Introduction to Methods of Applied Mathematics, 2004

I. Алгебра

1. Множества и функции

1.1 Множества

1.2 Однозначные функции

1.3 Обратные и многозначные функции

1.4 Преобразование уравнений

1.5 Упражнения

1.6 Подсказки

1.7 Решения

2. Векторы

2.1 Векторы

2.1.1 Скаляры и векторы

2.1.2 Дельта Кронекера и соглашение Эйнштейна о суммировании

2.1.3 Скалярное и векторное произведение

2.2 Множества векторов в $n$-мерных пространствах

2.3 Упражнения

2.4 Подсказки

2.5 Решения

II. Математический анализ

3. Дифференциальное исчисление

3.1 Пределы функций

3.2 Непрерывные функции

3.3 Производная

3.4 Неявное дифференцирование

3.5 Максимумы и минимумы

3.6 Теоремы о среднем значении

3.6.1 Применение: использование теоремы Тейлора для приближения функций

3.6.2 Применение: схемы конечных разностей

3.7 Правило Лопиталя

3.8 Упражнения

3.8.1 Пределы функций

3.8.2 Непрерывные функции

3.8.3 Производная

3.8.4 Неявное дифференцирование

3.8.5 Максимумы и минимумы

3.8.6 Теоремы о среднем значении

3.8.7 Правило Лопиталя

3.9 Подсказки

3.10 Решения

3.11 Тест

3.12 Решения теста

4. Интегральное исчисление

4.1 Неопределённый интеграл

4.2 Определённый интеграл

4.2.1 Определение

4.2.2 Свойства

4.3 Основная теорема интегрального исчисления

4.4 Методы интегрирования

4.4.1 Разложение на простейшие дроби

4.5 Несобственные интегралы

4.6 Упражнения

4.6.1 Неопределённый интеграл

4.6.2 Определённый интеграл

4.6.3 Основная теорема интегрирования

4.6.4 Методы интегрирования

4.6.5 Несобственные интегралы

4.7 Подсказки

4.8 Решения

4.9 Тест

4.10 Решения теста

5. Векторный анализ

5.1 Векторные функции

5.2 Градиент, дивергенция и ротор

5.3 Упражнения

5.4 Подсказки

5.5 Решения

5.6 Тест

5.7 Решения теста

III. Функции комплексного переменного

6. Комплексные числа

6.1 Комплексные числа

6.2 Комплексная плоскость

6.3 Полярная форма

6.4 Арифметика и векторы

6.5 Целые показатели

6.6 Рациональные показатели

6.7 Упражнения

6.8 Подсказки

6.9 Решения

7. Функции комплексного переменного

7.1 Кривые и области

7.2 Точка на бесконечности и стереографическая проекция

7.3 Введение в точки ветвления

7.4 Декартова форма и форма модуль-аргумент

7.5 Графики функций комплексного переменного

7.6 Тригонометрические функции

7.7 Обратные тригонометрические функции

7.8 Римановы поверхности

7.9 Точки ветвления

7.10 Упражнения

7.11 Подсказки

7.12 Решения

8. Аналитические функции

8.1 Комплексные производные

8.2 Уравнения Коши–Римана

8.3 Гармонические функции

8.4 Особые точки

8.4.1 Классификация особых точек

8.4.2 Изолированные и неизолированные особые точки

8.5 Применение: потенциальное течение

8.6 Упражнения

8.7 Подсказки

8.8 Решения

9. Аналитическое продолжение

9.1 Аналитическое продолжение

9.2 Аналитическое продолжение сумм

9.3 Аналитические функции, заданные через вещественные переменные

9.3.1 Полярные координаты

9.3.2 Аналитические функции, заданные через вещественную или мнимую части

9.4 Упражнения

9.5 Подсказки

9.6 Решения

10. Контурное интегрирование и теорема Коши–Гурса

10.1 Линейные интегралы

10.2 Контурные интегралы

10.2.1 Интегральная оценка по максимуму модуля

10.3 Теорема Коши–Гурса

10.4 Деформация контура

10.5 Теорема Морера

10.6 Неопределённые интегралы

10.7 Основная теорема анализа через первообразные

10.7.1 Линейные интегралы и первообразные

10.7.2 Контурные интегралы

10.8 Основная теорема анализа через комплексный анализ

10.9 Упражнения

10.10 Подсказки

10.11 Решения

11. Интегральная формула Коши

11.1 Интегральная формула Коши

11.2 Теорема об аргументе

11.3 Теорема Руше

11.4 Упражнения

11.5 Подсказки

11.6 Решения

12. Ряды и сходимость

12.1 Ряды постоянных

12.1.1 Определения

12.1.2 Специальные ряды

12.1.3 Признаки сходимости

12.2 Равномерная сходимость

12.2.1 Признаки равномерной сходимости

12.2.2 Равномерная сходимость и непрерывные функции

12.3 Равномерно сходящиеся степенные ряды

12.4 Интегрирование и дифференцирование степенных рядов

12.5 Ряд Тейлора

12.5.1 Биномиальная формула Ньютона

12.6 Ряд Лорана

12.7 Упражнения

12.7.1 Ряды постоянных

12.7.2 Равномерная сходимость

12.7.3 Равномерно сходящиеся степенные ряды

12.7.4 Интегрирование и дифференцирование степенных рядов

12.7.5 Ряд Тейлора

12.7.6 Ряд Лорана

12.8 Подсказки

12.9 Решения

13. Теорема о вычетах

13.1 Теорема о вычетах

13.2 Главное значение Коши для вещественных интегралов

13.2.1 Главное значение Коши

13.3 Главное значение Коши для контурных интегралов

13.4 Интегралы по вещественной оси

13.5 Интегралы Фурье

13.6 Косинусные и синусные интегралы Фурье

13.7 Контурное интегрирование и разрезы ветвления

13.8 Использование симметрии

13.8.1 Секторные контуры

13.8.2 Прямоугольные контуры

13.9 Определённые интегралы с синусом и косинусом

13.10 Бесконечные суммы

13.11 Упражнения

13.12 Подсказки

13.13 Решения

IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения

14. Дифференциальные уравнения первого порядка

14.1 Обозначения

14.2 Примеры задач

14.2.1 Рост и распад

14.3 Однопараметрические семейства функций

14.4 Интегрируемые формы

14.4.1 Уравнения с разделяющимися переменными

14.4.2 Точные уравнения

14.4.3 Уравнения с однородными коэффициентами

14.5 Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

14.5.1 Однородные уравнения

14.5.2 Неоднородные уравнения

14.5.3 Вариация параметров

14.6 Начальные условия

14.6.1 Кусочно-непрерывные коэффициенты и неоднородности

14.7 Корректно поставленные задачи

14.8 Уравнения на комплексной плоскости

14.8.1 Обыкновенные точки

14.8.2 Регулярные особые точки

14.8.3 Нерегулярные особые точки

14.8.4 Точка на бесконечности

14.9 Дополнительные упражнения

14.10 Подсказки

14.11 Решения

14.12 Тест

14.13 Решения теста

15. Линейные системы дифференциальных уравнений первого порядка

15.1 Введение

15.2 Использование собственных значений и собственных векторов для нахождения однородных решений

15.3 Матрицы и жорданова каноническая форма

15.4 Матричная экспонента

15.5 Упражнения

15.6 Подсказки

15.7 Решения

16. Теория линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

16.1 Точные уравнения

16.2 Характер решений

16.3 Преобразование в систему первого порядка

16.4 Вронскиан

16.4.1 Производная определителя

16.4.2 Вронскиан системы функций

16.4.3 Вронскиан решений дифференциального уравнения

16.5 Корректно поставленные задачи

16.6 Фундаментальная система решений

16.7 Сопряжённые уравнения

16.8 Дополнительные упражнения

16.9 Подсказки

16.10 Решения

16.11 Тест

16.12 Решения теста

17. Методы решения линейных дифференциальных уравнений

17.1 Уравнения с постоянными коэффициентами

17.1.1 Уравнения второго порядка

17.1.2 Вещественнозначные решения

17.1.3 Уравнения высших порядков

17.2 Уравнения Эйлера

17.2.1 Вещественнозначные решения

17.3 Точные уравнения

17.4 Уравнения без явной зависимости от $y$

17.5 Понижение порядка

17.6 Понижение порядка и сопряжённое уравнение

17.7 Дополнительные упражнения

17.8 Подсказки

17.9 Решения

18. Методы решения нелинейных дифференциальных уравнений

18.1 Уравнения Бернулли

18.2 Уравнения Риккати

18.3 Перестановка зависимой и независимой переменных

18.4 Автономные уравнения

18.5 Равноразмерные по $x$ уравнения

18.6 Равноразмерные по $y$ уравнения

18.7 Масштабно-инвариантные уравнения

18.8 Упражнения

18.9 Подсказки

18.10 Решения

19. Преобразования и канонические формы

19.1 Уравнение с постоянными коэффициентами

19.2 Нормальная форма

19.2.1 Уравнения второго порядка

19.2.2 Дифференциальные уравнения высших порядков

19.3 Преобразование независимой переменной

19.3.1 Преобразование к виду $u''+a(x)u=0$

19.3.2 Преобразование к уравнению с постоянными коэффициентами

19.4 Интегральные уравнения

19.4.1 Задачи с начальными условиями

19.4.2 Краевые задачи

19.5 Упражнения

19.6 Подсказки

19.7 Решения

20. Дельта-функция Дирака

20.1 Производная функции Хевисайда

20.2 Дельта-функция как предел

20.3 Высшие размерности

20.4 Некартезианские системы координат

20.5 Упражнения

20.6 Подсказки

20.7 Решения

21. Неоднородные дифференциальные уравнения

21.1 Частные решения

21.2 Метод неопределённых коэффициентов

21.3 Вариация параметров

21.3.1 Дифференциальные уравнения второго порядка

21.3.2 Дифференциальные уравнения высших порядков

21.4 Кусочно-непрерывные коэффициенты и неоднородности

21.5 Неоднородные граничные условия

21.5.1 Устранение неоднородных граничных условий

21.5.2 Разделение неоднородных уравнений и неоднородных граничных условий

21.5.3 Существование решений задач с неоднородными граничными условиями

21.6 Функции Грина для уравнений первого порядка

21.7 Функции Грина для уравнений второго порядка

21.7.1 Функции Грина для задач Штурма–Лиувилля

21.7.2 Задачи с начальными условиями

21.7.3 Задачи с несмешанными граничными условиями

21.7.4 Задачи со смешанными граничными условиями

21.8 Функции Грина для задач высших порядков

21.9 Альтернативная теорема Фредгольма

21.10 Упражнения

21.11 Подсказки

21.12 Решения

21.13 Тест

21.14 Решения теста

22. Разностные уравнения

22.1 Введение

22.2 Точные уравнения

22.3 Однородные уравнения первого порядка

22.4 Неоднородные уравнения первого порядка

22.5 Однородные уравнения с постоянными коэффициентами

22.6 Понижение порядка

22.7 Упражнения

22.8 Подсказки

22.9 Решения

23. Решения дифференциальных уравнений в виде рядов

23.1 Обыкновенные точки

23.1.1 Разложение в ряд Тейлора для дифференциального уравнения второго порядка

23.2 Регулярные особые точки уравнений второго порядка

23.2.1 Индикаторное уравнение

23.2.2 Случай двойного корня

23.2.3 Случай, когда корни отличаются на целое число

23.3 Нерегулярные особые точки

23.4 Точка на бесконечности

23.5 Упражнения

23.6 Подсказки

23.7 Решения

23.8 Тест

23.9 Решения теста

24. Асимптотические разложения

24.1 Асимптотические соотношения

24.2 Поведение главного порядка дифференциальных уравнений

24.3 Интегрирование по частям

24.4 Асимптотические ряды

24.5 Асимптотические разложения дифференциальных уравнений

24.5.1 Уравнение параболического цилиндра

25. Пространства Гильберта

25.1 Линейные пространства

25.2 Скалярные произведения

25.3 Нормы

25.4 Линейная независимость

25.5 Ортогональность

25.6 Ортогонализация Грама–Шмидта

25.7 Ортонормированное функциональное разложение

25.8 Множества функций

25.9 Аппроксимация функции методом наименьших квадратов и полнота

25.10 Соотношение замыкания

25.11 Линейные операторы

25.12 Упражнения

25.13 Подсказки

25.14 Решения

26. Самосопряжённые линейные операторы

26.1 Сопряжённые операторы

26.2 Самосопряжённые операторы

26.3 Упражнения

26.4 Подсказки

26.5 Решения

27. Самосопряжённые краевые задачи

27.1 Обзор сопряжённых операторов

27.2 Формально самосопряжённые операторы

27.3 Самосопряжённые задачи

27.4 Самосопряжённые задачи на собственные значения

27.5 Неоднородные уравнения

27.6 Упражнения

27.7 Подсказки

27.8 Решения

28. Ряды Фурье

28.1 Задача на собственные значения

28.2 Ряды Фурье

28.3 Аппроксимация методом наименьших квадратов

28.4 Ряды Фурье для функций, заданных на произвольных интервалах

28.5 Косинусный ряд Фурье

28.6 Синусный ряд Фурье

28.7 Комплексный ряд Фурье и теорема Парсеваля

28.8 Поведение коэффициентов Фурье

28.9 Явление Гиббса

28.10 Интегрирование и дифференцирование рядов Фурье

28.11 Упражнения

28.12 Подсказки

28.13 Решения

29. Регулярные задачи Штурма–Лиувилля

29.1 Вывод формы Штурма–Лиувилля

29.2 Свойства регулярных задач Штурма–Лиувилля

29.3 Решение дифференциальных уравнений с помощью разложений по собственным функциям

29.4 Упражнения

29.5 Подсказки

29.6 Решения

30. Интегралы и сходимость

30.1 Равномерная сходимость интегралов

30.2 Лемма Римана–Лебега

30.3 Главное значение Коши

30.3.1 Интегралы на бесконечной области

30.3.2 Сингулярные функции

31. Преобразование Лапласа

31.1 Преобразование Лапласа

31.2 Обратное преобразование Лапласа

31.2.1 $\hat f(s)$ с полюсами

31.2.2 $\hat f(s)$ с точками ветвления

31.2.3 Асимптотическое поведение $\hat f(s)$

31.3 Свойства преобразования Лапласа

31.4 Дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

31.5 Системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

31.6 Упражнения

31.7 Подсказки

31.8 Решения

32. Преобразование Фурье

32.1 Вывод из ряда Фурье

32.2 Преобразование Фурье

32.2.1 Предупреждение

32.3 Вычисление интегралов Фурье

32.3.1 Сходящиеся интегралы

32.3.2 Главное значение Коши и неабсолютно сходящиеся интегралы

32.3.3 Аналитическое продолжение

32.4 Свойства преобразования Фурье

32.4.1 Соотношение замыкания

32.4.2 Преобразование Фурье производной

32.4.3 Теорема о свёртке Фурье

32.4.4 Теорема Парсеваля

32.4.5 Свойство сдвига

32.4.6 Преобразование Фурье функции $xf(x)$

32.5 Решение дифференциальных уравнений с помощью преобразования Фурье

32.6 Косинусное и синусное преобразования Фурье

32.6.1 Косинусное преобразование Фурье

32.6.2 Синусное преобразование Фурье

32.7 Свойства косинусного и синусного преобразований Фурье

32.7.1 Преобразования производных

32.7.2 Теоремы о свёртке

32.7.3 Косинусное и синусное преобразования через преобразование Фурье

32.8 Решение дифференциальных уравнений с помощью косинусного и синусного преобразований Фурье

32.9 Упражнения

32.10 Подсказки

32.11 Решения

33. Гамма-функция

33.1 Формула Эйлера

33.2 Формула Ханкеля

33.3 Формула Гаусса

33.4 Формула Вейерштрасса

33.5 Приближение Стирлинга

33.6 Упражнения

33.7 Подсказки

33.8 Решения

34. Функции Бесселя

34.1 Уравнение Бесселя

34.2 Решение в виде ряда Фробениуса в окрестности $z=0$

34.2.1 Поведение на бесконечности

34.3 Функции Бесселя первого рода

34.3.1 Функция Бесселя удовлетворяет уравнению Бесселя

34.3.2 Разложение функции Бесселя в ряд

34.3.3 Функции Бесселя нецелого порядка

34.3.4 Рекуррентные формулы

34.3.5 Функции Бесселя полуцелого порядка

34.4 Разложения Неймана

34.5 Функции Бесселя второго рода

34.6 Функции Ханкеля

34.7 Модифицированное уравнение Бесселя

34.8 Упражнения

34.9 Подсказки

34.10 Решения

V. Дифференциальные уравнения в частных производных

35. Преобразование уравнений

35.1 Упражнения

35.2 Подсказки

35.3 Решения

36. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных

36.1 Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

36.1.1 Гиперболические уравнения

36.1.2 Параболические уравнения

36.1.3 Эллиптические уравнения

36.2 Равновесные решения

36.3 Упражнения

36.4 Подсказки

36.5 Решения

37. Разделение переменных

37.1 Собственные решения однородных уравнений

37.2 Однородные уравнения с однородными граничными условиями

37.3 Не зависящие от времени источники и граничные условия

37.4 Неоднородные уравнения с однородными граничными условиями

37.5 Неоднородные граничные условия

37.6 Волновое уравнение

37.7 Общий метод

37.8 Упражнения

37.9 Подсказки

37.10 Решения

38. Конечные преобразования

38.1 Упражнения

38.2 Подсказки

38.3 Решения

39. Уравнение диффузии

39.1 Упражнения

39.2 Подсказки

39.3 Решения

40. Уравнение Лапласа

40.1 Введение

40.2 Фундаментальное решение

40.2.1 Двумерное пространство

40.3 Упражнения

40.4 Подсказки

40.5 Решения

41. Волны

41.1 Упражнения

41.2 Подсказки

41.3 Решения

42. Методы подобия

42.1 Упражнения

42.2 Подсказки

42.3 Решения

43. Метод характеристик

43.1 Линейные уравнения первого порядка

43.2 Квазилинейные уравнения первого порядка

43.3 Метод характеристик и волновое уравнение

43.4 Волновое уравнение на бесконечной области

43.5 Волновое уравнение на полубесконечной области

43.6 Волновое уравнение на конечной области

43.7 Огибающие кривых

43.8 Упражнения

43.9 Подсказки

43.10 Решения

44. Методы преобразований

44.1 Преобразование Фурье для дифференциальных уравнений в частных производных

44.2 Синусное преобразование Фурье

44.3 Преобразование Фурье

44.4 Упражнения

44.5 Подсказки

44.6 Решения

45. Функции Грина

45.1 Неоднородные уравнения и однородные граничные условия

45.2 Однородные уравнения и неоднородные граничные условия

45.3 Разложения по собственным функциям для эллиптических уравнений