Логарифмдік теңсіздіктерді шешу (Рустюмова 3.5.1А)

Шешуі:

ММЖ:

$$x^2-7x>0$$ $$x(x-7)>0$$ $$x=0x=7$$

$$3x+11>0$$ $$x>-\frac{11}{3}$$

$$x^2-7x⩽3x+11$$ $$x^2-10x-11⩽0$$ $$x^2-10x-11=0$$ $$D=100+44={12}^2$$

$$x_{1/2}=\frac{10\pm 12}{2}$$ $$x=11x=-1$$

Жауабы: $x\in [-1,0)\cup [7;11]$

Шешуі:

ММЖ:

$$\{\begin{array}{l}\frac{x+3}{x+4}>0\\ \frac{x+5}{x+2}>0\end{array}$$

$$\frac{x+3}{x+4}=0$$ $$x\ne -4$$ $$x=-3$$ $$(-\mathrm{\infty };-4)\cup (-3;+\mathrm{\infty })$$

$$\frac{x+5}{x+2}=0$$ $$x\ne -2x=-5$$ $$(-\mathrm{\infty };-5)\cup (-2;+\mathrm{\infty })$$

$$x\in (-\mathrm{\infty };-5)\cup (-2;+\mathrm{\infty })$$

$$\frac{x+3}{x+4}>\frac{x+5}{x+2}$$ $$\frac{x+3}{x+4}-\frac{x+5}{x+2}>0$$ $$\frac{(x+3)(x+2)-(x+5)(x+4)}{(x+4)(x+2)}>0$$ $$\frac{x^2+5x+6-\left(x^2+9x+20\right)}{(x+4)(x+2)}>0$$

$$\frac{x^2+5x+6-x^2-9x-20}{(x+4)(x+2)}>0$$ $$\frac{-4x-14}{(x+4)(x+2)}>0$$ $$x+4\ne 0x+2\ne 0$$ $$x\ne -4x\ne -2$$ $$x=-\frac{7}{2}$$

Жауабы: $x\in (-\mathrm{\infty };-5)$

Шешуі:

ММЖ: $$\{\begin{array}{l}2x^2+4x+10>0\\ x^2-4x+3>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{x}^2+2x+5>0\\ x^2-4x+3>0\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{x}^2+2x+5>0\\ x^2+2x+5=0\\ D=4-20=-16\\ x\in (-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })\end{array}$$

$$\begin{array}{l}{x}^2-4x+3>0\\ x^2-4x+3=0\\ D=16-12=4\\ x_{1/2}=\frac{4\pm 2}{2}=1;3\end{array}$$ $$x\in (-\mathrm{\infty };1)\cup (3;+\mathrm{\infty })$$

$$2x^2+4x+10>x^2-4x+3$$ $$2x^2+4x+10-x^2+4x-3>0$$ $$x^2+8x+7>0$$

$$x^2+8x+7=0$$ $$D=64-28=36$$ $$x_{1/2}=\frac{-8\pm 6}{2}=-7;-1$$

Жауабы: $x\in (-\mathrm{\infty };-7)\cup (-1;1)\cup (3;+\mathrm{\infty })$

Шешуі:

ММЖ: $$\{\begin{array}{l}\frac{4}{x+3}>0\\ 2-x>0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x\in (-3;+\mathrm{\infty })\\ x\in (-\mathrm{\infty };2)\end{array}$$

$$x\in (-3;2)$$

$$\frac{4}{x+3}>2-x$$ $$\frac{4}{x+3}-2+x>0$$ $$\frac{4-(2-x)(x+3)}{x+3}>0$$ $$\frac{4-\left(2x+6-x^2-3x\right)}{x+3}>0$$

$$\frac{x^2+x-2}{x+3}>0$$ $$x\ne -3;x^2-2+x=0$$ $$D=1+8=9$$ $$x_{1/2}=\frac{-1\pm 3}{2}=1;-2$$

Жауабы: $x\in (-3;-2)\cup (1;2)$

Шешуі:

ММЖ:

$$\frac{x-1}{x+2}>0$$ $$x=1x\ne -2$$

$$x\in (-\mathrm{\infty };-2)\cup (1;+\mathrm{\infty })$$

$$3^{{\log }_2\left(\frac{x-1}{x+2}\right)}<3^{-2}$$ $${\log }_2\left(\frac{x-1}{x+2}\right)<-2$$ $$\frac{x-1}{x+2}<2^{-2}$$

$$\frac{x-1}{x+2}-\frac{1}{4}<0$$ $$\frac{4x-4-x-2}{4(x+2)}<0$$ $$\frac{3x-6}{4(x+2)}<0$$

$$3x-6=0;x+2\ne 0$$ $$x=2;x\ne -2$$ $$x\in (-2;2)$$

Жауабы: $x\in (1;2)$

Шешуі:

ММЖ:

$$x^2-5x+6>0$$ $$x^2-5x+6=0$$ $$D=25-24=1$$

$$x_{1/2}=\frac{5\pm 1}{2}=3;2$$ $$x\in (-\mathrm{\infty };2)\cup (3;+\mathrm{\infty })$$

$${\log }_{0,5}\left(x^2-5x+6\right)>-1$$ $$x^2-5x+6<{0,5}^{-1}$$ $$x^2-5x+6<2$$ $$x^2-5x+4<0$$

$$\begin{array}{l}{x}^2-5x+4=0\\ D=25-16=9\end{array}$$ $$x_{1/2}=\frac{5\pm 3}{2}=4;1$$ $$x\in (1;4)$$

Жауабы: $x\in (1;2)\cup (3;4)$

Шешуі:

ММЖ:

$$x^2-3x+2>0$$ $$x^2-3x+2=0$$ $$D=9-8=1$$

$$x_{1/2}=\frac{3\pm 1}{2}=2;1$$ $$x\in (-\mathrm{\infty };1)\cup (2;+\mathrm{\infty })$$

$${\log }_{\sin \frac{\pi }{3}}\left(x^2-3x+2\right)⩾2$$ $${\log }_{\frac{\sqrt{3}}{2}}\left(x^2-3x+2\right)⩾2$$ $$x^2-3x+2⩽{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2$$ $$x^2-3x+2-\frac{3}{4}⩽0$$ $$x^2-3x+1\frac{1}{4}⩽0$$

$$x^2-3x+\frac{5}{4}=0$$ $$D=9-4\cdot \frac{5}{4}=4$$ $$x_{1/2}=\frac{3\pm 2}{2}=\frac{5}{2};\frac{1}{2}$$ $$x\in \left[\frac{1}{2};\frac{5}{2}\right]$$

Жауабы: $x\in \left[\frac{1}{2};1\right)\cup \left(2;\frac{5}{2}\right]$

Шешуі:

ММЖ:

$$\frac{2-3x}{x}>0$$ $$x\ne 0,x=\frac{2}{3}$$

$$x\in (0;\frac{2}{3})$$

$${\log }_{\frac{1}{3}}\frac{2-3x}{x}⩾-1$$ $$\frac{2-3x}{x}⩽{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-1}$$ $$\frac{2-3x}{x}-3⩽0$$

$$\frac{2-3x-3x}{x}⩽0$$ $$\frac{2-6x}{x}⩽0$$ $$x=\frac{1}{3},x\ne 0$$

$$x\in (-\mathrm{\infty };0)\cup \left[\frac{1}{3};+\mathrm{\infty }\right)$$

Жауабы: $x\in \left[\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$

Шешуі:

ММЖ:

$$\begin{array}{l}\frac{x-3}{x+3}>0\\ x-3=0x+3\ne 0\\ x=3x\ne -3\end{array}$$

$$x\in (-\mathrm{\infty }-3)\cup (3;+\mathrm{\infty })$$

$${\log }_{\frac{1}{4}}\frac{x-3}{x+3}⩾-\frac{1}{2}$$ $$\frac{x-3}{x+3}⩽{\left(\frac{1}{4}\right)}^{-\frac{1}{2}}$$ $$\frac{x-3}{x+3}⩽2$$

$$\frac{x-3}{x+3}-2⩽0$$ $$\frac{x-3-2x-6}{x+3}⩽0$$ $$-\frac{x-9}{x+3}⩽0$$

$$-x-9=0;x+3\ne 0$$ $$x=-9;x\ne -3$$

Жауабы: $x\in (-\mathrm{\infty };-9]\cup (-3;+\mathrm{\infty })$

Шешуі:

ММЖ:$$\begin{array}{c}2x+3>0\\ x>-\frac{3}{2}\end{array}$$

$${\log }_{\frac{1}{4}}(2x+3)>\frac{3}{2}$$ $$2x+3<{\left(\frac{1}{4}\right)}^{\frac{3}{2}}$$ $$2x+3<\frac{1}{8}$$

$$2x<\frac{1}{8}-3$$ $$2x<-\frac{23}{8}$$ $$x<-\frac{23}{16}$$ $$x<-1\frac{7}{16}$$

Жауабы: $x\in (-\frac{3}{2};-1\frac{7}{16})$

Шешуі:

ММЖ:

$$x^2+3x>0$$ $$x=0;x=-3$$

$$x\in (-\mathrm{\infty };-3)\cup (0;+\mathrm{\infty })$$

$$2-{\log }_2\left(x^2+3x\right)⩾0$$ $${\log }_2\left(x^2+3x\right)⩾2$$ $$x^2+3x⩽4$$ $$x^2+3x-4⩽0$$

$$x^2+3x-4=0$$ $$D=9+16=25$$ $$x_{1/2}=\frac{-3\pm 5}{2}=1;-4$$

Жауабы: $x\in [-4;-3)\cup (0;1]$

Шешуі:

ММЖ:

$$x^2-3x+2>0$$ $$x^2-3x+2=0$$ $$x=2;x=1$$

$$x\in (-\mathrm{\infty };1)\cup (2;+\mathrm{\infty })$$

$$3^{{\log }_2\left(x^2-3x+2\right)}⩽3$$ $${\log }_2\left(x^2-3x+2\right)⩽1$$ $$x^2-3x+2⩽2$$ $$x^2-3x⩽0$$

$$x=0;x=3$$ $$x=0;x=3$$

Жауабы: $x\in [0;1)\cup (2;3]$

Шешуі:

$$4-9x>0$$ $$9x<4$$ $$x<\frac{4}{9}$$

$${\log }_4(4-9x)<2$$ $$4-9x<16$$ $$-9x<12$$ $$x>-\frac{4}{3}$$

Жауабы: $x\in (-\frac{4}{3};\frac{4}{9})$

Шешуі:

$$2x^2+x>0$$ $$x=0;x=-\frac{1}{2}$$ $$x\in (-\mathrm{\infty };-\frac{1}{2})\cup (0;+\mathrm{\infty })$$

$${\log }_{\sqrt{10}}\left(2x^2+x\right)<2$$ $$2x^2+x<10$$ $$2x^2+x-10<0$$ $$D=1+4\cdot 2\cdot 10=81$$ $$x_{1/2}=\frac{-1\pm 9}{2\cdot 2}=2;-\frac{5}{2}$$ $$x\in (-\frac{5}{2};2)$$

Жауабы: $x\in (-\frac{5}{2};-\frac{1}{2})\cup (0;2)$

Шешуі:

$$x^2+10x+24>0$$ $$x=-6;x=-4$$ $$x\in (-\mathrm{\infty };-6)\cup (-4;+\mathrm{\infty })$$

$$6x+36>0$$ $$x>-6$$

$$x\in (-4;+\mathrm{\infty })$$

$${\log }_3\left(x^2+10x+24\right)⩽{\log }_3(6x+36)$$ $$x^2+10x+24⩽6x+36$$ $$x^2+4x-12⩽0$$

$$x=-6;x=2$$ $$x\in [-6;2]$$

Жауабы: $x\in (-4;2]$

Шешуі:

ММЖ: $$x\ne -5x\ne \frac{1}{3}$$

$${\log }_{0,5}{(x+5)}^2>{\log }_{\frac{1}{2}}{(3x-1)}^2$$ $${(x+5)}^2<{(3x-1)}^2$$ $$x^2+10x+25<9x^2-6x+1$$ $$-8x^2+16x+24<0$$

$$x^2-2x-3>0$$ $$x=3;x=-1$$ $$x\in (-\mathrm{\infty };-1)\cup (3;+\mathrm{\infty })$$

Жауабы: $x\in (-\mathrm{\infty };-5)\cup (-5;-1)\cup (3;+\mathrm{\infty })$

Шешуі:

$$x^2-3x+4>0$$ $$D=9-16=-7$$ $$x\in (-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty })$$

$$x+1>0$$ $$x>-1$$ $$x\in (-1;+\mathrm{\infty })$$

$$\lg \sqrt{x^2-3x+4}>\lg \sqrt{x+1}$$ $$\sqrt{x^2-3x+4}>\sqrt{x+1}$$ $$x^2-3x+4>x+1$$

$$x^2-4x+3>0$$ $$x=3;x=1$$

Жауабы: $x\in (-1;1)\cup (3;+\mathrm{\infty })$

Шешуі:

$$2x-1>0$$ $$x>\frac{1}{2}$$

$${\log }_2(2x-1)<{\log }_{2^{-\frac{1}{2}}}2$$ $${\log }_2(2x-1)<{\log }_2{2}^{-2}$$

$$2x-1<\frac{1}{4}$$ $$2x<\frac{5}{4}$$ $$x<\frac{5}{8}$$

Жауабы: $x\in \left(\frac{1}{2};\frac{5}{8}\right)$

Шешуі:

ММЖ: $$x>0$$

$${\log }_{3}x+{\log }_{3^{\frac{1}{2}}}x+{\log }_{3^{-1}}x<6$$ $${\log }_{3}x+2{\log }_{3}x-{\log }_{3}x<6.$$ $${\log }_{3}x<3$$ $$x<27$$

Жауабы: $x\in (0;27)$

Шешуі:

ММЖ: $$x>0$$

$$\frac{1}{2}{\log }_{5}x-{\log }_{5}x>2$$ $$-\frac{1}{2}{\log }_{5}x>2$$ $${\log }_{5}x<-4$$ $$x<\frac{1}{625}$$

Жауабы: $x\in (0;\frac{1}{625})$