Функция және оның қасиеттері (Рустюмова 7.1.6)

Шешуі: $$ x=3y$$ $$y=\dfrac{x}{3}$$

Шешуі: $$ x=2 y-5 $$ $$ 2 y=x+5 $$ $$ y=\frac{x+5}{2} $$ $$ y=\frac{x}{2}+2,5 $$

Шешуі: $${x = - y + 1}$$ $${y = 1 - x}$$

Шешуі: $${x = {y^3}}$$ $${y = \sqrt[3]{x}}$$

Шешуі: $${x = \frac{3}{{5y}}}$$ $${y = \frac{3}{{5x}}}$$

Шешуі: $${x = \frac{{y + 3}}{{2y - 1}}}$$ $${2xy - x = y + 3}$$ $${2xy - y = 3 + x}$$ $${y(2x - 1) = 3 + x}$$ $${y = \frac{{3 + x}}{{2x - 1}}}$$

Шешуі: $${x = \frac{3}{{y - 4}}}$$ $${y - 4 = \frac{3}{x}}$$ $${y = \frac{3}{x} + 4}$$ $${y = \frac{{4x + 3}}{x}.}$$

Шешуі: $$\sin 3y = \frac{x}{2}$$ $$3y = \arcsin \frac{x}{2}$$ $$y = \frac{1}{3}\arcsin \frac{x}{2}$$

Шешуі: $${x = \frac{1}{2}\cos y.}$$ $${2x = \cos y.}$$ $${\arccos 2x = y.}$$ $${y = \arccos 2x}$$

Шешуі: $$ x=\tg \frac{y}{2} $$ $$ \arctg x=\frac{y}{2} $$ $$ y=2 \arctg x $$

Шешуі: $$ x=\frac{1}{y-1} $$ $$ y-1=\frac{1}{x} $$ $$ y=\frac{1}{x}+1 $$

Шешуі: $${x = {3^{y - 2}} + 1}$$ $${{3^{y - 2}} = x - 1}$$ $${{{\log }_3}{3^{y - 2}} = {{\log }_3}(x - 1)}$$ $${y - 2 = {{\log }_3}(x - 1)}$$ $${y = {{\log }_3}(x - 1) + 2}$$ $${y = {{\log }_3}(x - 1) + {{\log }_3}{3^2}}$$ $${y = {{\log }_3}9(x - 1).}$$

Шешуі: $${x = {3^{ - y}} - 2}$$ $${{{\log }_3}(x + 2) = {{\log }_3}{3^{ - y}}}$$ $${x + 2 = {3^{ - y}}}$$ $${ - y = {{\log }_3}(x + 2)}$$ $${y = - {{\log }_3}(x + 2)}$$

Шешуі: $${x = {2^{3 - y}} + 5}$$ $${x - 5 = {2^{3 - y}}}$$ $${{{\log }_2}(x - 5) = {{\log }_2}{2^{3 - y}}}$$ $${{{\log }_2}(x - 5) = 3 - y}$$ $${y = 3 - {{\log }_2}(x - 5)}$$ $${y = {{\log }_2}\left( {\frac{8}{{x - 5}}} \right)}$$

Шешуі: $${x = {{\log }_5}(y + 1) - 3}$$ $${{{\log }_5}(y + 1) = x + 3}$$ $${y + 1 = {5^{x + 3}}}$$ $${y = {5^{x + 3}} - 1}$$

Шешуі: $${x = {{(y - 1)}^{\frac{2}{3}}}}$$ $${{x^{\frac{3}{2}}} = y - 1}$$ $${y = \sqrt {{x^3}} + 1}$$

Шешуі: $${x = \sqrt[3]{{2y - 5}}}$$ $${2y - 5 = {x^3}}$$ $${2y = {x^3} + 5}$$ $${y = \frac{{{x^3} + 5}}{2}}$$

Шешуі: $$x = {\left( {y - 3} \right)^2} + 1$$ $${\left( {y - 3} \right)^2} = x - 1$$ $$y - 3 = \pm \sqrt {x - 1} $$ $$y = \pm \sqrt {x - 1} + 3$$ $x$-тің бір мәніне $y$-тің екі мәні сәйкес келеді. Бұл функцияның анықтамасына қайшы. Сондықтан берілген функцияға кері функция табылмайды.

Шешуі: $${x = 3 - {{\log }_5}(y - 6)}$$ $${{{\log }_5}(y - 6) = 3 - x}$$ $${y - 6 = {5^{3 - x}}}$$ $${y = {5^{3 - x}} + 6.}$$

Шешуі: $$x = {y^2} - 4y + 7,\quad y \le 2.$$ $$x = {y^2} - 4y + 4 + 3 = {\left( {y - 2} \right)^2} + 3$$ $${\left( {y - 2} \right)^2} = x - 3$$ $$y = 2 \pm \sqrt {x - 3} .$$ $y \le 2$ шартына сәйкес, есептің жауабы: $$y = 2 - \sqrt {x - 3} $$

Шешуі: $$x = {y^2} + 4\,,\quad y \le 0$$ $$x = {y^2} + 4$$ $$y = \pm \sqrt {x - 4} $$ $y \le 0$ шартына сәйкес, есептің жауабы $$y = - \sqrt {x - 4} $$

Шешуі: $$x = 2y + 2,\quad y \in \left[ {1;3} \right]$$ $$2y = x - 2$$ $$y = \dfrac{x - 2}{2}$$ Есептің шартына сәйкес $$1 \le \frac{{x - 2}}{2} \le 3 \quad \text{(2-ге көбейтеміз)}$$ $$2 \le x - 2 \le 6 \quad \text{(2-ні қосамыз)}$$ $$4 \le x \le 8$$ Есептің жауабы: $$y = \frac{{x - 2}}{2},\quad x \in \left[ {4;8} \right]$$

Шешуі: $$x = 2y + 1,\quad y \le 2$$ $$2y = x - 1,\quad \quad y = \frac{{x - 1}}{2}$$ Есептің шартына сәйкес $$\frac{{x - 1}}{2} \le 2,\quad x - 1 \le 4,\quad x \le 5.$$ Олай болса, $$y = \frac{{x - 1}}{2},\quad x \le 5$$ Енді екінші теңдеуді қарастырайық: $$x = {y^2} + 1,\quad y \in \left( {2; + \infty } \right)$$ $${y^2} = x - 1,\quad y = \pm \sqrt {x - 1} $$ $y \gt 2$ болғандықтан $$y = \sqrt {x - 1} $$ Есептің шартынан $$\sqrt {x - 1} \gt 2$$ теңсіздігін аламыз. $$\sqrt {x - 1} \gt 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0,\\x - 1 \gt {2^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1,\\x \gt 5\end{array} \right. \Rightarrow x \gt 5.$$ Яғни, $$y = \sqrt {x - 1} ,\quad x \gt 5$$ Сонымен есептің жауабы: $$\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{x - 1}}{2},\quad x \le 5\\y = \sqrt {x - 1} ,\quad x \gt 5\end{array} \right.$$

Шешуі: $${x = 1 + \lg (y + 2)}$$ $${\lg (y + 2) = x - 1}$$ $${y + 2 = {{10}^{x - 1}}}$$ $${y = {{10}^{x - 1}} - 2.}$$

Шешуі: $${x = {{\log }_y}2}$$ $${y = {2^{\frac{1}{x}}}}$$

Шешуі: $${x = \frac{{y - 1}}{{y + 1}}}$$ $${y - 1 = xy + x}$$ $${y - xy = x + 1}$$ $${y(1 - x) = x + 1}$$ $${y = \frac{{x + 1}}{{1 - x}}}$$

Шешуі: $$y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 5x}}$$ $$x = \frac{{{y^2} + 3y}}{{{y^2} - 5y}} = \frac{{{y^2} - 5y + 8y}}{{{y^2} - 5y}} = 1 + \frac{{8y}}{{{y^2} - 5y}}$$ $$\frac{{8y}}{{{y^2} - 5y}} = x - 1$$ $$\frac{{{y^2} - 5y}}{{8y}} = \frac{1}{{x - 1}}$$ $$\frac{{{y^2} - 5y}}{y} = \frac{8}{{x - 1}}$$ Теңдіктің екі жағын $y \ne 0$ санына бөлеміз: $$y - 5 = \frac{8}{{x - 1}}$$ $$y = \frac{8}{{x - 1}} + 5 = \frac{{5x + 3}}{{x - 1}}$$ $y \ne 0$ болғандықтан $$x \ne -\frac{3}{5}$$ Жауабы: $y = \frac{{5x + 3}}{{x - 1}},\quad x \ne - \frac{3}{5}$

Шешуі: $${f(x) = - 2 + 0,5x}$$ $${{f^{ - 1}}(1) - ?}$$ $${x = - 2 + 0,5y}$$ $$0,5y = x + 2$$ $$y = 2x + 4$$ $${{f^{ - 1}}(x) = 2x + 4}$$ $${{f^{ - 1}}(1) = 2\cdot1 + 4 = 6}$$

Шешуі: $$f(x) = {2^x} - 4$$ $${f^{ - 1}}\left( 4 \right) - ?$$ $${x = {2^y} - 4}$$ $${{2^y} = x + 4}$$ $${y = {{\log }_2}(x + 4)}$$ $${{f^{ - 1}}(x) = {{\log }_2}(x + 4)}$$ $${{f^{ - 1}}(4) = {{\log }_2}(4 + 4) = {{\log }_2}8 = 3}$$