35} = 6$$



Жазба сіз үшін қаншалықты қажет болды?

Жұлдызшаның үстінен басыңыз!

Сіз бұл жазбаны қажетті деп таптыңыз...

Әлеуметтік желіде бөлісіңіз!

Бұл жазбаның сіз үшін қажетті болмағаны өкінішті!

Жазбамызды жақсартайық!

Жазбаны жақсартуға қандай ұсыныс айтар едіңіз?

Пікір қалдыру

Сіздің электронды почтаңыз жарияланбайды, Міндетті жолдарды толтырып шығыңыз.