Тригонометриядан қысқаша анықтамалық
Тікбұрышты үшбұрыш
$\theta \lt \frac{\pi}{2}$ немесе $0^{\circ} \lt \theta \lt 90^{\circ }$
$\sin\theta=\frac{a}{c}=\frac{\text{қарсы жатқан катет}}{\text{гипотенуза}}$
$\cos\theta=\frac{b}{c}=\frac{\text{іргелес жатқан катет}}{\text{гипотенуза}}$
$\tan\theta=\frac{a}{b}=\frac{\text{қарсы жатқан катет}}{\text{іргелес жатқан катет}}$
$\csc \theta =\dfrac{c}{a}$
$\sec \theta =\dfrac{c}{b}$
$\cot\theta =\dfrac{b}{a}$
Бірлік шеңбер
Қандай да бір $\theta$ бұрышы үшін:
$\sin \theta =\dfrac{y}{1}=y$
$\cos \theta =\dfrac{x}{1}=x$
$\tan \theta =\dfrac{y}{x}$
$\csc \theta =\dfrac{1}{y}$
$\sec \theta =\dfrac{1}{x}$
$\cot \theta =\dfrac{x}{y}$
Тригонометриялық функциялардың қасиеттері
Анықталу облысы
$\theta$ аргументінің қабылдай алатын мәндері мынадай:
$\sin \theta$, $\theta \in \left( -\infty ;+\infty \right)$
$\cos \theta$, $\theta \in \left( -\infty ;+\infty \right)$
$\tan \theta$, $\theta \neq \dfrac{\pi }{2}+\pi n$, $n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$
$\csc \theta$, $\theta \neq \pi n$, $n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$
$\sec \theta$, $\theta \neq \dfrac{\pi }{2}+\pi n$, $n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$
$\cot \theta$, $\theta \neq \pi n$, $n=0,\pm 1,\pm 2,\ldots$
Мәндер жиыны
Тригонометриялық функциялар мына аралықтарда анықталады:
$-1\leq \sin \theta \leq 1$
$-1\leq \cos \theta \leq 1$
$-\infty \lt \tan \theta \lt +\infty$
$\csc \theta \geq 1$ және $\csc \theta \leq -1$
$\sec \theta \geq 1$ және $\sec \theta \leq -1$
$-\infty \lt \cot \theta \lt +\infty$
Периоды
$f\left( \theta +T\right) =f\left( \theta \right)$ теңдігі орындалатын болса, онда $T$ - функцияның периоды деп аталады. $\omega$ - аргументтің алдындағы коэффициент болсын. Коэффициент өзгерген сайын функция периоды да өзгереді.
$\sin (\omega\theta) \Rightarrow T=\dfrac{2\pi }{\omega }$
$\cos (\omega\theta) \Rightarrow T=\dfrac{2\pi }{\omega }$
$\tan (\omega\theta) \Rightarrow T=\dfrac{\pi }{\omega }$
$\csc (\omega\theta) \Rightarrow T=\dfrac{2\pi }{\omega }$
$\sec (\omega\theta) \Rightarrow T=\dfrac{2\pi }{\omega }$
$\cot (\omega\theta) \Rightarrow T=\dfrac{\pi }{\omega } $
Формулалар мен теңбе-теңдіктер
Негізгі теңбе-теңдіктер
$\tan \theta =\dfrac{\sin \theta }{\cos \theta }$
$\csc \theta =\dfrac{1}{\sin \theta }$
$\sec \theta =\dfrac{1}{\cos \theta }$
$\cot \theta =\dfrac{1}{\tan \theta }$
$\cot \theta =\dfrac{\cos \theta }{\sin \theta }$
$\sin \theta =\dfrac{1}{\csc \theta }$
$\cos \theta =\dfrac{1}{\sec \theta }$
$\tan \theta =\dfrac{1}{\cot \theta }$
Пифагор теңбе-теңдіктері
$\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$
$\tan ^{2}\theta +1=\dfrac{1}{\cos ^{2}\theta }=\sec ^{2}\theta$
$\cot ^{2}\theta +1=\dfrac{1}{\sin ^{2}\theta }=\csc ^{2}\theta$
Жұп-тақтылығы
$\sin \left( -\theta \right) =-\sin \theta$
$\cos \left( -\theta \right) =\cos \theta$
$\tan \left( -\theta \right) =-\tan \theta$
$\csc \left( -\theta \right) =-\csc \theta$
$\sec \left( -\theta \right) =\sec \theta$
$\cot \left( -\theta \right) =-\cot \theta$
Периодтылығы
$n$ бүтін саны үшін
$\sin \left( \theta +2\pi n\right) =\sin \theta$
$\cos \left( \theta +2\pi n\right) =\cos \theta$
$\tan \left( \theta +\pi n\right) =\tan \theta$
$\csc \left( \theta +2\pi n\right) =\csc \theta$
$\sec \left( \theta +2\pi n\right) =\sec \theta$
$\cot \left( \theta +\pi n\right) =\cot \theta$
Қос бұрыш формулалары
$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$
$\cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta=$
$=2\cos ^{2}\theta -1=$
$=1-2\sin ^{2}\theta$
$\tan 2\theta =\dfrac{2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }$
Градусты радианға айналдыру
Егер $x$ бұрышы градуспен, $t$ бұрышы радианмен өлшенетін болса:
$\dfrac{\pi }{180}=\dfrac{t}{x}\Rightarrow t=\dfrac{\pi x}{180}$ және $x=\dfrac{180t}{\pi }$
Жарты бұрыш формулалары
$\sin \dfrac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \theta }{2}}$
$\cos \dfrac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1+\cos \theta }{2}}$
$\tan \dfrac{\theta }{2}=\pm \sqrt{\dfrac{1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}$
(Альтернативті формасы)
$\sin ^{2}\theta =\dfrac{1-\cos 2\theta }{2}$
$\cos ^{2}\theta =\dfrac{1+\cos 2\theta }{2}$
$\tan ^{2}\theta =\dfrac{1-\cos 2\theta }{1+\cos 2\theta }$
Қосу формулалары
$\sin \left( \alpha \pm \beta \right) =\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
$\cos \left( \alpha +\beta \right) =\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$
$\cos \left( \alpha -\beta \right) =\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$
$\tan \left( \alpha +\beta \right) =\dfrac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$
$\tan \left( \alpha -\beta \right) =\dfrac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }$
Көбейтіндіні қосындыға айналдыру
$\sin \alpha \sin \beta =\dfrac{1}{2}\left( \cos \left( \alpha -\beta \right) -\cos \left( \alpha +\beta \right) \right)$
$\cos \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}\left( \cos \left( \alpha -\beta \right) +\cos \left( \alpha +\beta \right) \right)$
$\sin \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2}\left( \sin \left( \alpha +\beta \right) +\sin \left( \alpha -\beta \right) \right)$
$\cos \alpha \sin \beta =\dfrac{1}{2}\left( \sin \left( \alpha +\beta \right) -\sin \left( \alpha -\beta \right) \right)$
Қосындыны көбейтіндіге айналдыру
$\sin x+\sin y=2\sin \dfrac{x+y}{2}\cos \dfrac{x-y}{2}$
$\sin x-\sin y=2\sin \dfrac{x-y}{2}\cos \dfrac{x+y}{2}$
$\cos x+\cos y=2\cos \dfrac{x+y}{2}\cos \dfrac{x-y}{2}$
$\cos x-\cos y=-2\sin \dfrac{x+y}{2}\sin \dfrac{x-y}{2}$
$\tan x+\tan y=\dfrac{\sin \left( x+y\right) }{\cos x\cos y}$
$\tan x-\tan y=\dfrac{\sin \left( x-y\right) }{\cos x\cos y}$
$\cot x+\cot y=\dfrac{\sin \left( x+y\right) }{\sin x\sin y}$
$\cot x-\cot y=\dfrac{\sin \left( y-x\right) }{\sin x\sin y}$
Келтіру формулалары
$\sin \left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right) =\cos \theta$
$\csc \left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right) =\sec \theta$
$\tan \left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right) =\cot \theta$
$\cos \left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right) =\sin \theta$
$\sec \left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right) =\csc \theta$
$\cot \left( \dfrac{\pi }{2}-\theta \right) =\tan \theta$
Бірлік шеңбер
Шеңбер бойындағы кез-келген $\left( x;y\right)$ нүктесінің координатасына: $\cos \theta =x$ және $\sin \theta =y$ мәні сәйкес келеді.
Мысалы
$\cos \dfrac{5\pi }{3} = \dfrac{1}{2}$
$\sin \dfrac{5\pi }{3} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
Кері тригонометриялық функциялар
Анықтамасы
$y=\arcsin x$ функциясы $x=\sin y$ теңдеуіне мәндес
$y=\arccos x$ функциясы $x=\cos y$ теңдеуіне мәндес
$y=\arctan x$ функциясы $x=\tan y$ теңдеуіне мәндеc
Анықталу облысы және мәндер жиыны
Функция
Анықталу облысы
Мәндер жиыны
$y=\arcsin x$
$-1\leq x\leq 1$
$-\dfrac{\pi }{2}\leq y\leq \dfrac{\pi }{2}$
$y=\arccos x$
$-1\leq x\leq 1$
$0\leq y\leq \pi$
$y=\arctan x$
$-\infty \lt x \lt +\infty $
$-\dfrac{\pi }{2}\leq y\leq \dfrac{\pi }{2}$
Кері тригонометриялық функциялардың қасиеттері
$\cos \left( \arccos x\right) =x$
$\sin \left( \arcsin x\right) =x$
$\tan \left( \arctan x\right) =x$
$\arccos \left( \cos \theta \right) =\theta$
$\arcsin \left( \sin \theta \right) =\theta$
$\arctan \left( \tan \theta \right) =\theta$
Альтернативті жазылуы
$\sin ^{-1}x=\arcsin x$
$\cos ^{-1}x=\arccos x$
$\tan ^{-1}x=\arctan x$
Синустар, косинустар, тангенстер теоремасы
Синустар теоремасы
$\dfrac{\sin \alpha }{a}=\dfrac{\sin \beta }{b}=\dfrac{\sin \gamma }{c}$
Косинустар теоремасы
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$
$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta$
$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$
Молвейд теоремасы
$\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{\cos \dfrac{\alpha -\beta }{2}}{\sin \dfrac{\gamma }{2}}$
Тангенстер теоремасы
$\dfrac{a-b}{a+b}=\dfrac{\tan \dfrac{\alpha -\beta }{2}}{\tan \dfrac{\alpha +\beta }{2}}$
$\dfrac{b-c}{b+c}=\dfrac{\tan \dfrac{\beta -\gamma }{2}}{\tan \dfrac{\beta +\gamma }{2}}$
$\dfrac{a-c}{a+c}=\dfrac{\tan \dfrac{\alpha -\gamma }{2}}{\tan \dfrac{\alpha +\gamma }{2}}$