Модуль таңбасы бар өрнектердің өзгеруін орындаңыз.
№ 1 Егер $x \ge 2$ болса, $f(x)=|x-2|+7-x$ табыңыз.
Шешуі: $${x \ge 2\quad \to \quad |x - 2| = x - 2}$$ $${f(x) = x - 2 + 7 - x = 5}$$
№ 2 Егер $(-\infty;0)$ болса, $\dfrac{a^2-4}{|a|+2}$ ықшамдаңыз.
Шешуі: $${a \lt 0\quad \to \quad |a| = - a}$$ $${\frac{{{a^2} - 4}}{{ - a + 2}} = \frac{{(a - 2)(a + 2)}}{{ - (a - 2)}} = - (a + 2) = - a - 2}$$
№ 3 Егер $x \gt \dfrac{3}{4}$ болса, $f(x)=|3x+1|+|4x-3|-7x$ табыңыз.
Шешуі: $${x \gt \frac{3}{4}\quad \to \quad |3x + 1| = 3x + 1}$$ $${x \gt \frac{3}{4}\quad \to \quad |4x - 3| = 4x - 3}$$ $${f(x) = 3x + 1 + 4x - 3 - 7x = - 2}$$
№ 4 Егер $-\dfrac{1}{3} \le x \le \dfrac{3}{4} $ болса, $f(x)=|3x+1|+|4x-3|-7x$ табыңыз.
Шешуі: $$x \ge - \frac{1}{3}\quad \to \quad |3x + 1| \to 3x + 1$$ $$x \le \frac{3}{4}\quad \to \quad |4x - 3| = - 4x + 3$$ $$f(x) = 3x + 1 - 4x + 3 - 7x = - 8x + 4$$
№ 5 Егер $0 \lt x \lt 2$ болса, $f(x)=|x|+|2-x|+3 \cdot |x-3|$ табыңыз.
Шешуі: $${x \gt 0\quad \to \quad |x| = x}$$ $${x \lt 2\quad \to \quad |2 - x| = 2 - x}$$ $${x \lt 2\quad \to \quad |x - 3| = - (x - 3) = - x + 3}$$ $${f(x) = x + 2 - x + 3( - x + 3) = 2 - 3x + 9 = - 3x + 11}$$
№ 6 $f(x)=|x-2|$ функциясы берілген. $f(-3)$ табыңыз.
Шешуі: $$f( - 3) = | - 3 - 2| = | - 5| = 5$$
№ 7 Егер $a \in (-\infty; -2)$ болса, $\dfrac{a^3+a^2-2a}{a\cdot |a+2|-a^2+4}$ ықшамдаңыз.
Шешуі: $${a \lt - 2\quad \to \quad |a + 2| = - (a + 2) = - a - 2}$$ $${\frac{{{a^3} + {a^2} - 2a}}{{a( - a - 2) - \left( {{a^2} - 4} \right)}} = \frac{{a\left( {{a^2} + a - 2} \right)}}{{ - a(a + 2) - (a - 2)(a + 2)}} = }$$ $${ = \frac{{a\left( {{a^2} + 2a - a - 2} \right)}}{{(a + 2)( - a - a + 2)}} = \frac{{a(a + 2)(a - 1)}}{{(a + 2)( - 2a + 2)}} = \frac{{a(a + 2)(a - 1)}}{{ - 2(a - 1)(a + 2)}} = - \frac{a}{2}}$$
№ 8 Қысқартыңыз: $\dfrac{{x \cdot |x - 3|}}{{{x^2} - x - 6}}$
Шешуі: $${\frac{{x \cdot |x - 3|}}{{{x^2} + 2x - 3x - 6}} = \frac{{x \cdot |x - 3|}}{{x(x + 2) - 3(x + 2)}} = \frac{{x \cdot |x - 3|}}{{(x - 3)(x + 2)}} = }$$ $${ = \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0,\quad |x - 3| = x - 3\\x - 3 \lt 0,\quad |x - 3| = - \left( {x - 3} \right)\end{array} \right.\quad \to \quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 3,\quad \frac{x}{{x + 2}}}\\{x \lt 3,\quad - \frac{x}{{x + 2}}}\end{array}} \right.}$$
№ 9 $y=|x-2|+|x-3|$ функциясының ең кіші мәнін табыңыз.
Шешуі: $$\left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \lt 2}\\{y = - x + 2 + ( - x) + 3 = - 2x + 5}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 \le x \lt 3}\\{y = x - 2 + ( - x) + 3 = 1}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 3}\\{y = x - 2 + x - 3 = 2x - 5}\end{array}} \right.\end{array} \right.$$ $${y_{\min }} = 1$$
№ 10 $y=|x|+|x-2|$ функциясының ең кіші мәнін табыңыз.
Шешуі: $$\left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \lt 0}\\{y = - x - x + 2 = - 2x + 2}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \lt 2}\\{y = x + ( - x) + 2 = 2}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 2}\\{y = x + x - 2 = 2x - 2}\end{array}} \right.\end{array} \right.$$ $${y_{\min }} = 2$$