Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылу

Бөлшектің алымын да, бөлімін де оның түйіндесіне, яғни $\sqrt{10}-\sqrt{2}$ өрнегіне көбейтіп, қысқаша көбейту формуласын пайдалану керек.

$$\frac{{4(\sqrt {10} - \sqrt 2 )}}{{(\sqrt {10} + \sqrt 2 )(\sqrt {10} - \sqrt 2 )}} = \frac{{4(\sqrt {10} - \sqrt 2 )}}{{{{\sqrt {10} }^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} = $$ $$ = \frac{{4(\sqrt {10} - \sqrt 2 )}}{8} = \frac{{\sqrt {10} - \sqrt 2 }}{2}$$

$$\frac{{17}}{{3\sqrt 5 - 2\sqrt 7 }} = \frac{{17 \cdot (3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 )}}{{(3\sqrt 5 - 2\sqrt 7 ) \cdot (3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 )}} = $$ $$ = \frac{{17 \cdot (3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 )}}{{45 - 28}} = 3\sqrt 5 + 2 \cdot \sqrt 7 $$

$$\frac{7}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} = \frac{{7\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{{\sqrt {(2 + \sqrt 3 )(2 - \sqrt 3 )} }} = 7\sqrt {2 - \sqrt 3 } $$

Берілген айырманың екеуі де ирационал өрнектер болып тұр. Екеуінен түбірден құтылу үшін — қосындының толымсыз квадратына көбейтіп, бөлшек бөлімін кубтардың айырмасы түрінде көрсету қажет. $$\frac{{\sqrt[3]{{{5^2}}} + \sqrt[3]{{5 \cdot 2}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}}}{{\left( {\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{2}} \right)\left( {\sqrt[3]{{{5^2}}} + \sqrt[3]{{5 \cdot 2}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}} \right)}} = \frac{{\sqrt[3]{{25}} + \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{4}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{5}} \right)}^3} - {{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^3}}} = \frac{{\sqrt[3]{{25}} + \sqrt[3]{{10}} + \sqrt[3]{4}}}{3}$$

$$\frac{4}{{2 - 3\sqrt[3]{2}}} = \frac{{4 \cdot (4 + 6\sqrt[3]{2} + 9\sqrt[3]{4})}}{{(2 - 3\sqrt[3]{2}) \cdot (4 + 6\sqrt[3]{2} + 9\sqrt[3]{4})}} = $$ $$ = \frac{{4 \cdot (4 + 6\sqrt[3]{2} + 9\sqrt[3]{4})}}{{8 - 54}} = \frac{{ - 2(4 + 6\sqrt[3]{2} + 9\sqrt[3]{4})}}{{23}}$$

$\dfrac{1}{{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}} = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{3^2}}} + \sqrt[3]{{3 \cdot 2}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}}}$

Бөлшек бөлімі $\sqrt[3]{3}$ және $\sqrt[3]{2}$ сандарының айырмасының толымсыз квадраты тұрғанын байқауға болады. Сондықтан айырманың кубы шығу үшін бөлшектің алымын да, бөлімін де осы сандардың айырмасына көбейтеміз:

$$\frac{{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}}}{{\left( {\sqrt[3]{{{3^2}}} + \sqrt[3]{{3 \cdot 2}} + \sqrt[3]{{{2^2}}}} \right)(\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2})}} = \frac{{\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}}}{{{{(\sqrt[3]{3})}^3} - {{(\sqrt[3]{2})}^3}}} = \sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{2}$$

$$\frac{1}{{1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}}} = \frac{{1 + \sqrt[3]{3}}}{{(1 - \sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9})(1 + \sqrt[3]{3})}} = \frac{{1 + \sqrt[3]{3}}}{{1 + {{(\sqrt[3]{3})}^3}}} = \frac{{\sqrt[3]{3} + 1}}{4}$$

Бөлшектің бөлімін көбейткіштерге жіктейік:

$\dfrac{1}{\sqrt{5}(\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{7}(\sqrt{2}-\sqrt{3})}=\dfrac{1}{(\sqrt{2}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{7})}$

Бөлшектің алымын да, бөлімін де берілген көбейткіштердің түйіндестеріне көбейтеміз:

$$\frac{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 )(\sqrt 5 - \sqrt 7 )}}{{(\sqrt 2 - \sqrt 3 )(\sqrt 2 + \sqrt 3 )(\sqrt 5 + \sqrt 7 )(\sqrt 5 - \sqrt 7 )}} = $$ $$ = \frac{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 )(\sqrt 5 - \sqrt 7 )}}{{\left( {{{(\sqrt 2 )}^2} - {{(\sqrt 3 )}^2}} \right)\left( {{{(\sqrt 5 )}^2} - {{(\sqrt 7 )}^2}} \right)}} = \frac{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 )(\sqrt 5 - \sqrt 7 )}}{2}$$

Түйіндесіне көбейту әдісін екі рет қолданамыз:

$$\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt[4]{3}}} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt[4]{3}}}{{(\sqrt 2 + \sqrt[4]{3})(\sqrt 2 - \sqrt[4]{3})}} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt[4]{3}}}{{{{(\sqrt 2 )}^2} - {{(\sqrt[4]{3})}^2}}} = $$ $$ = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt[4]{3}}}{{2 - \sqrt 3 }} = \frac{{(\sqrt 2 - \sqrt[4]{3})(2 + \sqrt 3 )}}{{(2 - \sqrt 3 )(2 + \sqrt 3 )}} = (\sqrt 2 - \sqrt[4]{3})(2 + \sqrt 3 )$$

$$\frac{1}{{\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2}}} = \frac{{\sqrt[4]{7} - \sqrt[4]{2}}}{{(\sqrt[4]{7} + \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{7} - \sqrt[4]{2})}} = \frac{{\sqrt[4]{7} - \sqrt[4]{2}}}{{{{(\sqrt[4]{7})}^2} - {{(\sqrt[4]{2})}^2}}} = $$ $$ = \frac{{\sqrt 7 - \sqrt[4]{2}}}{{\sqrt 7 - \sqrt 2 }} = \frac{{(\sqrt[4]{7} - \sqrt[4]{2})(\sqrt 7 + \sqrt 2 )}}{{(\sqrt 7 - \sqrt 2 )(\sqrt 7 + \sqrt 2 )}} = $$ $$ = \frac{{(\sqrt[4]{7} - \sqrt[4]{2})(\sqrt 7 + \sqrt 2 )}}{{{{(\sqrt 7 )}^2} - {{(\sqrt 2 )}^2}}} = \frac{{(\sqrt[4]{7} - \sqrt[4]{2})(\sqrt 7 + \sqrt 2 )}}{5}$$

$$\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt[3]{3}}} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt[3]{3}}}{{(\sqrt 2 + \sqrt[3]{3})(\sqrt 2 - \sqrt[3]{3})}} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt[3]{3}}}{{{{(\sqrt 2 )}^2} - {{(\sqrt[3]{3})}^2}}} = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt[3]{3}}}{{2 - \sqrt[3]{9}}} = $$ $$ = \frac{{(\sqrt 2 - \sqrt[3]{3})(4 + 2 \cdot \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{{81}})}}{{(2 - \sqrt[3]{9})(4 + 2 \cdot \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{{81}})}} = \frac{{(\sqrt 2 - \sqrt[3]{3})(4 + 2 \cdot \sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{{81}})}}{{{{(2)}^3} - {{(\sqrt[3]{9})}^3}}} = $$ $$ = (\sqrt[3]{3} - \sqrt 2 )(4 + 2 \cdot \sqrt[3]{9} + 3 \cdot \sqrt[3]{3})$$

$$\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }} = \frac{1}{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 ) + \sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 5 }}{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 )(\sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 5 )}} = $$ $$ = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 5 }}{{{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 )}^2} - {{(\sqrt 5 )}^2}}} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 5 }}{{2\sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 (\sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 5 )}}{{12}} = $$ $$ = \frac{{\sqrt {12} + \sqrt {18} - \sqrt {30} }}{{12}} = \frac{{2\sqrt 3 + 3\sqrt 2 - \sqrt {30} }}{{12}}$$

$$\frac{{12}}{{(3 + \sqrt 2 ) - \sqrt 3 }} = \frac{{12(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}}{{(3 + \sqrt 2 - \sqrt 3 )(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}} = \frac{{12(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}}{{{{(3 + \sqrt 2 )}^2} - {{(\sqrt 3 )}^2}}} = $$ $$ = \frac{{12(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}}{{8 + 6\sqrt 2 }} = \frac{{6(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )}}{{4 + 3\sqrt 2 }} = \frac{{6(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )(4 - 3\sqrt 2 )}}{{(4 + 3\sqrt 2 )(4 - 3\sqrt 2 )}} = $$ $$ = \frac{{6(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )(4 - 3\sqrt 2 )}}{{ - 2}} = 3(3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 )(3\sqrt 2 - 4) = $$ $$ = 3(9\sqrt 2 - 12 + 6 - 4\sqrt 2 + 3\sqrt 6 - 4\sqrt 3 ) = 3(5\sqrt 2 - 6 + 3\sqrt 6 - 4\sqrt 3 )$$

$$\frac{9}{{5 - \sqrt 7 }} - \frac{1}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }} + \frac{{22}}{{7 + \sqrt 5 }} = \frac{{9(5 + \sqrt 7 )}}{{(5 - \sqrt 7 )(5 + \sqrt 7 )}} - $$ $$ - \frac{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}{{(\sqrt 7 + \sqrt 5 )(\sqrt 7 - \sqrt 5 )}} + \frac{{22(7 - \sqrt 5 )}}{{(7 + \sqrt 5 )(7 - \sqrt 5 )}} = $$ $$ = \frac{{9(5 + \sqrt 7 )}}{{18}} - \frac{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}{2} + \frac{{22(7 - \sqrt 5 )}}{{44}} = \frac{{5 + \sqrt 7 }}{2} - $$ $$ - \frac{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}{2} + \frac{{7 - \sqrt 5 }}{2} = \frac{1}{2}(5 + \sqrt 7 - \sqrt 7 + \sqrt 5 + 7 - \sqrt 5 ) = 6$$

$$\left( {\frac{{12}}{{\sqrt 5 - 1}} - \frac{{71}}{{3 + 4\sqrt 5 }}} \right) \cdot \left( {\frac{8}{{\sqrt 5 - 1}} + \frac{{11}}{{4 + \sqrt 5 }}} \right) = \left( {\frac{{12(\sqrt 5 + 1)}}{{(\sqrt 5 - 1)(\sqrt 5 + 1)}} - \frac{{71(3 - 4\sqrt 5 )}}{{(3 + 4\sqrt 5 )(3 - 4\sqrt 5 )}}} \right) \times $$ $$ \times \left( {\frac{{8(\sqrt 5 + 1)}}{{(\sqrt 5 - 1)(\sqrt 5 + 1)}} + \frac{{11(4 - \sqrt 5 )}}{{(4 + \sqrt 5 )(4 - \sqrt 5 )}}} \right) = \left( {\frac{{12(\sqrt 5 + 1)}}{4} - \frac{{71(3 - 4\sqrt 5 )}}{{ - 71}}} \right) \times $$ $$ \times \left( {\frac{{8(\sqrt 5 + 1)}}{4} + \frac{{11(4 - \sqrt 5 )}}{{11}}} \right) = (3\sqrt 5 + 3 + 3 - 4\sqrt 5 ) \cdot (2\sqrt 5 + 2 + 4 - \sqrt 5 ) = $$ $$ = (6 - \sqrt 5 ) \cdot (6 + \sqrt 5 ) = 31$$

$$\frac{{\sqrt[3]{{{{(6 - \sqrt {35} )}^2}}}}}{{\sqrt[3]{{6 + \sqrt {35} }}}} + \sqrt {35} = \sqrt[3]{{\frac{{{{(6 - \sqrt {35} )}^2} \cdot (6 - \sqrt {35} )}}{{(6 + \sqrt {35} ) \cdot (6 - \sqrt {35} )}}}} + \sqrt {35} = $$ $$\sqrt[3]{{\frac{{{{(6 - \sqrt {35} )}^3}}}{{36 - 35}}}} + \sqrt {35} = 6 - \sqrt {35} + \sqrt {35} = 6$$