Функция және оның қасиеттері (Рустюмова 7.1.6)

()

 +/-  - Есептің жауабын көрсету/көрсетпеу.

▲/▼ - Жауап орнын жасыру/шығару

   ×    - Сұрақты алып тастау.

Келесі функцияларға ны табыңыз.

№ 1 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: $ y=3x$

Шешуі: $$ x=3y$$ $$y=\dfrac{x}{3}$$

№ 2 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: $ y=2 x-5$

Шешуі: $$ x=2 y-5 $$ $$ 2 y=x+5 $$ $$ y=\frac{x+5}{2} $$ $$ y=\frac{x}{2}+2,5 $$

№ 3 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = - x + 1}$

Шешуі: $${x = - y + 1}$$ $${y = 1 - x}$$

№ 4 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = {x^3}}$

Шешуі: $${x = {y^3}}$$ $${y = \sqrt[3]{x}}$$

№ 5 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = \dfrac{3}{{5x}}}$

Шешуі: $${x = \frac{3}{{5y}}}$$ $${y = \frac{3}{{5x}}}$$

№ 6 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = \dfrac{{x + 3}}{{2x - 1}}}$

Шешуі: $${x = \frac{{y + 3}}{{2y - 1}}}$$ $${2xy - x = y + 3}$$ $${2xy - y = 3 + x}$$ $${y(2x - 1) = 3 + x}$$ $${y = \frac{{3 + x}}{{2x - 1}}}$$

№ 7 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = \dfrac{3}{{x - 4}}}$

Шешуі: $${x = \frac{3}{{y - 4}}}$$ $${y - 4 = \frac{3}{x}}$$ $${y = \frac{3}{x} + 4}$$ $${y = \frac{{4x + 3}}{x}.}$$

№ 8 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: $y = 2\sin 3x$

Шешуі: $$\sin 3y = \frac{x}{2}$$ $$3y = \arcsin \frac{x}{2}$$ $$y = \frac{1}{3}\arcsin \frac{x}{2}$$

№ 9 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = \frac{1}{2}\cos x}$

Шешуі: $${x = \frac{1}{2}\cos y.}$$ $${2x = \cos y.}$$ $${\arccos 2x = y.}$$ $${y = \arccos 2x}$$

№ 10 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: $ y=\tg \frac{x}{2}$

Шешуі: $$ x=\tg \frac{y}{2} $$ $$ \arctg x=\frac{y}{2} $$ $$ y=2 \arctg x $$

№ 11 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: $ y=\dfrac{1}{x-1}$

Шешуі: $$ x=\frac{1}{y-1} $$ $$ y-1=\frac{1}{x} $$ $$ y=\frac{1}{x}+1 $$

№ 12 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = {3^{x - 2}} + 1}$

Шешуі: $${x = {3^{y - 2}} + 1}$$ $${{3^{y - 2}} = x - 1}$$ $${{{\log }_3}{3^{y - 2}} = {{\log }_3}(x - 1)}$$ $${y - 2 = {{\log }_3}(x - 1)}$$ $${y = {{\log }_3}(x - 1) + 2}$$ $${y = {{\log }_3}(x - 1) + {{\log }_3}{3^2}}$$ $${y = {{\log }_3}9(x - 1).}$$

№ 13 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = {3^{ - x}} - 2}$

Шешуі: $${x = {3^{ - y}} - 2}$$ $${{{\log }_3}(x + 2) = {{\log }_3}{3^{ - y}}}$$ $${x + 2 = {3^{ - y}}}$$ $${ - y = {{\log }_3}(x + 2)}$$ $${y = - {{\log }_3}(x + 2)}$$

№ 14 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = {2^{3 - x}} + 5}$

Шешуі: $${x = {2^{3 - y}} + 5}$$ $${x - 5 = {2^{3 - y}}}$$ $${{{\log }_2}(x - 5) = {{\log }_2}{2^{3 - y}}}$$ $${{{\log }_2}(x - 5) = 3 - y}$$ $${y = 3 - {{\log }_2}(x - 5)}$$ $${y = {{\log }_2}\left( {\frac{8}{{x - 5}}} \right)}$$

№ 15 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = {{\log }_5}(x + 1) - 3}$

Шешуі: $${x = {{\log }_5}(y + 1) - 3}$$ $${{{\log }_5}(y + 1) = x + 3}$$ $${y + 1 = {5^{x + 3}}}$$ $${y = {5^{x + 3}} - 1}$$

№ 16 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = {{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}$

Шешуі: $${x = {{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}}}$$ $${{x^{\frac{3}{2}}} = y - 1}$$ $${y = \sqrt {{x^3}} + 1}$$

№ 17 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = \sqrt[3]{{2x - 5}}}$

Шешуі: $${x = \sqrt[3]{{2y - 5}}}$$ $${2y - 5 = {x^3}}$$ $${2y = {x^3} + 5}$$ $${y = \frac{{{x^3} + 5}}{2}}$$

№ 18 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: $y=(x-3)^{2}+1$

Шешуі: $$x = {\left( {y - 3} \right)^2} + 1$$ $${\left( {y - 3} \right)^2} = x - 1$$ $$y - 3 = \pm \sqrt {x - 1} $$ $$y = \pm \sqrt {x - 1} + 3$$ $x$-тің бір мәніне $y$-тің екі мәні сәйкес келеді. Бұл функцияның анықтамасына қайшы. Сондықтан берілген функцияға кері функция табылмайды.

№ 19 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = 3 - {{\log }_5}(x - 6)}$

Шешуі: $${x = 3 - {{\log }_5}(y - 6)}$$ $${{{\log }_5}(y - 6) = 3 - x}$$ $${y - 6 = {5^{3 - x}}}$$ $${y = {5^{3 - x}} + 6.}$$

№ 20 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = {x^2} - 4x + 7}, \quad x \in \left( { - \infty ;2} \right]$

Шешуі: $$x = {y^2} - 4y + 7,\quad y \le 2.$$ $$x = {y^2} - 4y + 4 + 3 = {\left( {y - 2} \right)^2} + 3$$ $${\left( {y - 2} \right)^2} = x - 3$$ $$y = 2 \pm \sqrt {x - 3} .$$ $y \le 2$ шартына сәйкес, есептің жауабы: $$y = 2 - \sqrt {x - 3} $$

№ 21 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = {x^2} + 4,\quad x \le 0}$

Шешуі: $$x = {y^2} + 4\,,\quad y \le 0$$ $$x = {y^2} + 4$$ $$y = \pm \sqrt {x - 4} $$ $y \le 0$ шартына сәйкес, есептің жауабы $$y = - \sqrt {x - 4} $$

№ 22 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = 2x + 2,\quad x \in [1,3]}$

Шешуі: $$x = 2y + 2,\quad y \in \left[ {1;3} \right]$$ $$2y = x - 2$$ $$y = \dfrac{x - 2}{2}$$ Есептің шартына сәйкес $$1 \le \frac{{x - 2}}{2} \le 3 \quad \text{(2-ге көбейтеміз)}$$ $$2 \le x - 2 \le 6 \quad \text{(2-ні қосамыз)}$$ $$4 \le x \le 8$$ Есептің жауабы: $$y = \frac{{x - 2}}{2},\quad x \in \left[ {4;8} \right]$$

№ 23 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + 1,\quad x \in ( - \infty ;2]}\\{{x^2} + 1,\quad x \in (2;\infty )}\end{array}} \right.}$

Шешуі: $$x = 2y + 1,\quad y \le 2$$ $$2y = x - 1,\quad \quad y = \frac{{x - 1}}{2}$$ Есептің шартына сәйкес $$\frac{{x - 1}}{2} \le 2,\quad x - 1 \le 4,\quad x \le 5.$$ Олай болса, $$y = \frac{{x - 1}}{2},\quad x \le 5$$ Енді екінші теңдеуді қарастырайық: $$x = {y^2} + 1,\quad y \in \left( {2; + \infty } \right)$$ $${y^2} = x - 1,\quad y = \pm \sqrt {x - 1} $$ $y \gt 2$ болғандықтан $$y = \sqrt {x - 1} $$ Есептің шартынан $$\sqrt {x - 1} \gt 2$$ теңсіздігін аламыз. $$\sqrt {x - 1} \gt 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0,\\x - 1 \gt {2^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1,\\x \gt 5\end{array} \right. \Rightarrow x \gt 5.$$ Яғни, $$y = \sqrt {x - 1} ,\quad x \gt 5$$ Сонымен есептің жауабы: $$\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{x - 1}}{2},\quad x \le 5\\y = \sqrt {x - 1} ,\quad x \gt 5\end{array} \right.$$

№ 24 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = 1 + \lg (x + 2)}$

Шешуі: $${x = 1 + \lg (y + 2)}$$ $${\lg (y + 2) = x - 1}$$ $${y + 2 = {{10}^{x - 1}}}$$ $${y = {{10}^{x - 1}} - 2.}$$

№ 25 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = {{\log }_x}2}$

Шешуі: $${x = {{\log }_y}2}$$ $${y = {2^{\frac{1}{x}}}}$$

№ 26 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: ${y = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}}$

Шешуі: $${x = \frac{{y - 1}}{{y + 1}}}$$ $${y - 1 = xy + x}$$ $${y - xy = x + 1}$$ $${y(1 - x) = x + 1}$$ $${y = \frac{{x + 1}}{{1 - x}}}$$

№ 27 Берілген функцияға кері функцияны табыңыз: $y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 5x}}$

Шешуі: $$y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 5x}}$$ $$x = \frac{{{y^2} + 3y}}{{{y^2} - 5y}} = \frac{{{y^2} - 5y + 8y}}{{{y^2} - 5y}} = 1 + \frac{{8y}}{{{y^2} - 5y}}$$ $$\frac{{8y}}{{{y^2} - 5y}} = x - 1$$ $$\frac{{{y^2} - 5y}}{{8y}} = \frac{1}{{x - 1}}$$ $$\frac{{{y^2} - 5y}}{y} = \frac{8}{{x - 1}}$$ Теңдіктің екі жағын $y \ne 0$ санына бөлеміз: $$y - 5 = \frac{8}{{x - 1}}$$ $$y = \frac{8}{{x - 1}} + 5 = \frac{{5x + 3}}{{x - 1}}$$ $y \ne 0$ болғандықтан $$x \ne -\frac{3}{5}$$ Жауабы: $y = \frac{{5x + 3}}{{x - 1}},\quad x \ne - \frac{3}{5}$

№ 28 Аргументтің 1-ге тең мәнінде $f(x)=-2+0,5x$ функциясына кері функцияны табыңыз.

Шешуі: $${f(x) = - 2 + 0,5x}$$ $${{f^{ - 1}}(1) - ?}$$ $${x = - 2 + 0,5y}$$ $$0,5y = x + 2$$ $$y = 2x + 4$$ $${{f^{ - 1}}(x) = 2x + 4}$$ $${{f^{ - 1}}(1) = 2\cdot1 + 4 = 6}$$

№ 29 Аргументтің 4-ке тең мәнінде $f(x)=2^x-4$ функциясына кері функцияны табыңыз.

Шешуі: $$f(x) = {2^x} - 4$$ $${f^{ - 1}}\left( 4 \right) - ?$$ $${x = {2^y} - 4}$$ $${{2^y} = x + 4}$$ $${y = {{\log }_2}(x + 4)}$$ $${{f^{ - 1}}(x) = {{\log }_2}(x + 4)}$$ $${{f^{ - 1}}(4) = {{\log }_2}(4 + 4) = {{\log }_2}8 = 3}$$

Есептер QAZMATH.NET сайтынан алынды.

Есеп шешімдерінің авторы Нұрлыбекова Алтынгүл Маткеримовна

 

Жазба сіз үшін қаншалықты қажет болды?

Жұлдызшаның үстінен басыңыз!

Сіз бұл жазбаны қажетті деп таптыңыз...

Әлеуметтік желіде бөлісіңіз!

Бұл жазбаның сіз үшін қажетті болмағаны өкінішті!

Жазбамызды жақсартайық!

Жазбаны жақсартуға қандай ұсыныс айтар едіңіз?

Пікір қалдыру

Сіздің электронды почтаңыз жарияланбайды, Міндетті жолдарды толтырып шығыңыз.