Тригонометриядан анықтамалық

()

Тригонометриядан қысқаша анықтамалық

Тікбұрышты үшбұрыш

$\theta \lt \frac{\pi}{2}$ немесе $0^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ }$

Тригонометриядан анықтамалық

$\sin\theta=\frac{a}{c}=\frac{\text{қарсы жатқан катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\cos\theta=\frac{b}{c}=\frac{\text{іргелес жатқан катет}}{\text{гипотенуза}}$

$\tan\theta=\frac{a}{b}=\frac{\text{қарсы жатқан катет}}{\text{іргелес жатқан катет}}$

$\csc \theta =\dfrac{c}{a}$

$\sec \theta =\dfrac{c}{b}$

$\cot\theta =\dfrac{b}{a}$

Бірлік шеңбер

Қандай да бір $\theta$ бұрышы үшін:

Тригонометриядан анықтамалық

$\sin \theta =\dfrac{y}{1}=y$

$\cos \theta =\dfrac{x}{1}=x$

$\tan \theta =\dfrac{y}{x}$

$\csc \theta =\dfrac{1}{y}$

$\sec \theta =\dfrac{1}{x}$

$\cot \theta =\dfrac{x}{y}$

Тригонометриялық функциялардың қасиеттері

Анықталу облысы

$\theta$ аргументінің қабылдай алатын мәндері мынадай:

$\sin \theta$,    $\theta \in \left( -\infty ;+\infty \right)$

$\cos \theta$,    $\theta \in \left( -\infty ;+\infty \right)$

$\tan \theta$,    $\theta \neq \dfrac{\pi }{2}+\pi n$, $n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

$\csc \theta$,    $\theta \neq \pi n$, $n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

$\sec \theta$,    $\theta \neq \dfrac{\pi }{2}+\pi n$, $n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

$\cot \theta$,    $\theta \neq \pi n$, $n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$

Мәндер жиыны

Тригонометриялық функциялар мына аралықтарда анықталады:

$-1\leq \sin \theta \leq 1$

$-1\leq \cos \theta \leq 1$

$-\infty \lt \tan \theta \lt +\infty$

$\csc \theta \geq 1$ және $\csc \theta \leq -1$

$\sec \theta \geq 1$ және $\sec \theta \leq -1$

$-\infty \lt \cot \theta \lt +\infty$

Периоды

$f\left( \theta +T\right) =f\left( \theta \right)$ теңдігі орындалатын болса, онда $T$ - функцияның периоды деп аталады. $\omega$ - аргументтің алдындағы коэффициент болсын. Коэффициент өзгерген сайын функция периоды да өзгереді.

$\sin (\omega\theta) \Rightarrow T=\dfrac{2\pi }{\omega }$

$\cos (\omega\theta) \Rightarrow T=\dfrac{2\pi }{\omega }$

$\tan (\omega\theta) \Rightarrow T=\dfrac{\pi }{\omega }$

$\csc (\omega\theta) \Rightarrow T=\dfrac{2\pi }{\omega }$

$\sec (\omega\theta) \Rightarrow T=\dfrac{2\pi }{\omega }$

$\cot (\omega\theta) \Rightarrow T=\dfrac{\pi }{\omega } $

Формулалар мен теңбе-теңдіктер

Негізгі теңбе-теңдіктер

$\tan \theta =\dfrac{\sin \theta }{\cos \theta }$

$\csc \theta =\dfrac{1}{\sin \theta }$

$\sec \theta =\dfrac{1}{\cos \theta }$

$\cot \theta =\dfrac{1}{\tan \theta }$

$\cot \theta =\dfrac{\cos \theta }{\sin \theta }$

$\sin \theta =\dfrac{1}{\csc \theta }$

$\cos \theta =\dfrac{1}{\sec \theta }$

$\tan \theta =\dfrac{1}{\cot \theta }$

Пифагор теңбе-теңдіктері

$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$

$\tan ^{2}\theta +1=\dfrac{1}{\cos ^{2}\theta }=\sec ^{2}\theta$

$\cot ^{2}\theta +1=\dfrac{1}{\sin ^{2}\theta }=\csc ^{2}\theta$

Жұп-тақтылығы

$\sin \left( -\theta \right) =-\sin \theta$

$\cos \left( -\theta \right) =\cos \theta$

$\tan \left( -\theta \right) =-\tan \theta$

$\csc \left( -\theta \right) =-\csc \theta$

$\sec \left( -\theta \right) =\sec \theta$

$\cot \left( -\theta \right) =-\cot \theta$

Периодтылығы

$n$ бүтін саны үшін

$\sin \left( \theta +2\pi n\right) =\sin \theta$

$\cos \left( \theta +2\pi n\right) =\cos \theta$

$\tan \left( \theta +\pi n\right) =\tan \theta$

$\csc \left( \theta +2\pi n\right) =\csc \theta$

$\sec \left( \theta +2\pi n\right) =\sec \theta$

$\cot \left( \theta +\pi n\right) =\cot \theta$

Қос бұрыш формулалары

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$

$\cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta=$

$=2\cos ^{2}\theta -1=$

$=1-2\sin ^{2}\theta$

$\tan 2\theta =\dfrac{2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }$

Градусты радианға айналдыру

Егер $x$ бұрышы градуспен, $t$ бұрышы радианмен өлшенетін болса:

$\dfrac{\pi }{180}=\dfrac{t}{x}\Rightarrow t=\dfrac{\pi x}{180}$ және $x=\dfrac{180t}{\pi }$

Жарты бұрыш формулалары

$\sin \dfrac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \theta }{2}}$

$\cos \dfrac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \theta }{2}}$

$\tan \dfrac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}$

(Альтернативті формасы)

$\sin ^{2}\theta =\dfrac{1-\cos 2\theta }{2}$

$\cos ^{2}\theta =\dfrac{1+\cos 2\theta }{2}$

$\tan ^{2}\theta =\dfrac{1-\cos 2\theta }{1+\cos 2\theta }$

Қосу формулалары

$\sin \left( \alpha \pm \beta \right) =\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

$\cos \left( \alpha +\beta \right) =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$\cos \left( \alpha -\beta \right) =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

$\tan \left( \alpha +\beta \right) =\dfrac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$

$\tan \left( \alpha -\beta \right) =\dfrac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$

Көбейтіндіні қосындыға айналдыру

$\sin \alpha \sin \beta =\dfrac{1}{2}\left( \cos \left( \alpha -\beta \right) -\cos \left( \alpha +\beta \right) \right)$

$\cos \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}\left( \cos \left( \alpha -\beta \right) +\cos \left( \alpha +\beta \right) \right)$

$\sin \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}\left( \sin \left( \alpha +\beta \right) +\sin \left( \alpha -\beta \right) \right)$

$\cos \alpha \sin \beta =\dfrac{1}{2}\left( \sin \left( \alpha +\beta \right) -\sin \left( \alpha -\beta \right) \right)$

Қосындыны көбейтіндіге айналдыру

$\sin x+\sin y=2\sin \dfrac{x+y}{2}\cos \dfrac{x-y}{2}$

$\sin x-\sin y=2\sin \dfrac{x-y}{2}\cos \dfrac{x+y}{2}$

$\cos x+\cos y=2\cos \dfrac{x+y}{2}\cos \dfrac{x-y}{2}$

$\cos x-\cos y=-2\sin \dfrac{x+y}{2}\sin \dfrac{x-y}{2}$

$\tan x+\tan y=\dfrac{\sin \left( x+y\right) }{\cos x\cos y}$

$\tan x-\tan y=\dfrac{\sin \left( x-y\right) }{\cos x\cos y}$

$\cot x+\cot y=\dfrac{\sin \left( x+y\right) }{\sin x\sin y}$

$\cot x-\cot y=\dfrac{\sin \left( y-x\right) }{\sin x\sin y}$

Келтіру формулалары

$\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right) =\cos \theta$

$\csc \left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right) =\sec \theta$

$\tan \left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right) =\cot \theta$

$\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right) =\sin \theta$

$\sec \left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right) =\csc \theta$

$\cot \left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right) =\tan \theta$

Бірлік шеңбер

Тригонометриядан анықтамалық

Шеңбер бойындағы кез-келген $\left( x;y\right)$ нүктесінің координатасына: $\cos \theta =x$ және $\sin \theta =y$ мәні сәйкес келеді.

Мысалы

$\cos \dfrac{5\pi }{3} = \dfrac{1}{2}$

$\sin \dfrac{5\pi }{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Кері тригонометриялық функциялар

Анықтамасы

$y=\arcsin x$ функциясы $x=\sin y$ теңдеуіне мәндес

$y=\arccos x$ функциясы $x=\cos y$ теңдеуіне мәндес

$y=\arctan x$ функциясы $x=\tan y$ теңдеуіне мәндеc

Анықталу облысы және

Функция

Анықталу облысы

Мәндер жиыны

$y=\arcsin x$

$-1\leq x\leq 1$

$-\dfrac{\pi }{2}\leq y\leq \dfrac{\pi }{2}$

$y=\arccos x$

$-1\leq x\leq 1$

$0\leq y\leq \pi$

$y=\arctan x$

$-\infty \lt x \lt +\infty $

$-\dfrac{\pi }{2}\leq y\leq \dfrac{\pi }{2}$

Кері тригонометриялық функциялардың қасиеттері

$\cos \left( \arccos x\right) =x$

$\sin \left( \arcsin x\right) =x$

$\tan \left( \arctan x\right) =x$

$\arccos \left( \cos \theta \right) =\theta$

$\arcsin \left( \sin \theta \right) =\theta$

$\arctan \left( \tan \theta \right) =\theta$

Альтернативті жазылуы

$\sin ^{-1}x=\arcsin x$

$\cos ^{-1}x=\arccos x$

$\tan ^{-1}x=\arctan x$

Синустар, косинустар, тангенстер теоремасы

Тригонометриядан анықтамалық

Синустар теоремасы

$\dfrac{\sin \alpha }{a}=\dfrac{\sin \beta }{b}=\dfrac{\sin \gamma }{c}$

Косинустар теоремасы

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

Молвейд теоремасы

$\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{\cos \dfrac{\alpha -\beta }{2}}{\sin \dfrac{\gamma }{2}}$

Тангенстер теоремасы

$\dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac{\tan \dfrac{\alpha -\beta }{2}}{\tan \dfrac{\alpha +\beta }{2}}$

$\dfrac{b-c}{b+c}=\dfrac{\tan \dfrac{\beta -\gamma }{2}}{\tan \dfrac{\beta +\gamma }{2}}$

$\dfrac{a-c}{a+c}=\dfrac{\tan \dfrac{\alpha -\gamma }{2}}{\tan \dfrac{\alpha +\gamma }{2}}$

Жазба сіз үшін қаншалықты қажет болды?

Жұлдызшаның үстінен басыңыз!

Сіз бұл жазбаны қажетті деп таптыңыз...

Әлеуметтік желіде бөлісіңіз!

Бұл жазбаның сіз үшін қажетті болмағаны өкінішті!

Жазбамызды жақсартайық!

Жазбаны жақсартуға қандай ұсыныс айтар едіңіз?

Осы тақырыптағы посттар

Пікір қалдыру

Сіздің электронды почтаңыз жарияланбайды, Міндетті жолдарды толтырып шығыңыз.