Тригонометриялық теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 4.3.1B)

()

 +/-  - Есептің жауабын көрсету/көрсетпеу.

▲/▼ - Жауап орнын жасыру/шығару

   ×    - Сұрақты алып тастау.

Қарапайым тригонометриялық теңсіздіктерді шешіңіз.

№ 13 Теңсіздікті шешіңіз: $\tg\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge 1$

Шешуі: $$\arctg 1 + \pi n \le x + \dfrac{\pi }{4} \lt \dfrac{\pi }{2} + \pi n;\quad n \in Z$$ $${\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{\pi }{4} + \pi n \le x \lt \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{\pi }{4} + \pi n;\quad n \in Z}$$ $${\pi n \le x \lt \dfrac{\pi }{4} + \pi n;\quad n \in Z}$$ Жауабы: ${\left[ {\pi n;\,\,\dfrac{\pi }{4} + \pi n} \right)}$

№ 14 Теңсіздікті шешіңіз: ${2\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \le \sqrt 3 }$

Шешуі: $${\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \le \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}$$ $${ - \pi - \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n \le x - \dfrac{\pi }{3} \le \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${ - \pi - \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n \le x \le \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{\pi }{3} + 2\pi ;\quad n \in Z}$$ $${ - \pi + 2\pi n \le x \le \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi ;\quad n \in Z}$$ Жауабы: ${\left[ { - \pi + 2\pi n;\dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi n} \right]}$

№ 15 Теңсіздікті шешіңіз: ${\cos ^2}x - {\sin ^2}x \ge \dfrac{1}{2}$

Шешуі: $$\cos 2x \ge \dfrac{1}{2}$$ $${ - \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n \le 2x \le \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${ - \dfrac{\pi }{6} + \pi n \le x \le \dfrac{\pi }{6} + \pi n;\quad n \in Z}$$ Жауабы: ${\left[ { - \dfrac{\pi }{6} + \pi n;\,\,\dfrac{\pi }{6} + \pi n} \right]}$

№ 16 Теңсіздікті шешіңіз: $2\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \ge - 1$

Шешуі: $$\sin \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right) \ge - \dfrac{1}{2}$$ $${ - \dfrac{\pi }{6} + 2\pi n \le 2x - \dfrac{\pi }{3} \le \pi + \dfrac{\pi }{6} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${ - \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n \le 2x \le \pi + \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{\pi }{6} + 2\pi n \le 2x \le \dfrac{{3\pi }}{2} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{\pi }{{12}} + \pi n \le x \le \dfrac{{3\pi }}{4} + \pi n;\quad n \in Z}$$

№ 17 Теңсіздікті шешіңіз: ${{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x \le - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}$

Шешуі: $${\cos 2x \le - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}$$ $${\pi - \dfrac{\pi }{6} + 2\pi n \le 2x \le \pi + \dfrac{\pi }{6} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi n \le 2x \le \dfrac{{7\pi }}{6} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi n \le x \le \dfrac{{7\pi }}{{12}} + \pi n;\quad n \in Z}$$ Жауабы: ${\left[ {\dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi n;\dfrac{{7\pi }}{{12}} + \pi n} \right]}$

№ 18 Теңсіздікті шешіңіз: $\sin \left( {2x - 1} \right) \gt - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$

Шешуі: $${ - \dfrac{\pi }{4} + 2\pi n \lt 2x - 1 \lt \pi + \dfrac{\pi }{4} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${ - \dfrac{\pi }{4} + 1 + 2\pi n \lt 2x \lt \dfrac{{5\pi }}{4} + 1 + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${ - \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{2} + \pi n \lt x \lt \dfrac{{5\pi }}{8} + \dfrac{1}{2} + \pi n;\quad n \in Z}$$ Жауабы: $\left( { - \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{2} + \pi n;\dfrac{{5\pi }}{8} + \dfrac{1}{2} + \pi n} \right)$

№ 19 Теңсіздікті шешіңіз: $0 \lt \cos x \le \dfrac{1}{2}$

Шешуі: $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x \gt 0}\\{\cos x \le \dfrac{1}{2}}\end{array}} \right.$$ $${ - \dfrac{\pi }{2} + 2\pi n \lt x \le - \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{\pi }{3} + 2\pi n \le x \lt \dfrac{\pi }{2} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ Жауабы: $\left( { - \dfrac{\pi }{2} + 2\pi n;\,\, - \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n} \right] \cup \left[ { - \dfrac{\pi }{3} + 2\pi n;\,\,\dfrac{\pi }{2} + 2\pi n} \right)$

№ 20 Анықталу облысын табыңыз: $y = \sqrt {{\mathop{\rm ctg}\nolimits} x - 1} $

Шешуі: $$\ctg x - 1 \ge 0$$ $$\ctg x \ge 1$$ $$\pi n \lt x \le \dfrac{\pi }{4} + \pi n;\quad n \in Z$$ Жауабы: $\left( {\pi n;\dfrac{\pi }{4} + \pi n} \right]$

№ 21 Жүйені шешіңіз және $\left[ {0;4\pi } \right]$ аралықтағы шешімдерінің қосындысын табыңыз: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\cos x = - \dfrac{1}{2}}\\{\sin x \gt 0}\end{array}} \right.$

Шешуі: $$2\pi n \lt x \lt \pi + 2\pi n;\quad n \in Z$$ $${\cos x = - \dfrac{1}{2}}$$ $${x = \pm \arccos \left( { - \dfrac{1}{2}} \right) + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${x = \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${x = \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${0 \le \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi n \le 4\pi }$$ $${ - \dfrac{{2\pi }}{3} \le 2\pi n \le 4\pi - \dfrac{{2\pi }}{3}}$$ $${ - \dfrac{{2\pi }}{3} \le 2\pi n \le \dfrac{{10\pi }}{3}}$$ $${ - \dfrac{2}{3} \le 2n \le \dfrac{{10}}{3}}$$ $${ - \dfrac{1}{3} \le n \le \dfrac{5}{3}}$$ $${n = 0;\,\,1}$$ $${n = 0;\quad x = \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi \cdot 0 = \dfrac{{2\pi }}{3}}$$ $${n = 1;\quad x = \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi \cdot 1 = \dfrac{{2\pi }}{3} + 2\pi = \dfrac{{8\pi }}{3}}$$ $${\dfrac{{2\pi }}{3} + \dfrac{{8\pi }}{3} = \dfrac{{10\pi }}{3}}$$ Жауабы: $\dfrac{10\pi}{3}$

№ 22 Теңсіздікті шешіңіз: $\tg \dfrac{x}{4} \lt 0$

Шешуі: $$ - \dfrac{\pi }{2} + \pi n \lt \dfrac{x}{4} \lt \pi n;\quad n \in Z$$ $$ - 2\pi + 4\pi n \lt x \lt 4\pi n;\quad n \in Z$$ Жауабы: $( - 2\pi + 4\pi n;\,\,4\pi n)$

№ 23 Теңсіздікті шешіңіз: ${\left| \ctg x \right| \lt \sqrt 3 }$

Шешуі: \[{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\ctg x \lt \sqrt 3 } \\ {\ctg x \gt - \sqrt 3 } \end{array}} \right.}\] $${\dfrac{\pi }{6} + \pi n \lt x \lt \pi - \dfrac{\pi }{6} + \pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{\pi }{6} + \pi n \lt x \lt \dfrac{{5\pi }}{6} + \pi n;\quad n \in Z}$$ $${\left( {\dfrac{\pi }{6} + \pi n;\,\,\dfrac{{5\pi }}{6} + \pi n} \right)}$$

№ 24 Теңсіздікті шешіңіз: ${\tg 2x \ge 1}$

Шешуі: $${\dfrac{\pi }{4} + \pi n \le 2x \lt \dfrac{\pi }{2} + \pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi n}}{2} \le x \lt \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi n}}{2};\quad n \in Z}$$ $${\left[ {\dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{\pi n}}{2};\,\,\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{\pi n}}{2}} \right)}$$

№ 25 Теңсіздікті шешіңіз: $\left| {\sin x} \right| \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Шешуі: $$\left[ \begin{array}{l}\sin x \le \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\\sin x \ge - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$$ $$ - \dfrac{\pi }{4} + \pi n \le x \le \dfrac{\pi }{4} + \pi n;\quad n \in Z$$ Жауабы: $\left[ { - \dfrac{\pi }{4} + \pi n;\,\,\dfrac{\pi }{4} + \pi n} \right]$

№ 26 Теңсіздікті шешіңіз: ${\log _{\frac{1}{2}}}\sin x \gt 1$

Шешуі: $$\left\{ \begin{array}{l} \sin x \lt {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^1}\\ \sin x \gt 0,\quad \text{(Анықталу облысы)} \end{array} \right.$$ ${2\pi n \lt x \lt \dfrac{\pi }{6} + 2\pi n;\quad n \in Z} $ және $ \pi - \dfrac{\pi }{6} + 2\pi n \lt x \lt \pi + 2\pi n;\quad n \in Z$
Жауабы: ${\left( {2\pi n;\,\,\dfrac{\pi }{6} + 2\pi n} \right) \cup \left( {\dfrac{{5\pi }}{6} + 2\pi n;\,\,\pi + 2\pi n} \right)}$

№ 27 Теңсіздікті шешіңіз: $\ctg \left( x + \dfrac{\pi }{3} \right) \lt - 1$

Шешуі: $${\pi - \dfrac{\pi }{4} + \pi n \lt x + \dfrac{\pi }{3} \lt \pi + \pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{{3\pi }}{4} - \dfrac{\pi }{3} + \pi n \lt x \lt \pi - \dfrac{\pi }{3} + \pi n;\quad n \in Z}$$ $${\dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi n \lt x \lt \dfrac{{2\pi }}{3} + \pi n;\quad n \in Z}$$ Жауабы: ${\left( {\dfrac{{5\pi }}{{12}} + \pi n;\,\,\dfrac{{2\pi }}{3} + \pi n} \right)}$

№ 28 Теңсіздікті шешіңіз: ${|\tg x| \ge \sqrt 3 }$

Шешуі: $$\left[ \begin{array}{l}\tg x \ge \sqrt 3 \\ \tg x \le - \sqrt 3 \end{array} \right.$$ $$ - \dfrac{\pi }{2} + \pi n \lt x \le - \dfrac{\pi }{3} + \pi n;\quad n \in Z{\rm{ }}$$ $${\rm{ }}\dfrac{\pi }{3} + \pi n \le x \lt \dfrac{\pi }{2} + \pi n;\quad n \in Z$$ Жауабы: ${\left( { - \dfrac{\pi }{2} + \pi n; - \dfrac{\pi }{3} + \pi n} \right] \cup \left[ {\dfrac{\pi }{3} + \pi n;\dfrac{\pi }{2} + \pi n} \right)}$

№ 29 Теңсіздікті шешіңіз: ${\tg^2 x \ge \dfrac{1}{3}}$

Шешуі: $${\tg^2 x -\dfrac{1}{3} \ge 0}$$ $$\left(\tg x-\dfrac{\sqrt 3}{3}\right)\left(\tg x+\dfrac{\sqrt 3}{3}\right) \ge 0$$ $\tg x=t$ жаңа айнымалысын енгізейік: $$\left( t-\dfrac{\sqrt 3}{3}\right)\left( t-\dfrac{\sqrt 3}{3}\right) \ge 0$$ $$\left[ \begin{array}{l}\tg x \le - \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\\ \tg x \ge \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right.$$ Жауабы: $$\left( { - \dfrac{\pi }{2} + \pi n;\,\, - \dfrac{\pi }{6} + \pi n} \right] \cup \left[ {\dfrac{\pi }{6} + \pi n;\,\,\dfrac{\pi }{2} + \pi n} \right)$$

№ 30 Теңсіздікті шешіңіз: $\sin \left( {\dfrac{{3x}}{2} + \dfrac{\pi }{{12}}} \right) \lt \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}$

Шешуі: $${ - \pi - \dfrac{\pi }{4} + 2\pi n \lt \dfrac{{3x}}{2} + \dfrac{\pi }{{12}} \lt \dfrac{\pi }{4} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${ - \dfrac{{5\pi }}{4} - \dfrac{\pi }{{12}} + 2\pi n \lt \dfrac{{3x}}{2} \lt \dfrac{\pi }{4} - \dfrac{\pi }{{12}} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${ - \dfrac{{16\pi }}{{12}} + 2\pi n \lt \dfrac{{3x}}{2} \lt \dfrac{{2\pi }}{{12}} + 2\pi n;\quad n \in Z}$$ $${ - \dfrac{{32\pi }}{{36}} + \dfrac{{4\pi n}}{3} \lt x \lt \dfrac{{4\pi }}{{36}} + \dfrac{{4\pi n}}{3};\quad n \in Z}$$ $${ - \dfrac{{8\pi }}{9} + \dfrac{{4\pi n}}{3} \lt x \lt \dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{4\pi n}}{3};\quad n \in Z}$$ Жауабы: ${\left( { - \dfrac{{8\pi }}{9} + \dfrac{{4\pi n}}{3};\,\,\dfrac{\pi }{9} + \dfrac{{4\pi n}}{3}} \right)}$

№ 31 Теңсіздікті шешіңіз: $\left| {\cos x} \right| \ge \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}$

Шешуі: $$\left[ \begin{array}{l}\cos x \ge \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\\cos x \le - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$$ $${ - \dfrac{\pi }{4} + \pi n \le x \le \dfrac{\pi }{4} + \pi n;\quad n \in Z}$$ $${\left[ { - \dfrac{\pi }{4} + \pi n;\,\,\dfrac{\pi }{4} + \pi n} \right]}$$

№ 32 Теңсіздікті шешіңіз: $\left| {\sin x} \right| \le \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

Шешуі: $$\left\{ \begin{array}{l}\sin x \le \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\\sin x \ge - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.$$ $${ - \dfrac{\pi }{3} + \pi n \le x \le \dfrac{\pi }{3} + \pi n;\quad n \in R}$$ Жауабы: ${\left[ { - \dfrac{\pi }{3} + \pi n;\,\,\dfrac{\pi }{3} + \pi n} \right]}$

Есептер QAZMATH.NET сайтынан алынды.

Есеп шешімдерінің авторы Ережепова Наргиза Уайисовна

 

Жазба сіз үшін қаншалықты қажет болды?

Жұлдызшаның үстінен басыңыз!

Сіз бұл жазбаны қажетті деп таптыңыз...

Әлеуметтік желіде бөлісіңіз!

Бұл жазбаның сіз үшін қажетті болмағаны өкінішті!

Жазбамызды жақсартайық!

Жазбаны жақсартуға қандай ұсыныс айтар едіңіз?

Осы тақырыптағы посттар

2 пікір
  1. Текебаева Кермеқас
    Текебаева Кермеқас
    17 сентября, 2024 сағ 2:04 пп

    керемет

    Пікір жазу
Пікір қалдыру

Сіздің электронды почтаңыз жарияланбайды, Міндетті жолдарды толтырыңыз. Формула теру үшін \$\$ ішіне жазыңыз