Логарифмдік өрнектер (Сканави (А) 7.1-7.15)

()

 +/-  - Есептің жауабын көрсету/көрсетпеу.

▲/▼ - Жауап орнын жасыру/шығару

   ×    - Сұрақты алып тастау.

Логарифмдік өрнектерді ықшамдаңыз.

№ 7.1 Есептеңіз: $\sqrt {{{25}^{\frac{1}{{{{\log }_6}5}}}} + {{49}^{\frac{1}{{{{\log }_8}7}}}}} $

Шешуі: $${\sqrt {{{25}^{\frac{1}{{{{\log }_6}5}}}} + {{49}^{\frac{1}{{{{\log }_8}7}}}}} = \sqrt {{5^{2{{\log }_5}6}} + {7^{2{{\log }_7}8}}} = \sqrt {{5^{{{\log }_5}{6^2}}} + {7^{{{\log }_7}{8^2}}}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10}$$

№ 7.2 Есептеңіз: ${81^{\frac{1}{{{{\log }_5}3}}}} + {27^{{{\log }_9}36}} + {3^{\frac{4}{{{{\log }_7}9}}}}$

Шешуі: $${{{81}^{\frac{1}{{{{\log }_5}3}}}} + {{27}^{{{\log }_9}36}} + {3^{\frac{4}{{{{\log }_7}9}}}} = {3^{4{{\log }_3}5}} + {3^{\frac{3}{2}{{\log }_3}36}} + {3^{\frac{4}{2}{{\log }_3}7}} = {5^4} + {{36}^{\frac{3}{2}}} + 49 = 625 + 216 + 49 = 890}$$

№ 7.3 Есептеңіз: $ - {\log _2}{\log _2}\sqrt {\sqrt[4]{2}} $

Шешуі: $$ - {\log _2}{\log _2}\sqrt {\sqrt[4]{2}} = - {\log _2}{\log _2}{2^{\frac{1}{8}}} = - {\log _2}\frac{1}{8}{\log _2}2 = - {\log _2}{2^{ - 3}} = 3.$$

№ 7.4 Есептеңіз: $ - {\log _3}{\log _3}\sqrt[3]{{\sqrt[3]{3}}}$

Шешуі: $$ - {\log _3}{\log _3}\sqrt[3]{{\sqrt[3]{3}}} = - {\log _3}{\log _3}{3^{\frac{1}{9}}} = - {\log _3}\frac{1}{9}{\log _3}3 = - {\log _3}{3^{ - 2}} = 2$$

№ 7.5 Есептеңіз: ${\dfrac{{\left( {{{27}^{\frac{1}{{{{\log }_2}3}}}} + {5^{{{\log }_{25}}49}}} \right)\left( {{{81}^{\frac{1}{{{{\log }_4}9}}}} - {8^{{{\log }_4}9}}} \right)}}{{3 + {5^{\frac{1}{{{{\log }_{16}}25}}}} \cdot {5^{{{\log }_5}3}}}}}$

Шешуі: $$ = \frac{{\left( {{{\left( {{3^3}} \right)}^{{{\log }_3}2}} + {5^{{{\log }_5}{{27}^2}}}} \right)\left( {{{\left( {{9^2}} \right)}^{{{\log }_9}4}} - {{\left( {{2^3}} \right)}^{{{\log }_2}{{23}^2}}}} \right)}}{{3 + {5^{{{\log }_5}{{24}^2}}} \cdot 3}} = $$ $$ = \frac{{\left( {{3^{{{\log }_3}{2^3}}} + {5^{{{\log }_5}7}}} \right)\left( {{9^{{{\log }_9}{4^2}}} - {2^{{{\log }_2}{3^3}}}} \right)}}{{3 + {5^{{{\log }_5}4}} \cdot 3}} = \frac{{\left( {{2^3} + 7} \right)\left( {{4^2} - {3^3}} \right)}}{{3 + 4 \cdot 3}} = $$ $$ = \frac{{15 \cdot ( - 11)}}{{15}} = - 11.$$

№ 7.6 Есептеңіз: ${36^{{{\log }_6}5}} + {10^{1 - \lg 2}} - {3^{{{\log }_9}36}}$

Шешуі: $${36^{{{\log }_6}5}} + {10^{1 - \lg 2}} - {3^{{{\log }_9}36}} = {6^{2{{\log }_6}5}} + \frac{{10}}{{{{10}^{\lg 2}}}} - {3^{{{\log }_3}{{26}^2}}} = $$ $$ = {6^{{{\log }_6}{5^2}}} + \frac{{10}}{2} - {3^{{{\log }_3}6}} = {5^2} + 5 - 6 = 24$$

№ 7.7 Есептеңіз: $\left( {{{81}^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}{{\log }_9}4}} + {{25}^{{{\log }_{125}}8}}} \right) \cdot {49^{{{\log }_7}2}}$

Шешуі: $${\left( {{{81}^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}{{\log }_9}4}} + {{25}^{{{\log }_{125}}8}}} \right) \cdot {{49}^{{{\log }_7}2}} = \left( {\frac{{{{81}^{\frac{1}{4}}}}}{{{{\left( {{9^2}} \right)}^{\frac{1}{2}}}{{\log }_9}4}} + {5^{2{{\log }_5}{{32}^3}}}} \right) \cdot {7^{2{{\log }_7}2}} = }$$ $${ = \left( {\frac{3}{4} + 4} \right) \cdot 4 = 19.}$$

№ 7.8 Есептеңіз: ${\dfrac{{{{81}^{\frac{1}{{{{\log }_5}9}}}} + {3^{\frac{3}{{{{\log }_{\sqrt 6 }}3}}}}}}{{409}} \cdot \left( {{{(\sqrt 7 )}^{\frac{2}{{{{\log }_{25}}7}}}} - {{125}^{{{\log }_{25}}6}}} \right)}$

Шешуі: $${ = \frac{{{9^{2{{\log }_9}5}} + {3^{3{{\log }_3}\sqrt 6 }}}}{{409}} \cdot \left( {{{\left( {{7^{\frac{1}{2}}}} \right)}^{2{{\log }_7}25}} - {5^{3{{\log }_5}26}}} \right) = \frac{{{9^{{{\log }_9}{5^2}}} + {3^{{{\log }_3}{{(\sqrt 6 )}^3}}}}}{{409}} \times }$$ $${ \times \left( {{7^{{{\log }_7}25}} - {5^{{{\log }_5}{6^{\frac{3}{2}}}}}} \right) = \frac{{\left( {25 + {6^{\frac{3}{2}}}} \right)\left( {25 - {6^{\frac{3}{2}}}} \right)}}{{409}} = \frac{{625 - 216}}{{409}} = 1}$$

№ 7.9 Есептеңіз: ${\left( {{N^{\frac{1}{{{{\log }_2}N}}}} \cdot {N^{\frac{1}{{{{\log }_4}N}}}} \cdot {N^{\frac{1}{{{{\log }_8}N}}}} \cdots {N^{\frac{1}{{{{\log }_{512}}N}}}}} \right)^{\frac{1}{{15}}}}$

Шешуі: $${ = {{\left( {{N^{{{\log }_N}2}} \cdot {N^{{{\log }_N}4}} \cdot {N^{{{\log }_N}8}} \ldots {N^{{{\log }_N}512}}} \right)}^{\frac{1}{{15}}}} = }$$ $${ = {{(2 \cdot 4 \cdot 8 \cdots \cdot 512)}^{\frac{1}{{15}}}} = {{\left( {{2^1} \cdot {2^2} \cdot {2^3} \cdots {2^9}} \right)}^{\frac{1}{{15}}}} = {{\left( {{2^{1 + 2 + 3 + \ldots + 9}}} \right)}^{\frac{1}{{15}}}}}$$ $$S_n=1+2+3+…+9=45,$$ $${\left( {{2^{45}}} \right)^{\frac{1}{{15}}}} = {2^3} = 8$$

№ 7.10 Есептеңіз: ${\left( {{2^{{{\log }_{\sqrt[4]{2}}}a}} - {3^{{{\log }_{27}}{{\left( {{a^2} + 1} \right)}^3}}} - 2a} \right):\left( {{7^{4{{\log }_{49}}a}} - {5^{0,5{{\log }_{\sqrt 5 }}a}} - 1} \right) = }$

Шешуі: $${ = \left( {{2^{{{\log }_2}{a^4}}} - {3^{{{\log }_3}\left( {{a^2} + 1} \right)}} - 2a} \right):\left( {{7^{{{\log }_7}{a^2}}} - {5^{{{\log }_5}a}} - 1} \right) = }$$ $${ = \left( {{a^4} - \left( {{a^2} + 1} \right) - 2a} \right):\left( {{a^2} - a - 1} \right) = \frac{{{a^4} - {a^2} - 2a - 1}}{{{a^2} - a - 1}} = }$$ $${ = \frac{{\left( {{a^2} - a - 1} \right.}}{{{a^2} - a - 1}} \cdot \left( {{a^2} + a + 1} \right) = {a^2} + a + 1}$$

№ 7.11 Есептеңіз: $\dfrac{{{{\log }_a}\sqrt {{a^2} - 1} \cdot \log _{1/a}^2\sqrt {{a^2} - 1} }}{{{{\log }_{{a^2}}}\left( {{a^2} - 1} \right) \cdot {{\log }_{\sqrt[3]{a}}}\sqrt[6]{{{a^2} - 1}}}}$

Шешуі: $$ = \frac{{\frac{1}{2}{{\log }_a}\left( {{a^2} - 1} \right) \cdot \frac{1}{4}\log _a^2\left( {{a^2} - 1} \right)}}{{\frac{1}{2}{{\log }_a}\left( {{a^2} - 1} \right) \cdot \frac{1}{2}{{\log }_a}\left( {{a^2} - 1} \right)}} = $$ $$ = \frac{1}{2}{\log _a}\left( {{a^2} - 1} \right) = {\log _a}\sqrt {{a^2} - 1} $$

№ 7.12 Есептеңіз: ${{a^{\frac{2}{{{{\log }_h}a}} + 1}} \cdot b - 2{a^{{{\log }_a}b + 1}} \cdot {b^{{{\log }_b}a + 1}} + a{b^{\frac{2}{{{{\log }_a}b}} + 1}}}$

Шешуі: $$ = a \cdot {a^{2{{\log }_a}b}} \cdot b - 2a \cdot {a^{{{\log }_a}b}} \cdot b \cdot {b^{{{\log }_b}a}} + a \cdot b \cdot {b^{2{{\log }_h}a}} = $$ $${ = a \cdot {a^{{{\log }_a}{b^2}}} \cdot b - 2a \cdot b \cdot b \cdot a + a \cdot b \cdot {b^{{{\log }_h}{a^2}}} = a{b^2}b - 2{a^2}{b^2} + ab{a^2} = }$$ $${ = a{b^3} - 2{a^2}{b^2} + ab{a^2} = a{b^3} - 2{a^2}{b^2} + {a^3}b = }$$ $${ = ab\left( {{b^2} - 2ab + {a^2}} \right) = ab{{(b - a)}^2} = ab{{(a - b)}^2}}$$

№ 7.13 Есептеңіз: ${\dfrac{{\left( {{{25}^{\frac{1}{{2{{\log }_9}25}}}} + 2{{\log }_2}{{\log }_2}{{\log }_2}{a^{2{{\log }_a}4}}} \right) \cdot {4^{\frac{2}{{{{\log }_3}4}}}} - {a^2}}}{{1 - a}}}$

Шешуі: $${ = \frac{{\left( {\left( {{{25}^{{{\log }_{25}}49}}\frac{1}{2} + 2{{\log }_2}{{\log }_2}4} \right) \cdot {{\left( {{4^{2{{\log }_4}3}}} \right)}^{ - 1}} - {a^2}} \right.}}{{1 - a}} = }$$ $${ = \frac{{\left( {(49)\frac{1}{2} + 2{{\log }_2}2} \right) \cdot {9^{ - 1}} - {a^2}}}{{1 - a}} = \frac{{(7 + 2) \cdot \frac{1}{9} - {a^2}}}{{1 - a}} = \frac{{1 - {a^2}}}{{1 - a}} = 1 + a.}$$

№ 7.14 Есептеңіз: ${\left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a + 2} \right)\left( {{{\log }_a}b - {{\log }_{ab}}b} \right){{\log }_b}a - 1}$

Шешуі: $$ = \left( {{{\log }_a}b + \frac{1}{{{{\log }_a}b}} + 2} \right) \times \left( {{{\log }_a}b - \frac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}ab}}} \right)\frac{1}{{{{\log }_a}b}} - 1$$ $${ = \frac{{\log _a^2b + 2{{\log }_a}b + 1}}{{{{\log }_a}b}} \times \left( {{{\log }_a}b - \frac{{{{\log }_a}b}}{{{{\log }_a}a + {{\log }_a}b}}} \right) \cdot \frac{1}{{{{\log }_a}b}} - 1 = }$$ $${ = \frac{{{{\left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}^2}}}{{{{\log }_a}b}} \cdot \left( {{{\log }_a}b - \frac{{{{\log }_a}b}}{{1 + {{\log }_a}b}}} \right)\frac{1}{{{{\log }_a}b}} - 1 = }$$ $${ = \frac{{{{\left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}^2}}}{{{{\log }_a}b}}{{\log }_a}b\left( {1 - \frac{1}{{1 + {{\log }_a}b}}} \right)\frac{1}{{{{\log }_a}b}} - 1 = }$$ $${ = \frac{{{{\left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}^2}\left( {1 + {{\log }_a}b - 1} \right)}}{{\left( {1 + {{\log }_a}b} \right){{\log }_a}b}} - 1 = {{\log }_a}b + 1 - 1 = {{\log }_a}b}$$

№ 7.15 Есептеңіз: ${\dfrac{{1 - \log _a^3b}}{{\left( {{{\log }_a}b + {{\log }_b}a + 1} \right) \cdot {{\log }_a}\frac{a}{b}}}}$

Шешуі: $$ = \frac{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right)\left( {1 + {{\log }_a}b + \log _a^2b} \right)}}{{\left( {{{\log }_a}b + \frac{1}{{{{\log }_a}b}} + 1} \right)\left( {{{\log }_a}a - {{\log }_a}b} \right)}} = $$ $${ = \frac{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right)\left( {1 + {{\log }_a}b + \log _a^2b} \right){{\log }_a}b}}{{\left( {\log _a^2b + 1 + {{\log }_a}b} \right)\left( {1 - {{\log }_a}b} \right)}} = {{\log }_a}b.}$$

 

Жазба сіз үшін қаншалықты қажет болды?

Жұлдызшаның үстінен басыңыз!

Сіз бұл жазбаны қажетті деп таптыңыз...

Әлеуметтік желіде бөлісіңіз!

Бұл жазбаның сіз үшін қажетті болмағаны өкінішті!

Жазбамызды жақсартайық!

Жазбаны жақсартуға қандай ұсыныс айтар едіңіз?

Пікір қалдыру

Сіздің электронды почтаңыз жарияланбайды, Міндетті жолдарды толтырып шығыңыз.