Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B)

()

 +/-  - Есептің жауабын көрсету/көрсетпеу.

▲/▼ - Жауап орнын жасыру/шығару

   ×    - Сұрақты алып тастау.

Қарапайым тригонометриялық ді шешіңіз.

№ 13 Теңсіздікті шешіңіз: $\tg\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge 1$

Шешуі: Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) $$\arctg 1 + \pi n \le x + \dfrac{\pi }{4} \lt \dfrac{\pi }{2} + \pi n;\quad n \in Z$$ $${\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{\pi }{4} + \pi n \le x \lt \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{4} + \pi n;\quad n \in Z}$$ $${\pi n \le x \lt \dfrac{\pi }{4} + \pi n;\quad n \in Z}$$ Жауабы: ${\left[ {\pi n;\,\,\dfrac{\pi }{4} + \pi n} \right)}$

№ 14 Теңсіздікті шешіңіз: ${2\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \le \sqrt 3 }$

Шешуі: $${\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \le \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}$$ Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) $${ - \pi - \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n \le x - \dfrac{\pi }{3} \le \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${ - \pi - \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n \le x \le \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{\pi }{3} + 2\pi ;\quad n \in Z}$$ $${ - \pi + 2\pi n \le x \le \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi ;\quad n \in Z}$$ Жауабы: ${\left[ { - \pi + 2\pi n;\dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi n} \right]}$

№ 15 Теңсіздікті шешіңіз: ${\cos ^2}x - {\sin ^2}x \ge \dfrac{1}{2}$

Шешуі: $$\cos 2x \ge \dfrac{1}{2}$$ Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) $${ - \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n \le 2x \le \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${ - \dfrac{\pi }{6} + \pi n \le x \le \dfrac{\pi }{6} + \pi n;\quad n \in Z}$$ Жауабы: ${\left[ { - \dfrac{\pi }{6} + \pi n;\,\,\dfrac{\pi }{6} + \pi n} \right]}$

№ 16 Теңсіздікті шешіңіз: $2\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \ge - 1$

Шешуі: $$\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \ge - \dfrac{1}{2}$$ Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) $${ - \dfrac{\pi }{6} + 2\pi n \le 2x - \dfrac{\pi }{3} \le \pi + \dfrac{\pi }{6} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${ - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n \le 2x \le \pi + \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{\pi }{6} + 2\pi n \le 2x \le \dfrac{{3\pi }}{2} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{\pi }{{12}} + \pi n \le x \le \dfrac{{3\pi }}{4} + \pi n;\quad n \in Z}$$

№ 17 Теңсіздікті шешіңіз: ${{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x \le - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}$

Шешуі: $${\cos 2x \le - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}$$ Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B)$${\pi - \dfrac{\pi }{6} + 2\pi n \le 2x \le \pi + \dfrac{\pi }{6} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi n \le 2x \le \dfrac{{7\pi }}{6} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi n \le x \le \dfrac{{7\pi }}{{12}} + \pi n;\quad n \in Z}$$ Жауабы: ${\left[ {\dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi n;\dfrac{{7\pi }}{{12}} + \pi n} \right]}$

№ 18 Теңсіздікті шешіңіз: $\sin \left( {2x - 1} \right) \gt - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$

Шешуі: Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B)$${ - \dfrac{\pi }{4} + 2\pi n \lt 2x - 1 \lt \pi + \dfrac{\pi }{4} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${ - \dfrac{\pi }{4} + 1 + 2\pi n \lt 2x \lt \dfrac{{5\pi }}{4} + 1 + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${ - \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{2} + \pi n \lt x \lt \dfrac{{5\pi }}{8} + \dfrac{1}{2} + \pi n;\quad n \in Z}$$ Жауабы: $\left( { - \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{2} + \pi n;\dfrac{{5\pi }}{8} + \dfrac{1}{2} + \pi n} \right)$

№ 19 Теңсіздікті шешіңіз: $0 \lt \cos x \le \dfrac{1}{2}$

Шешуі: $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \gt 0}\\{\cos x \le \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.$$ Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B)$${ - \dfrac{\pi }{2} + 2\pi n \lt x \le - \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{\pi }{3} + 2\pi n \le x \lt \dfrac{\pi }{2} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ Жауабы: $\left( { - \dfrac{\pi }{2} + 2\pi n;\,\, - \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n} \right] \cup \left[ { - \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n;\,\,\dfrac{\pi }{2} + 2\pi n} \right)$

№ 20 Анықталу облысын табыңыз: $y = \sqrt {{\mathop{\rm ctg}\nolimits} x - 1} $

Шешуі: $$\ctg x - 1 \ge 0$$ $$\ctg x \ge 1$$Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) $$\pi n \lt x \le \dfrac{\pi }{4} + \pi n;\quad n \in Z$$ Жауабы: $\left( {\pi n;\dfrac{\pi }{4} + \pi n} \right]$

№ 21 Жүйені шешіңіз және $\left[ {0;4\pi } \right]$ аралықтағы шешімдерінің қосындысын табыңыз: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x = - \dfrac{1}{2}}\\{\sin x \gt 0}\end{array}} \right.$

Шешуі: $$2\pi n \lt x \lt \pi + 2\pi n;\quad n \in Z$$ Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) $${\cos x = - \dfrac{1}{2}}$$ $${x = \pm \arccos \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${x = \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${x = \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${0 \le \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi n \le 4\pi }$$ $${ - \dfrac{{2\pi }}{3} \le 2\pi n \le 4\pi - \dfrac{{2\pi }}{3}}$$ $${ - \dfrac{{2\pi }}{3} \le 2\pi n \le \dfrac{{10\pi }}{3}}$$ $${ - \dfrac{2}{3} \le 2n \le \dfrac{{10}}{3}}$$ $${ - \dfrac{1}{3} \le n \le \dfrac{5}{3}}$$ $${n = 0;\,\,1}$$ $${n = 0;\quad x = \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi \cdot 0 = \dfrac{{2\pi }}{3}}$$ $${n = 1;\quad x = \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi \cdot 1 = \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi = \dfrac{{8\pi }}{3}}$$ $${\dfrac{{2\pi }}{3} + \dfrac{{8\pi }}{3} = \dfrac{{10\pi }}{3}}$$ Жауабы: $\dfrac{10\pi}{3}$

№ 22 Теңсіздікті шешіңіз: $\tg \dfrac{x}{4} \lt 0$

Шешуі: Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) $$ - \dfrac{\pi }{2} + \pi n \lt \dfrac{x}{4} \lt \pi n;\quad n \in Z$$ $$ - 2\pi + 4\pi n \lt x \lt 4\pi n;\quad n \in Z$$ Жауабы: $( - 2\pi + 4\pi n;\,\,4\pi n)$

№ 23 Теңсіздікті шешіңіз: ${\left| \ctg x \right| \lt \sqrt 3 }$

Шешуі: \[{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\ctg x \lt \sqrt 3 } \\ {\ctg x \gt - \sqrt 3 } \end{array}} \right.}\]Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) $${\dfrac{\pi }{6} + \pi n \lt x \lt \pi - \dfrac{\pi }{6} + \pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{\pi }{6} + \pi n \lt x \lt \dfrac{{5\pi }}{6} + \pi n;\quad n \in Z}$$ $${\left( {\dfrac{\pi }{6} + \pi n;\,\,\dfrac{{5\pi }}{6} + \pi n} \right)}$$

№ 24 Теңсіздікті шешіңіз: ${\tg 2x \ge 1}$

Шешуі: Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) $${\dfrac{\pi }{4} + \pi n \le 2x \lt \dfrac{\pi }{2} + \pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi n}}{2} \le x \lt \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi n}}{2};\quad n \in Z}$$ $${\left[ {\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi n}}{2};\,\,\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi n}}{2}} \right)}$$

№ 25 Теңсіздікті шешіңіз: $\left| {\sin x} \right| \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Шешуі: $$\left[ \begin{array}{l}\sin x \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin x \ge - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$$ Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) $$ - \dfrac{\pi }{4} + \pi n \le x \le \dfrac{\pi }{4} + \pi n;\quad n \in Z$$ Жауабы: $\left[ { - \dfrac{\pi }{4} + \pi n;\,\,\dfrac{\pi }{4} + \pi n} \right]$

№ 26 Теңсіздікті шешіңіз: ${\log _{\frac{1}{2}}}\sin x \gt 1$

Шешуі: Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B)$$\left\{ \begin{array}{l} \sin x \lt {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^1}\\ \sin x \gt 0,\quad \text{(Анықталу облысы)} \end{array} \right.$$ ${2\pi n \lt x \lt \dfrac{\pi }{6} + 2\pi n;\quad n \in Z} $ және $ \pi - \dfrac{\pi }{6} + 2\pi n \lt x \lt \pi + 2\pi n;\quad n \in Z$
Жауабы: ${\left( {2\pi n;\,\,\dfrac{\pi }{6} + 2\pi n} \right) \cup \left( {\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi n;\,\,\pi + 2\pi n} \right)}$

№ 27 Теңсіздікті шешіңіз: $\ctg \left( x + \dfrac{\pi }{3} \right) \lt - 1$

Шешуі: Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) $${\pi - \dfrac{\pi }{4} + \pi n \lt x + \dfrac{\pi }{3} \lt \pi + \pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{{3\pi }}{4} - \dfrac{\pi }{3} + \pi n \lt x \lt \pi - \dfrac{\pi }{3} + \pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi n \lt x \lt \dfrac{{2\pi }}{3} + \pi n;\quad n \in Z}$$ Жауабы: ${\left( {\dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi n;\,\,\dfrac{{2\pi }}{3} + \pi n} \right)}$

№ 28 Теңсіздікті шешіңіз: ${|\tg x| \ge \sqrt 3 }$

Шешуі: $$\left[ \begin{array}{l}\tg x \ge \sqrt 3 \\ \tg x \le - \sqrt 3 \end{array} \right.$$Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) $$ - \dfrac{\pi }{2} + \pi n \lt x \le - \dfrac{\pi }{3} + \pi n;\quad n \in Z{\rm{ }}$$ $${\rm{ }}\dfrac{\pi }{3} + \pi n \le x \lt \dfrac{\pi }{2} + \pi n;\quad n \in Z$$ Жауабы: ${\left( { - \dfrac{\pi }{2} + \pi n; - \dfrac{\pi }{3} + \pi n} \right] \cup \left[ {\dfrac{\pi }{3} + \pi n;\dfrac{\pi }{2} + \pi n} \right)}$

№ 29 Теңсіздікті шешіңіз: ${\tg^2 x \ge \dfrac{1}{3}}$

Шешуі: $${\tg^2 x -\dfrac{1}{3} \ge 0}$$ $$\left(\tg x-\dfrac{\sqrt 3}{3}\right)\left(\tg x+\dfrac{\sqrt 3}{3}\right) \ge 0$$ $\tg x=t$ жаңа айнымалысын енгізейік: $$\left( t-\dfrac{\sqrt 3}{3}\right)\left( t-\dfrac{\sqrt 3}{3}\right) \ge 0$$Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) $$\left[ \begin{array}{l}\tg x \le - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\\ \tg x \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.$$ Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) Жауабы: $$\left( { - \dfrac{\pi }{2} + \pi n;\,\, - \dfrac{\pi }{6} + \pi n} \right] \cup \left[ {\dfrac{\pi }{6} + \pi n;\,\,\dfrac{\pi }{2} + \pi n} \right)$$

№ 30 Теңсіздікті шешіңіз: $\sin \left( {\dfrac{{3x}}{2} + \dfrac{\pi }{{12}}} \right) \lt \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$

Шешуі: Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) $${ - \pi - \dfrac{\pi }{4} + 2\pi n \lt \dfrac{{3x}}{2} + \dfrac{\pi }{{12}} \lt \dfrac{\pi }{4} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${ - \dfrac{{5\pi }}{4} - \dfrac{\pi }{{12}} + 2\pi n \lt \dfrac{{3x}}{2} \lt \dfrac{\pi }{4} - \dfrac{\pi }{{12}} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${ - \dfrac{{16\pi }}{{12}} + 2\pi n \lt \dfrac{{3x}}{2} \lt \dfrac{{2\pi }}{{12}} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${ - \dfrac{{32\pi }}{{36}} + \dfrac{{4\pi n}}{3} \lt x \lt \dfrac{{4\pi }}{{36}} + \dfrac{{4\pi n}}{3};\quad n \in Z}$$ $${ - \dfrac{{8\pi }}{9} + \dfrac{{4\pi n}}{3} \lt x \lt \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{4\pi n}}{3};\quad n \in Z}$$ Жауабы: ${\left( { - \dfrac{{8\pi }}{9} + \dfrac{{4\pi n}}{3};\,\,\dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{4\pi n}}{3}} \right)}$

№ 31 Теңсіздікті шешіңіз: $\left| {\cos x} \right| \ge \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Шешуі: $$\left[ \begin{array}{l}\cos x \ge \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\\cos x \le - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$$ Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) $${ - \dfrac{\pi }{4} + \pi n \le x \le \dfrac{\pi }{4} + \pi n;\quad n \in Z}$$ $${\left[ { - \dfrac{\pi }{4} + \pi n;\,\,\dfrac{\pi }{4} + \pi n} \right]}$$

№ 32 Теңсіздікті шешіңіз: $\left| {\sin x} \right| \le \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

Шешуі: $$\left\{ \begin{array}{l}\sin x \le \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\\sin x \ge - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.$$ Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B) $${ - \dfrac{\pi }{3} + \pi n \le x \le \dfrac{\pi }{3} + \pi n;\quad n \in R}$$ Жауабы: ${\left[ { - \dfrac{\pi }{3} + \pi n;\,\,\dfrac{\pi }{3} + \pi n} \right]}$

Есептер QAZMATH.NET сайтынан алынды.

Есеп шешімдерінің авторы Ережепова Наргиза Уайисовна

 

Жазба сіз үшін қаншалықты қажет болды?

Жұлдызшаның үстінен басыңыз!

Сіз бұл жазбаны қажетті деп таптыңыз...

Әлеуметтік желіде бөлісіңіз!

Бұл жазбаның сіз үшін қажетті болмағаны өкінішті!

Жазбамызды жақсартайық!

Жазбаны жақсартуға қандай ұсыныс айтар едіңіз?

Осы тақырыптағы посттар

1 пікір
  1. Аноним
    Аноним
    23 марта, 2023 сағ 12:37 пп

    керемет!!!

Пікір қалдыру

Сіздің электронды почтаңыз жарияланбайды, Міндетті жолдарды толтырып шығыңыз.