Герон формуласы - есептер

Жауабы: Үшбұрыштың ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдану керек: $$p=\dfrac{13+14+15}{2}=21, $$ $$S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=$$ $$=\sqrt{21·8·7·6}= $$ $$=\sqrt{7·3·2·4·7·3·2}=7·3·4=84 \, \text{кв.бірл.}$$

Үшбұрыштың ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдану керек: $$p=\dfrac{9+10+17}{2}=18, $$ $$ S=\sqrt{18(18-9)(18-10)(18-17)}=$$ $$=\sqrt{18·9·8·1}= $$ $$=\sqrt{9·2·9·4·2}=9·4=36 \, \text{кв.бірл.}$$

Бесбұрышты үшбұрыш және тіктөртбұрышқа бөл:

Тіктөртбұрыштың ауданы $S_1=6·8=48\,\text{кв.бірл.}$. Үшбұрыштың ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдану керек: $$p=\dfrac{5+6+7}{2}=9, $$ $$ S_2=\sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)}=$$ $$=\sqrt{9·4·3·2}=$$ $$=6\sqrt{6} \, \text{кв.бірл.}$$ Бесбұрыштың ауданы $$S=S_1+S_2=48+6\sqrt{6} \, \text{кв.бірл.}$$

Бесбұрышты үшбұрыш және тіктөртбұрышқа бөл:

Тіктөртбұрыштың ауданы $S_1=14·17=238 \, \text{кв.бірл.}$Үшбұрыштың ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдан: $$p=\dfrac{11+13+14}{2}=19, $$ $$ S_2=\sqrt{19(19-11)(19-13)(19-14)}=$$ $$=\sqrt{19·8·6·5}=$$ $$=4\sqrt{285} \, \text{кв.бірл.}$$ Бесбұрыштың ауданы $S=S_1+S_2=238+4\sqrt{285} \, \text{кв.бірл.}$

Жауабы:Параллелограмның диагоналі оны екі тең үшбұрышқа бөледі. Үшбұрыштың ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдан: $$p=\dfrac{10+17+21}{2}=24, $$ $$S_Δ=\sqrt{24(24-10)(24-17)(24-21)}=$$ $$=\sqrt{24·14·7·3}=84 \, \text{кв.бірл.} $$ Бесбұрыштың ауданы $S=2⋅S_Δ=2⋅84=168 \, \text{кв.бірл.}$

Параллелограмның диагоналі оны екі тең үшбұрышқа бөледі.
Үшбұрыштың ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдан: $$p=\dfrac{8+15+17}{2}=20,$$ $$ S_Δ=\sqrt{20(20-8)(20-15)(20-17)}=$$ $$=\sqrt{20·12·5·3}=60 \, \text{кв.бірл.}$$
Бесбұрыштың ауданы $S=2⋅S_Δ=2⋅60=120 \, \text{кв.бірл.}$

Төртбұрыштың диагоналі оны екі үшбұрышқа бөледі:

Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасын есептеу үшін Пифагор теоремасын қолдан: $x=\sqrt{12^2+5^2}=13,$
Онда бұл үшбұрыштың ауданы $S_1=\dfrac{12·5}{2}=30.$
Екінші үшбұрыштың ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдан: $$p=\dfrac{4+13+15}{2}=16, $$ $$ S_Δ=\sqrt{16(16-4)(16-13)(16-15)}=$$ $$=\sqrt{16·12·3·1}=24 \, \text{кв.бірл.} $$
Төртбұрыштың ауданы $S=S_1+S_2=30+16=46 \, \text{кв.бірл.}$

Төртбұрыштың диагоналі оны екі үшбұрышқа бөледі:

Тікбұрышты үшбұрыштың гипотенузасын есептеу үшін Пифагор теоремасын қолдан: $x=\sqrt{24^2+7^2}=25,$
Онда бұл үшбұрыштың ауданы $S_1=\dfrac{24·7}{2}=84.$ Екінші үшбұрыштың ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдан: $$p=\dfrac{16+25+39}{2}=40, $$ $$ S_Δ=\sqrt{40(40-16)(40-25)(40-39)}=$$ $$\sqrt{40·24·15·1}=120 \, \text{кв.бірл.} $$
Төртбұрыштың ауданы $S=S_1+S_2=84+120=204 \, \text{кв.бірл.}$

Үшбұрыштың қабырғаларын $x$ арқылы өрнекте: $12x,17x,25x.$ Үшбұрыштың периметрі 540 см. $$12x+17x+25x=540,$$ $$54x=540,x=10.$$ Үшбұрыштың қабырғалары 120 см, 170 см және 250 см. Жарты периметрі $p=\dfrac{540}{2}=270 \, \text{см}.$
Үшбұрыштың ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдан: $$S_Δ=\sqrt{270(270-120)(270-170)(270-250)}=$$ $$=\sqrt{270·150·100·20}=9000 \, \text{см}^2.$$

Үшбұрыштың қабырғаларын $x$ арқылы өрнекте: $17x,10x,9x.$ Үшбұрыштың периметрі 252 см. $$17x+10x+9x=252,$$ $$36x=252, x=7.$$ Үшбұрыштың қабырғалары 119 см, 70 см және 63 см. Жарты периметрі $$p=\dfrac{252}{2}=126 \,\text{см}.$$ Үшбұрыштың ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдан: $$S_Δ=\sqrt{126(126-119)(126-70)(126-63)}=$$ $$=\sqrt{126·7·56·63}=1764 \, \text{см}^2$$.

Үшбұрыштың ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдан: $$p=\dfrac{25+29+36}{2}=45,$$ $$S_Δ=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=$$ $$=\sqrt{45·20·16·9}=360 \, \text{кв.бірл.}$$ Үшбұрыштың үлкен қабырғасына кіші биіктігі жүргізіледі.
Үшбұрыштың ауданы $$S_Δ=\dfrac{1}{2}ch,$$ $$\dfrac{1}{2}ch=360,$$ $$h=\dfrac{720}{c}=\dfrac{720}{36}=20.$$

Үшбұрыштың ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдан:$$p=\dfrac{10+35+39}{2}=42,$$ $$S_Δ=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=$$ $$=\sqrt{42·32·7·3}=168 \, \text{кв.бірл.}$$ Үшбұрыштың кіші қабырғасына үлкен биіктігі жүргізіледі.
Үшбұрыштың ауданы $$S_Δ=\dfrac{1}{2}ah,$$ $$\dfrac{1}{2}ah=168,$$ $$h=\dfrac{168}{a}=\dfrac{168}{10}=16,8.$$

Теңдеулер жүйесін құр:$$\left\{\begin{array}{l}p - a = 27\\p - b = 14\\p - c = 1\end{array} \right.$$ Теңдеулерді қосу әдісін қолдан:$$(p-a)+(p-b)+(p-c)=42,$$ $$3p-(a+b+c)=42,$$ $$3p-2p=42,$$ $$p=42.$$ Үшбұрыштың ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдан: $$S_Δ=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=$$ $$=\sqrt{42·27·14·1}=126 \, \text{кв.бірл.}$$

Теңдеулер жүйесін құр: $$\left\{ \begin{array}{l}p - a = 1\\p - b = 18\\p - c = 19\end{array} \right.$$ Теңдеулерді қосу әдісін қолдан: $$(p-a)+(p-b)+(p-c)=38,$$ $$3p-(a+b+c)=38, $$ $$3p-2p=38,$$ $$p=38.$$ Үшбұрыштың ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдан: $$S_Δ=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=$$ $$=\sqrt{38·1·18·19}=114 \, \text{кв.бірл.}$$

Есептің шарты бойынша, $AB$-ға параллель $CE$ кесіндісін жүргіз: $AB=CE=14 \,\text{см}.$ $ABCE$- параллелограмм: $$BC=AE=10 \,\text{см}.$$ $$ AD=AE+ED,$$ $$ED=AD-AE=25-10=15.$$ $ECD$ үшбұрышының ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдан: $$p=\dfrac{13+14+15}{2}=21, $$ $$S_{ΔECD}=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21·8·7·6}=$$ $$=\sqrt{7·3·2·4·7·3·2}=7·3·4=84 \, \text{см}^2. $$ $$ S_{ΔECD}=\dfrac{1}{2}ED·CF.$$ $$ 84=\dfrac{1}{2}·15·CF,$$ $$ CF=11,2 \, \text{см}. $$ $$ S_{ABCE}=AE·CF=10·11, 2=112 \, \text{см}^2.$$ $$S_{ABCD}=S_{ABCE}+S_{ECD}=112+84=196 \, \text{см}^2.$$

Есептің шарты бойынша, $AB$-ға параллель $CE$ кесіндісін жүргіз: $AB=CE=25 \,\text{см}.$ $ABCE-$ параллелограмм: $$BC=AE=11 \,\text{см}. AD=AE+ED,$$ $$ ED=AD-AE=28-11=17.$$ $ECD$ үшбұрышының ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдан: $$p=\dfrac{17+25+26}{2}=34,$$ $$ S_{ΔECD}=\sqrt{34(34-17)(34-25)(34-26)}=$$ $$=\sqrt{34·17·9·8}=204 \, \text{см}^2.$$ $$ S_{ΔECD}=\dfrac{1}{2} ED·CF.$$ $$204=\dfrac{1}{2}·17·CF,$$ $$CF=24 \, \text{см}.$$ $$S_{ABCE}=AE·CF=11·24=264 \, \text{см}^2.$$ $$S_{ABCD}=S_{ABCE}+S_{ECD}=264+204=468 \, \text{см}^2.$$

Есептің шарты бойынша, $$AB=x-1, \, BC=x, \, AC=x+1.$$ Үшбұрыштың жарты периметрі $$p=\dfrac{(x-1)+x+(x+1)}{2}=\dfrac{3x}{2}.$$ Үшбұрышының ауданын есептеу үшін Герон формуласын қолдан: $$S=\sqrt{\frac{3x}{2}\left( \frac{3x}{2}-\left( x-1 \right) \right)\left( \frac{3x}{2}-x \right)\left( \frac{3x}{2}-\left( x+1 \right) \right)},$$ $$\sqrt{\frac{3x}{2}\cdot \left( \frac{x}{2}+1 \right)\cdot \frac{x}{2}\cdot \left( \frac{x}{2}-1 \right)}=6,$$ $$\sqrt{\frac{3{{x}^{2}}}{4}\cdot \left( \frac{{{x}^{2}}}{4}-1 \right)}=6,$$ Түбір астындағы өрнек 6-ның квадратына тең: $$\dfrac{3x^2}{4}⋅(\dfrac{x^2}{4}-1)=36.$$ Жаңа айнымалы енгіз: $$t=\dfrac{x^2}{4},$$ $$3t(t-1)=36,$$ $$t^2-t=12,$$ $$t^2-t-12=0,$$ $$t^2+3t-4t-12=0,$$ $$t(t+3)-4(t+3)=0,$$ $$(t+3)(t-4)=0,$$ $$t_1=-3, t_2=4, $$ $t=-3$ саны есеп шартын қанағаттандырмайды. $$\dfrac{x^2}{4}=4,$$ $$x^2=16,$$ $$x_{1,2}=±4.$$ Жауабы: $x=4.$