Тригонометриядан қысқаша анықтамалық

Тікбұрышты үшбұрыш

$θ < \frac{π}{2}$ немесе $0^{\circ} < θ < 90^{\circ}$

$\sin θ = \frac{a}{c} = \frac{қарсы жатқан катет}{гипотенуза}$

$\cos θ = \frac{b}{c} = \frac{іргелес жатқан катет}{гипотенуза}$

$tg θ = \frac{a}{b} = \frac{қарсы жатқан катет}{іргелес жатқан катет}$

$cosec θ = \frac{c}{a}$

$\sec θ = \frac{c}{b}$

$ctg θ = \frac{b}{a}$

Бірлік шеңбер

Қандай да бір $θ$ бұрышы үшін:

$\sin θ = \frac{y}{1} = y$

$\cos θ = \frac{x}{1} = x$

$tg θ = \frac{y}{x}$

$cosec θ = \frac{1}{y}$

$\sec θ = \frac{1}{x}$

$ctg θ = \frac{x}{y}$

Тригонометриялық функциялардың қасиеттері

Анықталу облысы

$θ$ аргументінің қабылдай алатын мәндері мынадай:

$\sin θ$ , $θ \in (- \infty; + \infty)$

$\cos θ$ , $θ \in (- \infty; + \infty)$

$tg θ$ , $θ \neq \frac{π}{2} + π n$ , $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$

$cosec θ$ , $θ \neq π n$ , $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$

$\sec θ$ , $θ \neq \frac{π}{2} + π n$ , $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$

$ctg θ$ , $θ \neq π n$ , $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$

Мәндер жиыны

Тригонометриялық функциялар мына аралықтарда анықталады:

$- 1 ⩽ \sin θ ⩽ 1$

$- 1 ⩽ \cos θ ⩽ 1$

$- \infty < tg θ < + \infty$

$cosec θ ⩾ 1$ және $cosec θ ⩽ - 1$

$\sec θ ⩾ 1$ және $\sec θ ⩽ - 1$

$- \infty < ctg θ < + \infty$

Периоды

$f (θ + T) = f (θ)$ теңдігі орындалатын болса, онда $T$ - функцияның периоды деп аталады. $ω$ - аргументтің алдындағы коэффициент болсын. Коэффициент өзгерген сайын функция периоды да өзгереді.

$\sin (ω θ) \Rightarrow T = \frac{2 π}{ω}$

$\cos (ω θ) \Rightarrow T = \frac{2 π}{ω}$

$tg (ω θ) \Rightarrow T = \frac{π}{ω}$

$cosec (ω θ) \Rightarrow T = \frac{2 π}{ω}$

$\sec (ω θ) \Rightarrow T = \frac{2 π}{ω}$

$ctg (ω θ) \Rightarrow T = \frac{π}{ω}$

Формулалар мен теңбе-теңдіктер

Негізгі теңбе-теңдіктер

$tg θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}$

$cosec θ = \frac{1}{\sin θ}$

$\sec θ = \frac{1}{\cos θ}$

$ctg θ = \frac{1}{tg θ}$

$ctg θ = \frac{\cos θ}{\sin θ}$

$\sin θ = \frac{1}{cosec θ}$

$\cos θ = \frac{1}{\sec θ}$

$tg θ = \frac{1}{ctg θ}$

Пифагор теңбе-теңдіктері

$\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$

${tg}^{2} θ + 1 = \frac{1}{\cos^{2} θ} = \sec^{2} θ$

${ctg}^{2} θ + 1 = \frac{1}{\sin^{2} θ} = {cosec}^{2} θ$

Жұп-тақтылығы

$\sin (- θ) = - \sin θ$

$\cos (- θ) = \cos θ$

$tg (- θ) = - tg θ$

$cosec (- θ) = - cosec θ$

$\sec (- θ) = \sec θ$

$ctg (- θ) = - ctg θ$

Периодтылығы

$n$ бүтін саны үшін

$\sin (θ + 2 π n) = \sin θ$

$\cos (θ + 2 π n) = \cos θ$

$tg (θ + π n) = tg θ$

$cosec (θ + 2 π n) = cosec θ$

$\sec (θ + 2 π n) = \sec θ$

$ctg (θ + π n) = ctg θ$

Қос бұрыш формулалары

$\sin 2 θ = 2 \sin θ \cos θ$

$\cos 2 θ = \cos^{2} θ - \sin^{2} θ =$

$= 2 \cos^{2} θ - 1 =$

$= 1 - 2 \sin^{2} θ$

$tg 2 θ = \frac{2 tg θ}{1 - {tg}^{2} θ}$

Градусты радианға айналдыру

Егер $x$ бұрышы градуспен, $t$ бұрышы радианмен өлшенетін болса:

$\frac{π}{180} = \frac{t}{x} \Rightarrow t = \frac{π x}{180}$ және $x = \frac{180 t}{π}$

Жарты бұрыш формулалары

$\sin \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{2}}$

$\cos \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos θ}{2}}$

$tg \frac{θ}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos θ}{1 + \cos θ}}$

(Альтернативті формасы)

$\sin^{2} θ = \frac{1 - \cos 2 θ}{2}$

$\cos^{2} θ = \frac{1 + \cos 2 θ}{2}$

${tg}^{2} θ = \frac{1 - \cos 2 θ}{1 + \cos 2 θ}$

Қосу формулалары

$\sin (α \pm β) = \sin α \cos β \pm \cos α \sin β$

$\cos (α + β) = \cos α \cos β - \sin α \sin β$

$\cos (α - β) = \cos α \cos β + \sin α \sin β$

$tg (α + β) = \frac{tg α + tg β}{1 - tg α tg β}$

$tg (α - β) = \frac{tg α - tg β}{1 + tg α tg β}$

Көбейтіндіні қосындыға айналдыру

$\sin α \sin β = \frac{1}{2} (\cos (α - β) - \cos (α + β))$

$\cos α \cos β = \frac{1}{2} (\cos (α - β) + \cos (α + β))$

$\sin α \cos β = \frac{1}{2} (\sin (α + β) + \sin (α - β))$

$\cos α \sin β = \frac{1}{2} (\sin (α + β) - \sin (α - β))$

Қосындыны көбейтіндіге айналдыру

$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}$

$\sin x - \sin y = 2 \sin \frac{x - y}{2} \cos \frac{x + y}{2}$

$\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}$

$\cos x - \cos y = - 2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x - y}{2}$

$tg x + tg y = \frac{\sin (x + y)}{\cos x \cos y}$

$tg x - tg y = \frac{\sin (x - y)}{\cos x \cos y}$

$ctg x + ctg y = \frac{\sin (x + y)}{\sin x \sin y}$

$ctg x - ctg y = \frac{\sin (y - x)}{\sin x \sin y}$

Келтіру формулалары

$\sin (\frac{π}{2} - θ) = \cos θ$

$cosec (\frac{π}{2} - θ) = \sec θ$

$tg (\frac{π}{2} - θ) = ctg θ$

$\cos (\frac{π}{2} - θ) = \sin θ$

$\sec (\frac{π}{2} - θ) = cosec θ$

$ctg (\frac{π}{2} - θ) = tg θ$

Бірлік шеңбер

Шеңбер бойындағы кез-келген $(x; y)$ нүктесінің координатасына: $\cos θ = x$ және $\sin θ = y$ мәні сәйкес келеді.

Мысалы

$\cos \frac{5 π}{3} = \frac{1}{2}$

$\sin \frac{5 π}{3} = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Кері тригонометриялық функциялар

Анықтамасы

$y = \arcsin x$ функциясы $x = \sin y$ теңдеуіне мәндес

$y = \arccos x$ функциясы $x = \cos y$ теңдеуіне мәндес

$y = arctg x$ функциясы $x = tg y$ теңдеуіне мәндеc

Анықталу облысы және мәндер жиыны

Функция

Анықталу облысы

Мәндер жиыны

$y = \arcsin x$

$- 1 ⩽ x ⩽ 1$

$- \frac{π}{2} ⩽ y ⩽ \frac{π}{2}$

$y = \arccos x$

$- 1 ⩽ x ⩽ 1$

$0 ⩽ y ⩽ π$

$y = arctg x$

$- \infty < x < + \infty$

$- \frac{π}{2} ⩽ y ⩽ \frac{π}{2}$

Кері тригонометриялық функциялардың қасиеттері

$\cos (\arccos x) = x$

$\sin (\arcsin x) = x$

$tg (arctg x) = x$

$\arccos (\cos θ) = θ$

$\arcsin (\sin θ) = θ$

$arctg (tg θ) = θ$

Альтернативті жазылуы

$\sin^{- 1} x = \arcsin x$

$\cos^{- 1} x = \arccos x$

${tg}^{- 1} x = arctg x$

Синустар, косинустар, тангенстер теоремасы

Синустар теоремасы

$\frac{\sin α}{a} = \frac{\sin β}{b} = \frac{\sin γ}{c}$

Косинустар теоремасы

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos α$

$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos β$

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos γ$

Молвейд теоремасы

$\frac{a + b}{c} = \frac{\cos \frac{α - β}{2}}{\sin \frac{γ}{2}}$

Тангенстер теоремасы

$\frac{a - b}{a + b} = \frac{tg \frac{α - β}{2}}{tg \frac{α + β}{2}}$

$\frac{b - c}{b + c} = \frac{tg \frac{β - γ}{2}}{tg \frac{β + γ}{2}}$

$\frac{a - c}{a + c} = \frac{tg \frac{α - γ}{2}}{tg \frac{α + γ}{2}}$

Терминдер: ✽мәндер жиыны, ✽тригонометриялық өрнектер, ✽тригонометриялық теңдеулер, ✽тригонометриялық теңсіздіктер

Тригонометриядан анықтамалық

Тригонометриядан қысқаша анықтамалық

Тікбұрышты үшбұрыш

Бірлік шеңбер

Тригонометриялық функциялардың қасиеттері

Анықталу облысы

Мәндер жиыны

Периоды

Формулалар мен теңбе-теңдіктер

Негізгі теңбе-теңдіктер

Пифагор теңбе-теңдіктері

Жұп-тақтылығы

Периодтылығы

Қос бұрыш формулалары

Градусты радианға айналдыру

Жарты бұрыш формулалары

(Альтернативті формасы)

Қосу формулалары

Көбейтіндіні қосындыға айналдыру

Қосындыны көбейтіндіге айналдыру

Келтіру формулалары

Бірлік шеңбер

Кері тригонометриялық функциялар

Анықтамасы

Анықталу облысы және мәндер жиыны

Кері тригонометриялық функциялардың қасиеттері

Альтернативті жазылуы

Синустар, косинустар, тангенстер теоремасы

Синустар теоремасы

Косинустар теоремасы

Молвейд теоремасы

Тангенстер теоремасы

Осы тақырыптағы посттар

Пікір қалдыруКері қайту