Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылу
Анықтама. Бөлімінде ирационал өрнегі бар бөлшекті бөлімі рационал болатындай өрнекпен алмастыруды — бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылу деп атайды.
1.8. Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз:
Бөлшектің бөлімінде квадрат түбір болмайтындай, алымы мен бөлімін бірдей өрнектерге көбейту қажет.
1) $\dfrac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{2}}$
Шешуі
Бөлшектің алымын да, бөлімін де оның түйіндесіне, яғни $\sqrt{10}-\sqrt{2}$ өрнегіне көбейтіп, қысқаша көбейту формуласын пайдалану керек.
$$\frac{{4(\sqrt {10} – \sqrt 2 )}}{{(\sqrt {10} + \sqrt 2 )(\sqrt {10} – \sqrt 2 )}} = \frac{{4(\sqrt {10} – \sqrt 2 )}}{{{{\sqrt {10} }^2} – {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} = $$ $$ = \frac{{4(\sqrt {10} – \sqrt 2 )}}{8} = \frac{{\sqrt {10} – \sqrt 2 }}{2}$$
2) $\dfrac{17}{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{7}}$
Шешуі
$$\frac{{17}}{{3\sqrt 5 – 2\sqrt 7 }} = \frac{{17 \cdot (3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 )}}{{(3\sqrt 5 – 2\sqrt 7 ) \cdot (3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 )}} = $$ $$ = \frac{{17 \cdot (3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 )}}{{45 – 28}} = 3\sqrt 5 + 2 \cdot \sqrt 7 $$
3) $\dfrac{7}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}$
Шешуі
$$\frac{7}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} = \frac{{7\sqrt {2 – \sqrt 3 } }}{{\sqrt {(2 + \sqrt 3 )(2 – \sqrt 3 )} }} = 7\sqrt {2 – \sqrt 3 } $$
4) $\dfrac{1}{\sqrt[3]{5}-\sqrt[3]{2}}$
Шешуі
Берілген айырманың екеуі де ирационал өрнектер болып тұр. Екеуінен түбірден құтылу үшін — қосындының толымсыз квадратына көбейтіп, бөлшек бөлімін кубтардың айырмасы түрінде көрсету қажет. $$\frac{{\sqrt[3]{{{5^2}}} + \sqrt[3]{{5 \cdot 2}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}}}{{\left( {\sqrt[3]{5} – \sqrt[3]{2}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{5^2}}} + \sqrt[3]{{5 \cdot 2}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}} \right)}} = \frac{{\sqrt[3]{{25}} + \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{4}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{5}} \right)}^3} – {{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^3}}} = \frac{{\sqrt[3]{{25}} + \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{4}}}{3}$$
5) $\dfrac{4}{2-3 \sqrt[3]{2}}=$
Шешуі
$$\frac{4}{{2 – 3\sqrt[3]{2}}} = \frac{{4 \cdot (4 + 6\sqrt[3]{2} + 9\sqrt[3]{4})}}{{(2 – 3\sqrt[3]{2}) \cdot (4 + 6\sqrt[3]{2} + 9\sqrt[3]{4})}} = $$ $$ = \frac{{4 \cdot (4 + 6\sqrt[3]{2} + 9\sqrt[3]{4})}}{{8 – 54}} = \frac{{ – 2(4 + 6\sqrt[3]{2} + 9\sqrt[3]{4})}}{{23}}$$
6) $\dfrac{1}{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}$
Шешуі
$\dfrac{1}{{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}} = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{3^2}}} + \sqrt[3]{{3 \cdot 2}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}}}$
Бөлшек бөлімі $\sqrt[3]{3}$ және $\sqrt[3]{2}$ сандарының айырмасының толымсыз квадраты тұрғанын байқауға болады. Сондықтан айырманың кубы шығу үшін бөлшектің алымын да, бөлімін де осы сандардың айырмасына көбейтеміз:
$$\frac{{\sqrt[3]{3} – \sqrt[3]{2}}}{{\left( {\sqrt[3]{{{3^2}}} + \sqrt[3]{{3 \cdot 2}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}} \right)(\sqrt[3]{3} – \sqrt[3]{2})}} = \frac{{\sqrt[3]{3} – \sqrt[3]{2}}}{{{{(\sqrt[3]{3})}^3} – {{(\sqrt[3]{2})}^3}}} = \sqrt[3]{3} – \sqrt[3]{2}$$
7) $\dfrac{1}{1-\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}$
Шешуі
$$\frac{1}{{1 – \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}} = \frac{{1 + \sqrt[3]{3}}}{{(1 – \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})(1 + \sqrt[3]{3})}} = \frac{{1 + \sqrt[3]{3}}}{{1 + {{(\sqrt[3]{3})}^3}}} = \frac{{\sqrt[3]{3} + 1}}{4}$$
8) $\dfrac{1}{\sqrt{10}-\sqrt{15}+\sqrt{14}-\sqrt{21}}$
Шешуі
Бөлшектің бөлімін көбейткіштерге жіктейік:
$\dfrac{1}{\sqrt{5}(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{7}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}=\dfrac{1}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{7})}$
Бөлшектің алымын да, бөлімін де берілген көбейткіштердің түйіндестеріне көбейтеміз:
$$\frac{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 )(\sqrt 5 – \sqrt 7 )}}{{(\sqrt 2 – \sqrt 3 )(\sqrt 2 + \sqrt 3 )(\sqrt 5 + \sqrt 7 )(\sqrt 5 – \sqrt 7 )}} = $$ $$ = \frac{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 )(\sqrt 5 – \sqrt 7 )}}{{\left( {{{(\sqrt 2 )}^2} – {{(\sqrt 3 )}^2}} \right)\left( {{{(\sqrt 5 )}^2} – {{(\sqrt 7 )}^2}} \right)}} = \frac{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 )(\sqrt 5 – \sqrt 7 )}}{2}$$
Кейбір күрделі есептерде бір тәсілді пайдаланып иррационалдықтан құтылу мүмкін болмай жатады. Ондай жағдайда осы қолданылған тәсілдерді бірнеше рет қолдану қажет.
1.9. Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз:
1) $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[4]{3}}$
Шешуі
Түйіндесіне көбейту әдісін екі рет қолданамыз:
$$\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt[4]{3}}} = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt[4]{3}}}{{(\sqrt 2 + \sqrt[4]{3})(\sqrt 2 – \sqrt[4]{3})}} = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt[4]{3}}}{{{{(\sqrt 2 )}^2} – {{(\sqrt[4]{3})}^2}}} = $$ $$ = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt[4]{3}}}{{2 – \sqrt 3 }} = \frac{{(\sqrt 2 – \sqrt[4]{3})(2 + \sqrt 3 )}}{{(2 – \sqrt 3 )(2 + \sqrt 3 )}} = (\sqrt 2 – \sqrt[4]{3})(2 + \sqrt 3 )$$
2) $\dfrac{1}{\sqrt[4]{7}+\sqrt[4]{2}}$
Шешуі
$$\frac{1}{{\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2}}} = \frac{{\sqrt[4]{7} – \sqrt[4]{2}}}{{(\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{7} – \sqrt[4]{2})}} = \frac{{\sqrt[4]{7} – \sqrt[4]{2}}}{{{{(\sqrt[4]{7})}^2} – {{(\sqrt[4]{2})}^2}}} = $$ $$ = \frac{{\sqrt 7 – \sqrt[4]{2}}}{{\sqrt 7 – \sqrt 2 }} = \frac{{(\sqrt[4]{7} – \sqrt[4]{2})(\sqrt 7 + \sqrt 2 )}}{{(\sqrt 7 – \sqrt 2 )(\sqrt 7 + \sqrt 2 )}} = $$ $$ = \frac{{(\sqrt[4]{7} – \sqrt[4]{2})(\sqrt 7 + \sqrt 2 )}}{{{{(\sqrt 7 )}^2} – {{(\sqrt 2 )}^2}}} = \frac{{(\sqrt[4]{7} – \sqrt[4]{2})(\sqrt 7 + \sqrt 2 )}}{5}$$
3) $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}}$
Шешуі
$$\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt[3]{3}}} = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt[3]{3}}}{{(\sqrt 2 + \sqrt[3]{3})(\sqrt 2 – \sqrt[3]{3})}} = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt[3]{3}}}{{{{(\sqrt 2 )}^2} – {{(\sqrt[3]{3})}^2}}} = \frac{{\sqrt 2 – \sqrt[3]{3}}}{{2 – \sqrt[3]{9}}} = $$ $$ = \frac{{(\sqrt 2 – \sqrt[3]{3})(4 + 2 \cdot \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{{81}})}}{{(2 – \sqrt[3]{9})(4 + 2 \cdot \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{{81}})}} = \frac{{(\sqrt 2 – \sqrt[3]{3})(4 + 2 \cdot \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{{81}})}}{{{{(2)}^3} – {{(\sqrt[3]{9})}^3}}} = $$ $$ = (\sqrt[3]{3} – \sqrt 2 )(4 + 2 \cdot \sqrt[3]{9} + 3 \cdot \sqrt[3]{3})$$
4) $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$
Шешуі
$$\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }} = \frac{1}{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 ) + \sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 – \sqrt 5 }}{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 )(\sqrt 2 + \sqrt 3 – \sqrt 5 )}} = $$ $$ = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 – \sqrt 5 }}{{{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 )}^2} – {{(\sqrt 5 )}^2}}} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 – \sqrt 5 }}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 (\sqrt 2 + \sqrt 3 – \sqrt 5 )}}{{12}} = $$ $$ = \frac{{\sqrt {12} + \sqrt {18} – \sqrt {30} }}{{12}} = \frac{{2\sqrt 3 + 3\sqrt 2 – \sqrt {30} }}{{12}}$$
5) $\dfrac{12}{3+\sqrt{2}-\sqrt{3}}$
Шешуі
$$\frac{{12}}{{(3 + \sqrt 2 ) – \sqrt 3 }} = \frac{{12(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}}{{(3 + \sqrt 2 – \sqrt 3 )(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}} = \frac{{12(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}}{{{{(3 + \sqrt 2 )}^2} – {{(\sqrt 3 )}^2}}} = $$ $$ = \frac{{12(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}}{{8 + 6\sqrt 2 }} = \frac{{6(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}}{{4 + 3\sqrt 2 }} = \frac{{6(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )(4 – 3\sqrt 2 )}}{{(4 + 3\sqrt 2 )(4 – 3\sqrt 2 )}} = $$ $$ = \frac{{6(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )(4 – 3\sqrt 2 )}}{{ – 2}} = 3(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )(3\sqrt 2 – 4) = $$ $$ = 3(9\sqrt 2 – 12 + 6 – 4\sqrt 2 + 3\sqrt 6 – 4\sqrt 3 ) = 3(5\sqrt 2 – 6 + 3\sqrt 6 – 4\sqrt 3 )$$
1.10. Есептеңіз:
1) $\dfrac{9}{5-\sqrt{7}}-\dfrac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{5}}+\dfrac{22}{7+\sqrt{5}}$
Шешуі
$$\frac{9}{{5 – \sqrt 7 }} – \frac{1}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }} + \frac{{22}}{{7 + \sqrt 5 }} = \frac{{9(5 + \sqrt 7 )}}{{(5 – \sqrt 7 )(5 + \sqrt 7 )}} – $$ $$ – \frac{{\sqrt 7 – \sqrt 5 }}{{(\sqrt 7 + \sqrt 5 )(\sqrt 7 – \sqrt 5 )}} + \frac{{22(7 – \sqrt 5 )}}{{(7 + \sqrt 5 )(7 – \sqrt 5 )}} = $$ $$ = \frac{{9(5 + \sqrt 7 )}}{{18}} – \frac{{\sqrt 7 – \sqrt 5 }}{2} + \frac{{22(7 – \sqrt 5 )}}{{44}} = \frac{{5 + \sqrt 7 }}{2} – $$ $$ – \frac{{\sqrt 7 – \sqrt 5 }}{2} + \frac{{7 – \sqrt 5 }}{2} = \frac{1}{2}(5 + \sqrt 7 – \sqrt 7 + \sqrt 5 + 7 – \sqrt 5 ) = 6$$
2) $\left(\dfrac{12}{\sqrt{5}-1}-\dfrac{71}{3+4 \sqrt{5}}\right) \cdot\left(\dfrac{8}{\sqrt{5}-1}+\dfrac{11}{4+\sqrt{5}}\right)$
Шешуі
$$\left( {\frac{{12}}{{\sqrt 5 – 1}} – \frac{{71}}{{3 + 4\sqrt 5 }}} \right) \cdot \left( {\frac{8}{{\sqrt 5 – 1}} + \frac{{11}}{{4 + \sqrt 5 }}} \right) = \left( {\frac{{12(\sqrt 5 + 1)}}{{(\sqrt 5 – 1)(\sqrt 5 + 1)}} – \frac{{71(3 – 4\sqrt 5 )}}{{(3 + 4\sqrt 5 )(3 – 4\sqrt 5 )}}} \right) \times $$ $$ \times \left( {\frac{{8(\sqrt 5 + 1)}}{{(\sqrt 5 – 1)(\sqrt 5 + 1)}} + \frac{{11(4 – \sqrt 5 )}}{{(4 + \sqrt 5 )(4 – \sqrt 5 )}}} \right) = \left( {\frac{{12(\sqrt 5 + 1)}}{4} – \frac{{71(3 – 4\sqrt 5 )}}{{ – 71}}} \right) \times $$ $$ \times \left( {\frac{{8(\sqrt 5 + 1)}}{4} + \frac{{11(4 – \sqrt 5 )}}{{11}}} \right) = (3\sqrt 5 + 3 + 3 – 4\sqrt 5 ) \cdot (2\sqrt 5 + 2 + 4 – \sqrt 5 ) = $$ $$ = (6 – \sqrt 5 ) \cdot (6 + \sqrt 5 ) = 31$$
3) $\dfrac{\sqrt[3]{(6-\sqrt{35})^2}}{\sqrt[3]{6+\sqrt{35}}}+\sqrt{35}$
Шешуі
$$\frac{{\sqrt[3]{{{{(6 – \sqrt {35} )}^2}}}}}{{\sqrt[3]{{6 + \sqrt {35} }}}} + \sqrt {35} = \sqrt[3]{{\frac{{{{(6 – \sqrt {35} )}^2} \cdot (6 – \sqrt {35} )}}{{(6 + \sqrt {35} ) \cdot (6 – \sqrt {35} )}}}} + \sqrt {35} = $$ $$\sqrt[3]{{\frac{{{{(6 – \sqrt {35} )}^3}}}{{36 – 35}}}} + \sqrt {35} = 6 – \sqrt {35} + \sqrt {35} = 6$$