Н.Темірғалиев, Алгебра және анализ бастамалары 10-11-сынып, 2002

I. Опорные знания: повторение и уточнение

Глава I. Числа

§1. Действительные числа и их запись

1. Множество и множество чисел

2. Математические обозначения и условные сокращения слов и словосочетаний

3. Операции над множествами

4. Цифры как знаки чисел и позиционная система счисления

5. Запись действительных чисел: обыкновенные, десятичные и алгебраические дроби

§2. Обыкновенные дроби как форма записи рациональных чисел

1. Определение обыкновенных дробей

2. Значение дробной черты

3. О сложении обыкновенных дробей

§3. Десятичные дроби

1. Определение десятичных дробей

2. Особенности записи чисел в виде бесконечных десятичных дробей

3. Периодические десятичные дроби как запись рациональных чисел

4. Преобразование периодических десятичных дробей в обыкновенные дроби

5. Непериодические десятичные дроби как запись иррациональных чисел

§4. Координатная прямая

1. Задача измерения. Постановка задачи измерения длины

2. Недостаточность рациональных чисел при измерении длины отрезка

3. Построение отрезка, несоизмеримого с данным

4. Координатная прямая

5. Значение каждой разрядной цифры в записи действительного числа

§5. Алгебраические дроби

1. Понятие алгебраической дроби

2. Применение алгебраических дробей

§6. О других системах счисления

§7. Комплексные числа. Развитие понятия числа

Глава II. Степени и логарифмы

§8. Степени чисел и их свойства

1. Многократное применение сложения и умножения одного числа и их запись

2. Целые положительные степени действительных чисел и их свойства

3. Расширение понятия степени числа

§9. Целая степень числа

1. Нулевая степень числа

2. Целая отрицательная степень ненулевого действительного числа

§10. Рациональная степень числа

1. Степень 1/n положительного числа — арифметический корень

2. Рациональная степень положительного числа

3. Рациональная степень отрицательного числа

§11. Иррациональная степень положительного числа

§12. Логарифм числа

1. Определение логарифма числа

2. Логарифм произведения, частного и степени

3. Формула перехода от одного основания логарифма к другому

Глава III. Функции и последовательности

§13. Функция: определение и анализ

1. Общее определение функции

2. Аргумент функции

3. Правило в определении функции

4. Отображение заданного множества в его подмножество

5. Об использовании буквенных индексов

6. Операции над множествами и область определения функции

§14. Числовые функции

1. Определение числовых функций числового аргумента

2. Примеры числовых функций числового аргумента

3. Числовые функции нескольких переменных

§15. Числовые промежутки

1. Числовые промежутки

2. Таблица числовых промежутков

3. Окрестности

§16. Графики функций

1. Координатная плоскость

2. Графики функций

3. Преобразование графиков функций: случай квадратичных функций

4. Преобразование графиков функций: общий случай

§17. Последовательности

1. Числовые последовательности a(n)=aₙ

2. Арифметическая и геометрическая прогрессии

3. Метод математической индукции

4. Бином Ньютона

5. Простые и сложные проценты

6. Число e

II. Основные элементарные и элементарные функции

Глава IV. Свойства функций

§18. Геометрические свойства функции

1. Вводные замечания

2. Чётность и нечётность функции

3. Монотонность функции

4. Ограниченность функции

§19. Обратные функции

1. Взаимно однозначное соответствие

2. Определение обратной функции

§20. Непрерывность и предел функции

1. Непрерывность функции на промежутке и понятие разрыва в точке

2. Определение непрерывности функции в точке и на промежутке

3. Определение непрерывности для монотонной функции

4. Примеры доказательства непрерывности

5. Точка разрыва функции

6. Общее определение предела функции

7. Идея, лежащая в основе понятий предела и непрерывности

Глава V. Основные элементарные функции: степенная, показательная и логарифмическая

§21. Степенная функция

1. Определение

2. Свойства

§22. Степенная функция с рациональным показателем

§23. Показательная функция

1. Определение и график

2. Основные свойства

§24. Логарифмическая функция

1. Основные свойства логарифмической функции

Глава VI. Основные элементарные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические

§25. Тригонометрические функции как функции расстояний по окружности

1. Перемещение по окружности в заданном направлении на заданное расстояние

2. Определение функций косинуса и синуса числового аргумента

3. Определение функций тангенса и котангенса числового аргумента

§26. Периодические функции

1. Периодические функции и период функции. Периодичность cos x и sin x с периодом 2π

2. Способы записи множества всех точек, в которых выполняется заданное свойство периодической функции

§27. Числа и углы в градусной и радианной мере как аргументы тригонометрических функций

1. Градусная и радианная системы измерения углов

2. Переход между градусной и радианной мерами

3. Функции cos x и sin x как функции действительного числа и угла

4. Поворот в заданном направлении на заданную радианную или градусную меру

5. Аргументы тригонометрических функций

§28. Основные свойства тригонометрических функций и эскизы их графиков

1. Свойства функции cos x и эскиз её графика

2. Свойства функции sin x и эскиз её графика

3. Свойства функции tg x и эскиз её графика

4. Свойства функции ctg x и эскиз её графика

§29. Базовые тригонометрические тождества

1. Основные тригонометрические тождества

2. Формулы сложения

3. Формула сложения для функции cos x

4. Базовые тригонометрические тождества

§30. Основные тригонометрические формулы

1. Косинус разности двух углов

2. Формулы для дополнительных углов

3. Синус суммы и разности

4. Формулы двойного и половинного угла

5. Формулы тангенса и котангенса

6. Сумма и разность косинусов и синусов

§31. Связи между тригонометрическими функциями одного аргумента

§32. Формулы приведения

§33. Обратные тригонометрические функции

1. Обратная функция

2. Обратные тригонометрические функции

3. Обратная тригонометрическая функция арккосинус

4. Обратная тригонометрическая функция арксинус

5. Обратная тригонометрическая функция арктангенс

6. Обратная тригонометрическая функция арккотангенс

Глава VII. Элементарные функции

§34. Определение элементарных функций

1. Замена аргумента одной функции другой функцией — сложные функции

2. Использование арифметических операций для определения новых функций

3. Определение элементарных функций

4. Формулы и правила в записи элементарных функций

5. Область определения элементарной функции по её записи

6. Некоторые замечания к определению элементарной функции

§35. Операции над функциями, приводящие к новым функциям

1. Определение новых функций арифметическими операциями над числовыми функциями

2. Построение новой функции последовательным применением правил

3. Определение новой функции по функциям, заданным на пересекающихся множествах

III. Уравнения и неравенства

Глава VIII. Уравнения и неравенства

§36. Общие сведения о решении уравнений

1. Об использовании знака тождества

2. Уравнение как условное равенство

3. Составление уравнений как метод математического моделирования

4. Постановка задачи решения уравнений

5. Уравнение как задача нахождения аргумента по заданному значению функции

6. О содержании и целях темы «Уравнения»

7. Область определения уравнения f(x)=g(x)

8. Системы и совокупности уравнений

9. Равносильные уравнения

10. Преобразования и преобразованные уравнения

11. Равносильные преобразования

12. Равносильные и неравносильные преобразования с использованием степенных функций

13. Равносильные уравнения на множестве

14. Классификация уравнений

§37. Целые алгебраические уравнения

1. Исследование линейного уравнения

2. Исследование квадратного уравнения

3. Некоторые специальные виды уравнений высших степеней

4. Метод понижения степени целого алгебраического уравнения

V. Дифференциальное и интегральное исчисление

Глава XI. Производная

§55. Задачи, приводящие к понятию производной

1. Скорость в момент времени — мгновенная скорость: модельный случай

2. Скорость в момент времени — мгновенная скорость: общий случай

3. Задача о касательной к графику функции в точке: случай y=x²

4. Задача о касательной к графику функции в точке: общий случай

§56. Производная

1. Определение производной

2. Вычисление производных линейной и квадратичной функций

§57. Вычисление производных дифференцируемых элементарных функций

1. О вычислении производных

2. Техника вычисления производных дифференцируемых элементарных функций

3. Таблица производных основных элементарных функций

4. Правила дифференцирования

5. Таблица производных сложных функций с основной элементарной внешней функцией

6. Вычисление производных элементарных функций, полученных повторным применением правила композиции

§38. Дробно-алгебраические уравнения

§39. Иррациональные уравнения

§40. Показательные и логарифмические уравнения

§41. Уравнения с абсолютной величиной

§42. Тригонометрические уравнения

1. Серии решений уравнения и их запись

2. Основные тригонометрические уравнения

§43. Неравенства

§44. Решение неравенств методом интервалов

1. Чередование знаков значений многочлена на интервалах

2. Изменение знаков значений многочлена на интервалах

3. Метод интервалов решения неравенств

4. Случаи, сводимые к методу интервалов

5. Иррациональные неравенства

IV. Комбинаторика. Теория вероятностей и математическая статистика

Глава IX. Комбинаторика

§58. Неопределённости и их раскрытие

1. Неопределённость вида 0/0

2. Замечательные пределы

3. Метод разложения

4. Метод устранения иррациональности

5. Метод, основанный на определении числа e

§46. Комбинаторика

1. Основное комбинаторное правило: частный случай

2. Основное комбинаторное правило: общий случай

3. Постановка комбинаторной задачи

4. Выборки с возвращением и без возвращения

5. Неупорядоченные и упорядоченные выборки

6. Упорядоченные выборки с возвращением

7. Упорядоченные выборки без возвращения — размещения

8. Перестановки

9. Неупорядоченные выборки без возвращения по k элементов из n — сочетания

Глава X. Теория вероятностей и математическая статистика

§47. Вероятностное пространство — вспомогательные и вероятностные модели

1. Вспомогательная модель

2. Эксперимент и его результат

3. Вероятностная модель

4. Вероятностная модель подбрасывания монеты

§48. Общее правило теории вероятностей

1. Общая схема построения конечной вероятностной модели

2. Эксперимент проведён, результат известен. Произошло ли событие?

3. Практическое значение вероятности события. Закон больших чисел

§49. Первые вероятностные задачи и методы их решения

1. Постановка вероятностной задачи

2. Вероятностное пространство из равновозможных элементарных исходов. Классическое определение вероятности

3. Примеры экспериментов с равновозможными исходами

§50. Событие и его вероятность

1. Алгебра событий

2. Условная вероятность события

3. Независимые события

4. Аддитивное и мультипликативное свойства вероятностей

§51. Основные формулы теории вероятностей

1. Формула умножения вероятностей

2. Формула полной вероятности

3. Формулы Байеса

§52. Случайные величины

1. Определение случайной величины

2. Распределение случайной величины

§53. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины

1. Среднее значение

2. Математическое ожидание случайной величины

3. Дисперсия

4. Подходы к определению разброса значений случайной величины

§54. Математическая статистика

1. Цель математической статистики

2. Оценивание вероятности

3. Генеральная совокупность и выборка значений случайной величины

4. Эмпирический закон распределения случайной величины

5. Оценивание математического ожидания и дисперсии случайной величины