Рационал көрсеткішті дәреже

• $x$ пен $y$-тің қабылдай алатын мәндерін ескеріңіз.

• Квадрат түбір мен куб түбірдің қабылдай алатын мәндерінде айырмашылық бар ма?

(1) $ \left( xy\right) ^{\frac{1}{2}}=x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} $

Теңдіктің сол жағы мен оң жағы тең бе?

$\left( xy\right) ^{\frac{1}{2}}=\sqrt{xy}=\sqrt{x}\sqrt{y}=x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}} $

А) Жоғарыдағы дәлелдеме арқылы олардың тең екендігін көруге болады, дегенмен $x=-2$ және $y=-8$ жағдайын қарастырып көрейік. $\sqrt{xy} $ өрнегіне қойсақ, 4 деген жауапты аламыз, алайда $\sqrt{x}\sqrt{y} $ жағдайда анықталмайды.

$x\geq 0 $ және $y\geq 0 $ болғанда ғана нақты сан ала аламыз.

Б) А жауабы арқылы біз екі өрнектің мәні де әрқашан $\geq0$ болатынын көреміз.

(2) $ \left( xy\right) ^{\frac{5}{3}}=x^{\frac{5}{3}}\cdot y^{\frac{5}{3}} $

$\left( xy\right) ^{\frac{5}{3}}=\left( \sqrt[3] {xy}\right) ^{5}=\left( \sqrt[3] {x}\right) ^{5}\left( \sqrt[3] {y}\right) ^{5}=x^{\frac{5}{3}}y^{\frac{5}{3}} $

А) 1-тапсырмадағыдай қарама-қайшылықтар бар ма? $\sqrt[3]{{{x^5}}}$ және ${\left( {\sqrt[3]{x}} \right)^5}$ өрнектерінде айырмашылық бар ма?

Кубтық түбірден кез-келген нақты (оң және теріс) санды шығара аламыз, сондықтан $x,y\in \mathbb{R} $.

Б) Кубтық түбір оң және теріс мәндер бере алады, себебі өрнектің дәрежесі – 5 (тақ сан).

(3) $ \left( xy\right) ^{\frac{2}{3}}=x^{\frac{2}{3}}y^{\frac{2}{3}} $

А) Кез-келген саннан кубтық түбір алуға болатыны белгілі, демек $x,y\in \mathbb{R} $.

Б) Ал $\left( xy\right) ^{\frac{2}{3}} $өрнегінің мәнінде шектеулер бар. Бұл өрнектің жоғарыдағы $ \left( xy\right) ^{\frac{5}{3}} $ мәнінен қандай айырмашылығы бар?

Түсіндірме

(4) $ \left( xy\right) ^{-\frac{1}{2}}=x^{-\frac{1}{2}}y^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{2}}} $

Бұл 1-ші сұраққа ұқсас. A) Бұл өрнек квадрат түбірден тұрғандықтан, $x$ пен $y$ мәндері теріс бола алмайды және жоғарыдағы теңдіктен 0-ге тең емес екендігін байқауға болады. Демек әрқашан $x,y\gt0$