First Year Calculus (For Students of Mathematics and Related Disciplines)

English

Обычная книга

Ссылок: 1

Записей: 333

Michael M.Dougherty

calculus

Страница

PDF откроется в режиме WEBP scan. При необходимости включите полноэкранный режим.

Фильтр картотеки

333 / 333

Поиск по теме/тегу

First Year Calculus (For Students of Mathematics and Related Disciplines)

Подготавливаются страницы книги

Записи

333

1. Математическая логика и множества

Теория

Страница 21

1.1 Логические символы и таблицы истинности

Теория

Страница 22

1.1.1 Лексикографическое упорядочение значений истинности

Теория

Страница 23

1.1.2 Логические операции

Теория

Страница 24

1.1.3 Построение дополнительных таблиц истинности

Теория

Страница 29

1.1.4 Тавтологии и противоречия: первое знакомство

Теория

Страница 31

1.2 Корректные логические эквивалентности как тавтологии

Теория

Страница 35

1.2.1 Идея и определение логической эквивалентности

Теория

Страница 35

1.2.2 Эквивалентности для отрицаний

Теория

Страница 37

1.2.3 Эквивалентные формы импликации

Теория

Страница 38

1.2.4 Другие корректные эквивалентности

Теория

Страница 39

1.2.5 Схемы и логика

Теория

Страница 43

1.2.6 Высказывания $T$ и $F$

Теория

Страница 46

1.3 Корректные импликации и аргументы

Теория

Страница 49

1.3.1 Определение корректных импликаций

Теория

Страница 49

1.3.2 Частичный список корректных импликаций

Теория

Страница 51

1.3.3 Ошибочные рассуждения и корректные аргументы

Теория

Страница 52

1.3.4 Анализ аргументов без таблиц истинности

Теория

Страница 59

1.4 Кванторы и множества

Теория

Страница 65

1.4.1 Множества

Теория

Страница 65

1.4.2 Кванторы

Теория

Страница 67

1.4.3 Высказывания с несколькими кванторами

Теория

Страница 67

1.4.4 Отступление: единственность как независимое понятие

Теория

Страница 69

1.4.5 Отрицание утверждений с кванторами всеобщности и существования

Теория

Страница 70

1.4.6 Отрицание утверждений со смешанными кванторами

Теория

Страница 71

1.5 Свойства множеств

Теория

Страница 74

1.5.1 Подмножества и равенство множеств

Теория

Страница 74

1.5.2 Интервалы и неравенства в $\mathbb{R}$

Теория

Страница 77

1.5.3 Более общие диаграммы Венна

Теория

Страница 79

1.5.4 Операции над множествами

Теория

Страница 80

1.5.5 Подробнее о подмножествах

Теория

Страница 84

1.6 Эпилог: доказательства без таблиц истинности

Теория

Страница 89

1.7 Эпилог по логике

Теория

Страница 93

2. Действительные числа, алгебра и функции (дополнительно)

Теория

Страница 94

2.1 Определение действительных чисел

Теория

Страница 96

2.1.1 Аксиомы

Теория

Страница 98

2.2 Арифметика действительных чисел

Теория

Страница 106

2.2.1 Вычитание как операция, обратная сложению

Теория

Страница 106

2.2.2 Деление как умножение на обратное число

Теория

Страница 107

2.2.3 Сложение и вычитание, умножение и деление

Теория

Страница 108

2.2.4 Целые показатели степени

Теория

Страница 110

2.2.5 Различные преобразования

Теория

Страница 112

2.2.6 Порядок выполнения операций

Теория

Страница 113

2.2.7 Абсолютная величина, размер и расстояние на числовой прямой

Теория

Страница 115

2.2.8 Биномиальное разложение

Теория

Страница 119

2.3 Арифметика единиц измерения и значащие цифры

Теория

Страница 121

2.3.1 Сложение единиц

Теория

Страница 121

2.3.2 Умножение единиц: простейшие случаи

Теория

Страница 122

2.3.3 Деление единиц: скорости

Теория

Страница 123

2.3.4 Преобразования единиц

Теория

Страница 124

2.3.5 Допуски

Теория

Страница 126

2.3.6 Значащие цифры

Теория

Страница 127

2.4 Алгебра

Теория

Страница 131

2.4.1 Полиномиальные уравнения: применение теоремы 2.1.8

Теория

Страница 133

2.4.2 Подробнее о радикалах

Теория

Страница 136

2.4.3 Выделение полного квадрата

Теория

Страница 139

2.4.4 Формула корней квадратного уравнения

Теория

Страница 140

2.5 Функции I

Теория

Страница 143

2.5.1 Различные определения функций и обозначения

Теория

Страница 144

2.5.2 Функции как обработчики входных данных

Теория

Страница 146

2.5.3 Графики, область определения и область значений

Теория

Страница 146

2.5.4 Функции, заданные формулами

Теория

Страница 147

2.6 Основные функции одной переменной

Теория

Страница 149

2.6.1 Линейные функции

Теория

Страница 149

2.6.2 Простые степенные функции

Теория

Страница 151

2.6.3 Корни

Теория

Страница 153

2.6.4 Функция обратной пропорциональности

Теория

Страница 155

2.6.5 Абсолютная величина и кусочно заданные функции

Теория

Страница 156

2.6.6 Показательные функции

Теория

Страница 157

2.6.7 Логарифмические функции

Теория

Страница 160

2.6.8 Функции синуса и косинуса

Теория

Страница 161

2.6.9 Функции арксинуса и арккосинуса

Теория

Страница 164

2.7 Функции III: простые преобразования функций

Теория

Страница 166

2.7.1 Диаграммные функции

Теория

Страница 166

2.7.2 Преобразования сдвига

Теория

Страница 167

2.7.3 Преобразования отражения

Теория

Страница 169

2.7.4 Масштабирование: сжатие и растяжение

Теория

Страница 171

2.7.5 Несколько простых преобразований базовых функций

Теория

Страница 172

2.7.6 Отражение относительно других вертикальных прямых

Теория

Страница 174

2.8 Функции IV: комбинации функций

Теория

Страница 178

2.8.1 Сложение функций

Теория

Страница 179

2.8.2 Умножение функций

Теория

Страница 182

2.8.3 Композиция функций

Теория

Страница 187

3. Непрерывность и пределы функций

Теория

Страница 189

3.1 Определение непрерывности в точке

Теория

Страница 190

3.2 Теоремы о непрерывности

Теория

Страница 201

3.2.1 Основные теоремы

Теория

Страница 202

3.2.2 Односторонняя непрерывность

Теория

Страница 207

3.2.3 Существенные и устранимые разрывы

Теория

Страница 211

3.3 Непрерывность на интервалах

Теория

Страница 215

3.3.1 Основные определения и теоремы непрерывности на интервалах

Теория

Страница 215

3.3.2 Простые применения теоремы о промежуточном значении

Теория

Страница 218

3.3.3 Полиномиальные неравенства

Теория

Страница 219

3.3.4 Рациональные неравенства

Теория

Страница 224

3.4 Конечные пределы в точках

Теория

Страница 229

3.4.1 Определение, теоремы и примеры

Теория

Страница 230

3.4.2 Дополнительные обозначения пределов

Теория

Страница 238

3.4.3 Доказательства теорем о пределах

Теория

Страница 239

3.5 Односторонние конечные пределы

Теория

Страница 243

3.6 Бесконечные пределы в точках

Теория

Страница 250

3.7 Теорема о зажатой функции, композиция и тригонометрическая непрерывность

Теория

Страница 260

3.7.1 Теорема о зажатой функции

Теория

Страница 260

3.7.2 Подходы для независимых и зависимых переменных

Теория

Страница 263

3.7.3 «Зажатие» с одной стороны

Теория

Страница 263

3.7.4 Пределы композиций функций

Теория

Страница 265

3.7.5 Непрерывность тригонометрических функций

Теория

Страница 267

3.7.6 Доказательства

Теория

Страница 269

3.8 Пределы на бесконечности

Теория

Страница 270

3.9 Дополнительные теоремы о пределах и тригонометрические пределы

Теория

Страница 287

3.9.1 Простые теоремы о пределах

Теория

Страница 287

3.9.2 Тригонометрический предел

Теория

Страница 291

3.9.3 Нахождение предела подстановкой

Теория

Страница 295

3.9.4 Эпилог

Теория

Страница 300

3.10 Пределы последовательностей: первое знакомство

Теория

Страница 303

3.10.1 Определения и первые примеры

Теория

Страница 303

3.10.2 Подпоследовательности

Теория

Страница 308

3.11 Последовательности II

Теория

Страница 312

4. Производная

Теория

Страница 314

4.1 Производная: скорость изменения, скорость движения, наклон

Теория

Страница 313

4.1.1 Наклон кривой

Теория

Страница 318

4.1.2 Предельные издержки

Теория

Страница 322

4.1.3 Некоторые дополнительные применения

Теория

Страница 325

4.2 Первые правила дифференцирования и обозначения Лейбница

Теория

Страница 329

4.2.1 Правило степени для положительного целого показателя

Теория

Страница 329

4.2.2 Обозначения Лейбница

Теория

Страница 330

4.2.3 Правила дифференцирования суммы и постоянной

Теория

Страница 331

4.2.4 Возрастающие и убывающие функции, графики многочленов

Теория

Страница 333

4.2.5 Производные синуса и косинуса

Теория

Страница 338

4.2.6 Абсолютная величина и кусочно заданные функции

Теория

Страница 342

4.3 Первые применения производных

Теория

Страница 346

4.3.1 Скорость: вертикальная и горизонтальная

Теория

Страница 346

4.3.2 Поток жидкости

Теория

Страница 348

4.3.3 Энергия, работа и мощность

Теория

Страница 349

4.3.4 Электрический ток

Теория

Страница 350

4.3.5 Закон Ома

Теория

Страница 355

4.3.6 Электромагнитная индукция

Теория

Страница 357

4.4 Правило цепочки I

Теория

Страница 363

4.4.1 Правило цепочки в штриховой записи

Теория

Страница 363

4.4.2 Частичное доказательство правила цепочки

Теория

Страница 365

4.4.3 Обозначения Лейбница и правило цепочки

Теория

Страница 365

4.4.4 Правило цепочки для производных синуса и косинуса

Теория

Страница 368

4.4.5 Правило степени для рациональных показателей

Теория

Страница 371

4.4.6 Доказательство правила степени для рациональных показателей

Теория

Страница 373

4.4.7 Дополнительные примеры

Теория

Страница 374

4.5 Правила произведения, частного и другие тригонометрические правила

Теория

Страница 380

4.5.1 Формулировка и первое применение правила произведения

Теория

Страница 380

4.5.2 Доказательство правила произведения

Теория

Страница 384

4.5.3 Правило частного

Теория

Страница 385

4.5.4 Правила для тангенса, котангенса, секанса и косеканса

Теория

Страница 388

4.5.5 Совместное применение правил

Теория

Страница 390

4.6 Правило цепочки II: неявное дифференцирование

Теория

Страница 395

4.6.1 Обзор правил дифференцирования

Теория

Страница 395

4.6.2 Неявные функции и их производные

Теория

Страница 397

4.6.3 Ошибка, которой следует избегать

Теория

Страница 407

4.6.4 Применение

Теория

Страница 407

4.7 Обратные тригонометрические функции и их производные

Теория

Страница 410

4.7.1 Кратко об однозначных и обратных функциях

Теория

Страница 410

4.7.2 Обратные тригонометрические функции и их производные

Теория

Страница 411

4.7.3 Функция арксинуса и её производная

Теория

Страница 417

4.7.4 Арккосинус и его производная

Теория

Страница 419

4.7.5 Функция арктангенса и её производная

Теория

Страница 421

4.7.6 Функция арксеканса и её производная

Теория

Страница 424

4.7.7 Геометрические и алгебраические рассуждения

Теория

Страница 426

4.8 Показательные функции

Теория

Страница 432

4.8.1 Показательные функции

Теория

Страница 432

4.8.2 Производная специальной показательной функции

Теория

Страница 435

4.8.3 О различиях между многочленами и показательными функциями

Теория

Страница 439

4.9 Натуральный логарифм I

Теория

Страница 441

4.9.1 Алгебра логарифмов

Теория

Страница 441

4.9.2 График функции натурального логарифма

Теория

Страница 444

4.9.3 Производная натурального логарифма

Теория

Страница 445

4.10 Натуральный логарифм II: дополнительные результаты

Теория

Страница 452

4.10.1 Логарифмическое дифференцирование

Теория

Страница 452

4.10.2 Основания, отличные от $e$: логарифмы

Теория

Страница 456

4.10.3 Основания, отличные от $e$: показательные функции

Теория

Страница 457

4.10.4 Производная $f(x)^{g(x)}$

Теория

Страница 459

4.11 Дополнительные интерпретации производной

Теория

Страница 464

4.11.1 Скорость и ускорение

Теория

Страница 464

4.11.2 Мощность

Теория

Страница 464

4.11.3 Поток жидкости и объём

Теория

Страница 464

4.11.4 Рост и распад популяции

Теория

Страница 464

4.11.5 Потребление

Теория

Страница 466

4.11.6 Предельные издержки и прибыль

Теория

Страница 466

5. Использование производных для анализа функций и применения

Теория

Страница 467

5.1 Производные высших порядков и графики

Теория

Страница 468

5.1.1 Производные высших порядков

Теория

Страница 468

5.1.2 Графический смысл второй производной

Теория

Страница 469

5.2 Экстремумы на замкнутом интервале

Теория

Страница 489

5.2.1 Аргументация основной теоремы

Теория

Страница 489

5.2.2 Основная теорема и примеры

Теория

Страница 492

5.2.3 Применения: задачи на максимум и минимум

Теория

Страница 496

5.3 Теорема о среднем значении

Теория

Страница 499

5.3.1 Линейная интерполяция и средняя скорость изменения

Теория

Страница 499

5.3.2 Теорема о среднем значении

Теория

Страница 500

5.3.3 Применения к построению графиков

Теория

Страница 501

5.3.4 Численные приложения

Теория

Страница 503

5.4 Дифференциалы и метод линейного приближения

Теория

Страница 505

5.4.1 Некоторые задачи на приближение

Теория

Страница 505

5.4.2 Линейное приближение

Теория

Страница 507

5.4.3 Линейные приближения и неявные функции

Теория

Страница 511

5.4.4 Дифференциалы

Теория

Страница 513

5.5 Метод приближений Ньютона

Теория

Страница 516

5.5.1 Методы приближения на примере

Теория

Страница 516

5.6 Правило цепочки III: связанные скорости

Теория

Страница 524

5.6.1 Основная идея и пример

Теория

Страница 524

5.6.2 Выбор формы зависимости

Теория

Страница 525

5.6.3 Примеры: нахождение зависимости между переменными

Теория

Страница 529

5.6.4 Дополнительные примеры

Теория

Страница 531

5.6.5 Пример моделирования

Теория

Страница 532

6. Основы интегрирования

Теория

Страница 535

6.1 Первые неопределённые интегралы (первообразные)

Теория

Страница 536

6.1.1 Неопределённые интегралы и постоянные интегрирования

Теория

Страница 536

6.1.2 Правило степени для интегралов

Теория

Страница 538

6.1.3 Нахождение постоянной $C$

Теория

Страница 541

6.1.4 Первые тригонометрические правила

Теория

Страница 544

6.1.5 Интегралы, приводящие к обратным тригонометрическим функциям

Теория

Страница 546

6.1.6 Интегралы, приводящие к показательным функциям

Теория

Страница 548

6.2 Обозначение суммирования (сигма)

Теория

Страница 550

6.3 Суммы Римана и основная теорема математического анализа

Теория

Страница 556

6.3.1 Абсолютные, относительные и процентные ошибки

Теория

Страница 557

6.3.2 Физический пример

Теория

Страница 558

6.3.3 Общие суммы Римана, основная теорема

Теория

Страница 559

6.3.4 Вычисление площадей: геометрическая интерпретация основной теоремы

Теория

Страница 562

6.3.5 Физическое применение: перемещение и пройденный путь

Теория

Страница 566

6.3.6 Бесконечно малые величины

Теория

Страница 566

6.4 Подстановка с использованием степенного правила

Теория

Страница 569

6.4.1 Метод

Теория

Страница 570

6.4.2 Небольшая вариация метода

Теория

Страница 575

6.4.3 Другие подстановки для степенного правила

Теория

Страница 577

6.5 Второй набор тригонометрических правил

Теория

Страница 580

6.5.1 Первообразные шести тригонометрических функций

Теория

Страница 580

6.5.2 Подстановка в основных тригонометрических функциях, часть I

Теория

Страница 581

6.6 Подстановка со всеми основными формами

Теория

Страница 588

6.6.1 Список основных форм

Теория

Страница 589

6.7 Дополнительные арктригонометрические формы

Теория

Страница 595

6.7.1 Разложение на множители для получения $1$

Теория

Страница 595

6.7.2 Выделение полного квадрата

Теория

Страница 598

6.8 Гиперболические функции

Теория

Страница 600

6.8.1 Гиперболические функции и их основные внутренние структуры

Теория

Страница 600

7. Продвинутые методы интегрирования

Теория

Страница 602

7.1 Интегрирование подстановкой: по непосредственному распознаванию

Теория

Страница 602

7.1.1 Метод

Теория

Страница 603

7.1.2 Ограничения метода

Теория

Страница 606

7.2 Интегрирование по частям

Теория

Страница 610

7.2.1 Идея на примерах

Теория

Страница 610

7.2.2 Метод в простейших применениях

Теория

Страница 611

7.2.3 Повторное интегрирование по частям

Теория

Страница 615

7.2.4 Интегралы некоторых других функций

Теория

Страница 616

7.2.5 Косвенный метод

Теория

Страница 617

7.2.6 Дополнительные замечания

Теория

Страница 620

7.3 Тригонометрические интегралы

Теория

Страница 627

7.3.1 Примеры задач

Теория

Страница 627

7.3.2 Нечётные степени синуса или косинуса

Теория

Страница 628

7.3.3 Чётные степени секанса или нечётные степени тангенса

Теория

Страница 633

7.3.4 Чётные степени секанса или нечётные степени котангенса

Теория

Страница 635

7.3.5 Чётные степени синуса и косинуса

Теория

Страница 637

7.3.6 Смешанные задачи и методы I

Теория

Страница 640

7.3.7 Смешанные задачи и методы II

Теория

Страница 644

7.4 Тригонометрическая подстановка

Теория

Страница 650

7.4.1 Введение

Теория

Страница 650

7.4.2 Общий подход

Теория

Страница 655

7.5 Простые дроби и интегрирование

Теория

Страница 661

7.5.1 Теория разложения на простейшие дроби (дополнительно)

Теория

Страница 661

7.5.2 Разложение на простейшие дроби: правила

Теория

Страница 665

7.5.3 Нахождение коэффициентов разложения на простейшие дроби

Теория

Страница 666

7.6 Различные методы

Теория

Страница 677

8. Применения определённых интегралов I: общие подходы

Теория

Страница 678

8.1 Суммы Римана и приближение накопленных величин

Теория

Страница 678

8.2 Другие осложнения

Теория

Страница 679

8.3 Методы приближения определённых интегралов

Теория

Страница 679

8.4 Физические приложения определённых интегралов

Теория

Страница 679

8.4.1 Геометрические приложения

Теория

Страница 679

9. Несобственные интегралы и продвинутые методы вычисления пределов

Теория

Страница 681

9.1 Некоторые асимптотики функций

Теория

Страница 681

9.2 Правило Лопиталя

Теория

Страница 686

9.3 Другие неопределённые формы

Теория

Страница 695

9.3.1 $\infty-\infty$, $0\cdot\infty$

Теория

Страница 695

9.3.2 $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$ и подобные формы

Теория

Страница 697

9.4 Несобственные интегралы

Теория

Страница 700

9.4.1 Первые примеры

Теория

Страница 700

9.4.2 Теоретическая основа и метод

Теория

Страница 701

9.4.3 Бесконечные площади не сокращаются

Теория

Страница 704

9.4.4 Более сложные интегралы

Теория

Страница 706

9.4.5 Сложный случай с осциллирующими и другими интегралами

Теория

Страница 709

10. Числовые ряды

Теория

Страница 711

10.1 Ряды и частичные суммы

Теория

Страница 713

10.1.1 Телескопический ряд

Теория

Страница 714

10.1.2 Геометрические ряды

Теория

Страница 717

10.1.3 Сходимость/расходимость геометрических рядов

Теория

Страница 720

10.2 Необходимое условие расходимости и интегральный признак

Теория

Страница 723

10.2.1 Первый признак расходимости: NTTFD

Теория

Страница 725

10.2.2 Интегральный признак

Теория

Страница 727

10.3 Признаки сравнения

Теория

Страница 732

10.3.1 Прямой признак сравнения

Теория

Страница 733

10.3.2 Иерархия функций и прямой признак сравнения

Теория

Страница 735

10.3.3 Предельный признак сравнения

Теория

Страница 737

10.3.4 Итоги

Теория

Страница 741

10.3.5 Основные теоремы о рядах

Теория

Страница 742

10.4 Знакочередующиеся ряды и абсолютная сходимость

Теория

Страница 744

10.4.1 Признак знакочередующегося ряда

Теория

Страница 744

10.4.2 Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Теория

Страница 747

10.4.3 Последнее замечание об абсолютной сходимости

Теория

Страница 749

10.5 Признаки отношения и корня

Теория

Страница 752

11. Ряды Тейлора

Теория

Страница 759

11.1 Многочлены Тейлора: примеры и вывод

Теория

Страница 760

11.2 Точность $P_N(x)$

Теория

Страница 781

11.3 Ряды Тейлора/Маклорена

Теория

Страница 788

11.3.1 Проверка корректности ряда Тейлора

Теория

Страница 788

11.3.2 Методы записи рядов в сигма-обозначениях

Теория

Страница 791

11.4 Степенные ряды, интервал сходимости

Теория

Страница 794

11.4.1 Определение общего степенного ряда

Теория

Страница 794

11.4.2 Теорема Абеля

Теория

Страница 794

11.4.3 Нахождение интервала и радиуса сходимости

Теория

Страница 795

11.4.4 Связь между рядами Тейлора и степенными рядами

Теория

Страница 797

11.5 Корректные операции с рядами Тейлора/степенными рядами

Теория

Страница 800

11.5.1 Алгебраические преобразования

Теория

Страница 800

11.5.2 Производные и интегралы

Теория

Страница 802

11.5.3 Биномиальный ряд и его применение

Теория

Страница 805

11.6 Осложнения и роль комплексных чисел

Теория

Страница 810

11.6.1 Проблемы, возникающие из-за непрерывности

Теория

Страница 810

11.6.2 Комплексная плоскость

Теория

Страница 813

11.6.3 Роль комплексной плоскости

Теория

Страница 817

11.6.4 Итоги

Теория

Страница 819

12. Темы двумерной аналитической геометрии

Теория

Страница 821

12.1 Конические сечения

Теория

Страница 822

12.1.1 Конические сечения, определённые геометрически

Теория

Страница 822

12.1.2 Простейшие уравнения конических сечений

Теория

Страница 823

12.1.3 Вывод уравнений конических сечений из определений

Теория

Страница 832

12.1.4 Эксцентриситет

Теория

Страница 837

12.2 Параметрические кривые

Теория

Страница 838

12.3 Полярные координаты

Теория

Страница 838

12.4 Математический анализ в полярных координатах

Теория

Страница 838

12.5 Векторы в $\mathbb{R}^2$ и скалярное произведение

Теория

Страница 839

PDF scan недоступен.