Рационал теңдеулер (Сканави (А) 6.1-6.12)

()

 +/-  - Есептің жауабын көрсету/көрсетпеу.

▲/▼ - Жауап орнын жасыру/шығару

   ×    - Сұрақты алып тастау.

Рационал теңдеулерді шешіңіз.

№ 6.1 Теңдеуді шешіңіз: ${\dfrac{{{x^2} + 1}}{{x - 4}} - \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x + 3}} = 23}$

Шешуі: ММЖ: $x \ne - 3,x \ne 4$ $${\dfrac{{{x^2} + 1}}{{x - 4}} - \dfrac{{{x^2} - 1}}{{x + 3}} = 23 \Leftrightarrow \dfrac{{16{x^2} - 25x - 275}}{{(x - 4)(x + 3)}} = 0 \Rightarrow }$$ $${ \Rightarrow 16{x^2} - 25x - 275 = 0 \Rightarrow {x_1} = - \dfrac{{55}}{{16}},{x_2} = 5.}$$

№ 6.2 Теңдеуді шешіңіз: ${\dfrac{b}{{x - a}} + \dfrac{a}{{x - b}} = 2}$

Шешуі: ММЖ: $x \ne a, x \ne b$ $${\dfrac{b}{{x - a}} + \dfrac{a}{{x - b}} = 2 \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - 3(a + b)x + {{(a + b)}^2}}}{{(x - a)(x - b)}} = 0 \Rightarrow }$$ $${ \Rightarrow 2{x^2} - 3(a + b)x + {{(a + b)}^2} = 0 \Rightarrow {x_1} = \dfrac{{a + b}}{2},{x_2} = a + b}$$

№ 6.3 Теңдеуді шешіңіз: $\dfrac{{{x^2} + x - 5}}{x} + \dfrac{{3x}}{{{x^2} + x - 5}} + 4 = 0$

Шешуі: ММЖ: $$x \ne 0,x \ne \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {21} }}{2}$$ Жаңа айнымалы енгізейік: $$\dfrac{{{x^2} + x - 5}}{x} = z$$ Бұдан $${z^2} + 4z + 3 = 0, \Rightarrow {z_1} = - 3,{z_2} = - 1.$$ $$\dfrac{{{x^2} + x - 5}}{x} = - 3{\rm{ }}{\rm{, }}\dfrac{{{x^2} + x - 5}}{x} = - 1.{\rm{ }}$$ Теңдеулердің әрқайсысын шешетін болсақ, $${x_1} = - 5,\,\,{x_2} = 1,\,\,{x_3} = - 1 - \sqrt 6 ,\,\,{x_4} = - 1 + \sqrt 6 $$

№ 6.4 Теңдеуді шешіңіз: ${x^4} - \dfrac{{50}}{{2{x^4} - 7}} = 14$

Шешуі: ММЖ: $$x \ne \pm \sqrt[4]{{\dfrac{7}{2}}}$$ $$2{x^4} - 7 = z$$ жаңа айнымалысын енгізейік. Онда $$\dfrac{{z + 2}}{2} - \dfrac{{50}}{z} = 14 \Rightarrow {z^2} - 21z - 100 = 0 \Leftrightarrow {z_1} = - 4,{z_2} = 25.$$ Қайтадан орнына апарып қойсақ, $$2{x^4} - 7 = - 4$$ $$2{x^4} - 7 = 25$$ $$x_1 = - \sqrt[4]{{\dfrac{3}{2}}},{x_2} = \sqrt[4]{{\dfrac{3}{2}}},{x_3} = - 2,{x_4} = 2$$

№ 6.5 Теңдеуді шешіңіз: $\dfrac{1}{{x(x + 2)}} - \dfrac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} = \dfrac{1}{{12}}$

Шешуі: ММЖ: $x \ne 0,x \ne - 1,x \ne - 2$ $$\dfrac{1}{{x(x + 2)}} - \dfrac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} = \dfrac{1}{{12}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{x^2} + 2x}} - \dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 1}} = \dfrac{1}{{12}}{\rm{.}}$$ Жаңа айнымалы енгізейік: $${x^2} + 2x = z$$ Онда $$\dfrac{{{z^2} + z + 12}}{{z(z + 1)}} = 0 \Rightarrow {z^2} + z + 12 = 0 \Rightarrow {z_1} = - 4,{z_2} = 3.$$ Апарып орнына қойсақ: $${x^2} + 2x = - 4{\rm{ }}{\rm{, }}{x^2} + 2x = 3.$$ Бұдан $${x_{1,2}} \in \emptyset (D \lt 0),{x_3} = - 3,{x_4} = 1$$

№ 6.6 Теңдеуді шешіңіз: $x + \dfrac{1}{x} = 2\dfrac{{{m^2} + {n^2}}}{{{m^2} - {n^2}}}$

Шешуі: ММЖ: $x \ne 0,m \ne \pm n$ $$x + \dfrac{1}{x} = 2\dfrac{{{m^2} + {n^2}}}{{{m^2} - {n^2}}} \Leftrightarrow {x^2} - 2\dfrac{{{m^2} + {n^2}}}{{{m^2} - {n^2}}}x + 1 = 0$$ $${x_1} = \dfrac{{m + n}}{{m - n}},{x_2} = \dfrac{{m - n}}{{m + n}}$$

№ 6.7 Теңдеуді шешіңіз: $\dfrac{{{x^2}}}{{{a^3}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{x^2}}} = \dfrac{b}{a} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}}$

Шешуі: ММЖ: $x \ne 0,a \ne 0$ $$\dfrac{{{x^2}}}{{{a^3}}} + \dfrac{{{b^3}}}{{{x^2}}} = \dfrac{b}{a} + \dfrac{{{b^2}}}{{{a^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^4} - \left( {{a^2}b + a{b^2}} \right){x^2} + {a^3}{b^3}}}{{{a^3}{x^2}}} = 0$$ $${x^4} - \left( {{a^2}b + a{b^2}} \right){x^2} + {a^3}{b^3} = 0,ax \ne 0$$ Жаңа айнымалы енгізейік: ${x^2} = y$ $${y^2} - \left( {{a^2}b + a{b^2}} \right)y + {a^3}{b^3} = 0$$ $${{y_{1,2}} = \dfrac{{{a^2}b + a{b^2} \pm \sqrt {{{\left( {{a^2}b + a{b^2}} \right)}^2} - 4{a^3}{b^3}} }}{2} = }$$ $${ = \dfrac{{{a^2}b + a{b^2} \pm \sqrt {{a^4}{b^2} + 2{a^3}{b^3} + {a^2}{b^4} - 4{a^3}{b^3}} }}{2} = }$$ $${ = \dfrac{{{a^2}b + a{b^2} \pm \sqrt {{a^4}{b^2} - 2{a^3}{b^3} + {a^2}{b^4}} }}{2} = \dfrac{{{a^2}b + a{b^2} \pm \sqrt {{{\left( {{a^2}b - a{b^2}} \right)}^2}} }}{2} = }$$ $${ = \dfrac{{{a^2}b + a{b^2} \pm \left( {{a^2}b - a{b^2}} \right)}}{2};{y_1} = a{b^2},{y_2} = {a^2}b}$$ $x$-ті табу үшін мына екі квадрат теңдеуді шешу керек: $${x^2} = a{b^2}{\rm{ }}{\rm{, }}{x^2} = {a^2}b$$ $${{x_{1,2}} = \pm \sqrt {a{b^2}} = \pm b\sqrt a ,{\rm{ }}a \gt 0;}$$ $${{x_{3,4}} = \pm \sqrt {{a^2}b} = \pm a\sqrt b ,{\rm{ }}b \ge 0.}$$

№ 8.8 Теңдеуді шешіңіз: ${\dfrac{{x - 3}}{{x - 1}} + \dfrac{{x + 3}}{{x + 1}} = \dfrac{{x + 6}}{{x + 2}} + \dfrac{{x - 6}}{{x - 2}}}$

Шешуі: ММЖ: $x \ne \pm 1, x \ne \pm 2 $ $${\dfrac{{x - 3}}{{x - 1}} + \dfrac{{x + 3}}{{x + 1}} = \dfrac{{x + 6}}{{x + 2}} + \dfrac{{x - 6}}{{x - 2}} \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} - 6}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{2{x^2} - 24}}{{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow }$$ $${ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 3}}{{{x^2} - 1}} = \dfrac{{{x^2} - 12}}{{{x^2} - 4}} \Leftrightarrow \dfrac{{6{x^2}}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}} = 0}$$ $x=0.$

№ 6.9 Теңдеуді шешіңіз: $\dfrac{{5a}}{{y + a}} + \dfrac{{4a}}{{y + 2a}} + \dfrac{{3a}}{{y + 3a}} = 8$

Шешуі: ММЖ: $y \ne - a,y \ne - 2a,y \ne - 3a$ $$\dfrac{{5a}}{{y + a}} + \dfrac{{4a}}{{y + 2a}} + \dfrac{{3a}}{{y + 3a}} = 8 \Leftrightarrow \dfrac{{8{y^3} + 36a{y^2} + 38{a^2}y}}{{(y + a)(y + 2a)(y + 3a)}} = 0$$ $${\left\{ {\begin{array}{lllllllllllllll}{y\left( {4{y^2} + 18ay + 19{a^2}} \right) = 0,}\\{y \ne - a,}\\{y \ne - 2a,}\\{y \ne - 3a}\end{array} \Rightarrow } \right.}$$ ${ \Rightarrow y = 0}$ немесе ${4{y^2} + 18ay + 19{a^2} = 0.}$ $${{y_{1,2}} = \dfrac{{ - 9a \pm \sqrt {81{a^2} - 76{a^2}} }}{4} = \dfrac{{ - 9a \pm a\sqrt 5 }}{4} = \dfrac{{a( - 9 \pm \sqrt 5 )}}{4}.}$$ Жауабы: $${{y_1} = 0,{y_{2,3}} = \dfrac{{a( - 9 \pm \sqrt 5 )}}{4}}$$

№ 6.10 Теңдеуді шешіңіз: $\dfrac{1}{{{x^3} + 2}} - \dfrac{1}{{{x^3} + 3}} = \dfrac{1}{{12}}$

Шешуі: ММЖ: $x \ne - \sqrt[3]{2},x \ne - \sqrt[3]{3}$ $${\dfrac{1}{{{x^3} + 2}} - \dfrac{1}{{{x^3} + 3}} = \dfrac{1}{{12}} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^6} + 5{x^3} - 6}}{{12\left( {{x^3} + 2} \right)\left( {{x^3} + 3} \right)}} = 0 \Leftrightarrow }$$ $${ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{lllllllllllllll}{{x^6} + 5{x^3} - 6 = 0}\\{\left( {{x^3} + 2} \right)\left( {{x^3} + 3} \right) \ne 0.}\end{array}} \right.}$$ Жаңа айнымалы енгізейік: $x^3=y$. Бұдан мынадай квадрат теңдеу шығарып аламыз: $y^2+5y-6=0$, $y_1=-6, y_2=1$ $$x^3=-6, x^3=1$$ $$x_1=$$ $${x_1} = - \sqrt[3]{6},\,{x_2} = 1$$

№ 6.11 Теңдеуді шешіңіз: $$\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}} = \dfrac{{x - 4}}{{x - 3}} + \dfrac{{x + 4}}{{x + 3}} - \dfrac{{28}}{{15}}$$

Шешуі: ММЖ: $x \ne \pm 1,x \ne \pm 3$ $$\left( {\dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 1}}} \right) - \left( {\dfrac{{x - 4}}{{x - 3}} + \dfrac{{x + 4}}{{x + 3}}} \right) = - \dfrac{{28}}{{15}} \Leftrightarrow $$ $${ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} - 1}} - \dfrac{{{x^2} - 12}}{{{x^2} - 9}} = - \dfrac{{14}}{{15}} \Leftrightarrow \dfrac{{2{x^2} + 6}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 9} \right)}} = - \dfrac{{14}}{{15}} \Leftrightarrow }$$ $${ \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 3}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 9} \right)}} = - \dfrac{7}{{15}} \Leftrightarrow \dfrac{{{x^2} + 3}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 9} \right)}} + \dfrac{7}{{15}} = 0 \Leftrightarrow }$$ $$ \Leftrightarrow \dfrac{{7{x^4} - 55{x^2} + 108}}{{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 9} \right)}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{lllllllllllllll}{7{x^4} - 55{x^2} + 108 = 0}\\{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} - 9} \right) \ne 0}\end{array}} \right.$$ Жаңа айнымалы енгізейік: $x^2=y$, $$7{y^2} - 55y + 108 = 0;{y_1} = 4,{y_2} = \dfrac{{27}}{7}{\rm{.}}$$ $${x^2} = 4,{x_{1,2}} = \pm 2$$ $${x^2} = \dfrac{{27}}{7},{x_{3,4}} = \pm \sqrt {\dfrac{{27}}{7}} .$$ Жауабы: ${x_{1,2}} = \pm 2,{x_{3,4}} = \pm \sqrt {\dfrac{{27}}{7}} $

 

Жазба сіз үшін қаншалықты қажет болды?

Жұлдызшаның үстінен басыңыз!

Сіз бұл жазбаны қажетті деп таптыңыз...

Әлеуметтік желіде бөлісіңіз!

Бұл жазбаның сіз үшін қажетті болмағаны өкінішті!

Жазбамызды жақсартайық!

Жазбаны жақсартуға қандай ұсыныс айтар едіңіз?

Осы тақырыптағы посттар

Пікір қалдыру

Сіздің электронды почтаңыз жарияланбайды, Міндетті жолдарды толтырып шығыңыз.