О.А.Жәутіков, Математикалық анализ курсы, 2014

Алғы сөз

1.1. Жиын ұғымы

1.2. Рационал сандар

1.3. Иррационал сан ұғымы

1.4. Нақты сандар жиыны

1.5. Абсолют шама

1.6. Шектелген жиындар

1.7. Интервал мен сегмент

1.8. Жаттығулар

2.1. Айнымалы және тұрақты шамалар

2.2. Сан тізбектері

2.3. Біркелкі тізбектер

2.4. e саны

2.5. Сандар тізбегінің жоғарғы және төменгі шектері

2.6. Жинақтылық принципі

2.7. Бөлімше тізбек

2.8. Шектік нүкте ұғымы және Больцано–Вейерштрасс теоремасы

2.9. Айнымалы шегінің жалпы анықтамасы

2.10. Шектер туралы теоремалар

2.11. Шексіз аз және шексіз үлкен шамалар

2.12. Жаттығулар

3.1. Тәуелсіз айнымалы мен функция ұғымы

3.2. Функциялардың берілу тәсілдері

3.3. Функцияның геометриялық кескіні

3.4. Функцияның анықталу облысы

3.5. Біркелкі функциялар

3.6. Жұп, тақ және периодты функциялар

3.7. Негізгі элементар функциялар туралы қысқаша шолу

3.8. Кері функциялар

3.9. Күрделі функциялар

3.10. Параметрлік түрде берілген функциялар

3.11. Функцияның шегі туралы ұғым

3.12. Функцияның оң жақты және сол жақты шектері

3.13. Функция шегінің қасиеттері

3.14. Үздіксіз функциялар

3.15. Элементар функциялардың үздіксіздігі

3.16. Күрделі функцияның үздіксіздігі

3.17. Үзілісті функциялар

3.18. Үздіксіз функциялардың негізгі қасиеттері

3.19. Жаттығулар

4.1. Туынды ұғымына келтіретін есептер

4.2. Туынды

4.3. Дифференциал ұғымы және оның геометриялық мағынасы

4.4. Күрделі функцияның туындысы мен дифференциалы

4.5. Кері функцияның туындысы

4.6. Функцияларды дифференциалдау ережелері

4.7. Оң және сол туындылар

4.8. Жоғары ретті туындылар

4.9. Жаттығулар

5.1. Ферма мен Ролль теоремалары

5.2. Лагранж бен Коши теоремалары

5.3. Анықталмағандықтарды ашу. Лопиталь ережелері

5.4. Тейлор мен Маклорен формулалары

5.5. Функциялардың өсу және кему белгілері

5.6. Функцияның максимумы мен минимумы

5.7. Экстремумды екінші ретті туынды арқылы зерттеу

5.8. Максимум мен минимум теориясының есеп шығаруға қолданылуы

5.9. Жаттығулар

6.1. Жанама мен нормаль кесінділері

6.2. Дөңестік, ойыстық және майысу нүктелері

6.3. Асимптоталар

6.4. Функциялардың графиктерін құру жолдары

6.5. Жаттығулар

7.1. Алғашқы функция және анықталмаған интеграл

7.2. Таблицалық интегралдар

7.3. Анықталмаған интегралдардың қасиеттері. Айнымалыларды ауыстыру жолымен және бөліктеп интегралдау

7.4. Жабайы рационал бөлшектерді интегралдау

7.5. Рационал функцияларды интегралдау

7.6. Рационал функцияларды Остроградский әдісі бойынша интегралдау

7.7. Иррационал функцияларды интегралдау

7.8. Биномдық дифференциалды интегралдау

7.9. Трансцендент функцияларды интегралдау

7.10. Жаттығулар

8.1. Анықталған интеграл ұғымына келтіретін есептер

8.2. Анықталған интегралдың аналитикалық анықтамасы

8.3. Анықталған интегралдың болу теоремасы, интегралданатын функциялар

8.4. Анықталған интегралдардың қасиеттері

8.5. Орта мән жөніндегі екінші теорема

8.6. Анықталған интегралды есептеп шығару

8.7. Анықталған интегралдағы айнымалыны ауыстыру

8.8. Жаттығулар

9.1. Лагранждың интерполяциялық полиномы

9.2. Анықталған интегралдарды жуықтап есептеу жолдары

9.3. Жаттығулар

10.1. Шектері шексіз интегралдар

10.2. Меншіксіз интегралдардың жинақтылық белгілері

10.3. Шектелмеген функциялардан алынған интегралдар

10.4. Шектелмеген функциялардан алынған интегралдардың жинақтылық белгілері

10.5. Меншіксіз интегралдардың бас мәндері

10.6. Практикада кездесетін кейбір меншіксіз интегралдарды есептеп шығару

10.7. Жаттығулар

11.1. Шекті функция

11.2. Интегралды параметр бойынша дифференциалдау және интегралдау

11.3. Бірқалыпты жинақты интегралдар

11.4. Эйлер интегралдары

11.5. Жаттығулар

12.1. Ауданның анықтамасы

12.2. Жазық фигуралардың ауданын интеграл арқылы өрнектеу

12.3. Доғаның ұзындығы

12.4. Денелердің көлемін анықталған интеграл арқылы өрнектеу

12.5. Қисықтың айналуынан пайда болған беттің ауданын табу

12.6. Анықталған интегралдардың физикалық есептерге қолданылуы

12.7. Математикалық анализдің кейбір мәселелерде қолданылуы жайында

12.8. Жаттығулар

13.1. Қатар ұғымы. Жинақты және жинақсыз қатарлар

13.2. Коши критерийі. Қатарларға жай амалдар жүргізу

13.3. Мүшелері оң қатарлар

13.4. Мүшелері оң қатарлар жинақтылығының жеткілікті белгілері

13.5. Кошидың интегралдық белгісі

13.6. Куммер, Раабе, Бертран және Гаусс белгілері

13.7. Абсолют және шартты жинақты қатарлар

13.8. Абсолют және шартты жинақты қатарлардың қасиеттері

13.9. Абсолют жинақты қатарларға арифметикалық амалдар жүргізу

13.10. Қатарларды қосындылау жөніндегі екі теорема

13.11. Жаттығулар

14.1. Функциялық тізбек

14.2. Функциялық тізбектің бірқалыпты жинақтылығы жөніндегі Коши критерийі

14.3. Функциялық қатар және оның жинақтылығы

14.4. Функциялық қатардың бірқалыпты жинақтылық белгілері

14.5. Қатарлар қосындысының үздіксіздігі

14.6. Функциялық қатарды мүшелеп дифференциалдау

14.7. Функциялық қатарды мүшелеп интегралдау

15.1. Абель теоремалары. Дәрежелік қатардың жинақтылық интервалы

15.2. Дәрежелік қатардың жинақтылық радиусын табу жолы

15.3. Дәрежелік қатардың бірқалыпты жинақтылығы және онымен кескінделетін функциялардың үздіксіздігі

15.4. Дәрежелік қатарды дифференциалдау және интегралдау

15.5. Маклорен мен Тейлор қатарлары. Функцияларды дәрежелік қатарға жіктеу

15.6. Маклорен мен Тейлор қатарларының жинақтылығы

15.7. Биномдық қатар

15.8. Жаттығулар

16.1. Тригонометриялық қатар ұғымы

16.2. Фурье қатары

16.3. Функцияны тек косинустар және тек синустар бойынша Фурье қатарына жіктеу

16.4. Периоды 2π функцияның Фурье қатарына жіктелуі

16.5. Комплекс түрдегі Фурье қатары

16.6. Дирихле интегралы

16.7. Риман–Лебег теоремасы

16.8. Фурье қатарының жинақтылығы

16.9. Тригонометриялық көпмүшенің берілген функциядан орта квадраттық ауытқуы

16.10. Фурье қатарының орта жинақтылығы

16.11. Дифференциалдық функция үшін Фурье қатарының жинақтылығы

16.12. Ортогональ системалар

16.13. Ортогональ система бойынша Фурье қатарын құру

16.14. Фурье интегралы

16.15. Вейерштрасс теоремалары

16.16. Жаттығулар

17.1. Көп айнымалы функциясының ұғымы

17.2. Көп айнымалы функциясының шегі туралы ұғым

17.3. Көп айнымалы функциясының үздіксіздігі

18.1. Дербес туындылар

18.2. Дербес туындылардың бар болуы мен функцияның үздіксіздігі. Дифференциалдар ретін тәуелсіздігі

18.3. Көп айнымалы функциясының толық дифференциалы

18.4. Күрделі функциялар және оларды дифференциалдау

18.5. Біртектес функциялар

18.6. Көп айнымалылар функциялары үшін Тейлор формуласы

18.7. Көп айнымалылар функцияларының экстремумдары

18.8. Функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табу

18.9. Салыстырмалы экстремумдар

18.10. Жабық функциялар

18.11. Функциялық анықтауыш және түрлендіруші

18.12. Жаттығулар

19.1. Бірінші типті қисық сызықты интеграл

19.2. I типті қисық сызықты интегралды есептеп шығару жолы

19.3. Екінші типті қисық сызықты интеграл

19.4. II типті қисық сызықты интегралды есептеп шығару жолы

19.5. Бірінші типті қисық сызықты интеграл мен екінші типті қисық сызықты интегралдың арасындағы байланыс

19.6. Жаттығулар

20.1. Қос интеграл ұғымына келтіретін есеп. Қос интеграл ұғымы

20.2. Қайталанған интеграл ұғымы

20.3. Қос интегралды есептеп шығару тәсілі

20.4. Грин формуласы

20.5. Қисық сызықты интегралдың интегралдау қисығына тәуелсіздігі

20.6. Қос интегралдар арқылы жазық фигуралардың ауданын табу

20.7. Қос интегралдағы айнымалыларды ауыстыру

20.8. Қисық беттің ауданын табу

20.9. Меншіксіз қос интегралдар

20.10. Жаттығулар

21.1. Бірінші типті беттік интеграл

21.2. Бірінші типті беттік интегралға келтірілетін физикалық есептер

21.3. Екінші типті беттік интеграл

21.4. I және II типті беттік интегралдардың арасындағы байланыс

21.5. Стокс формуласы

21.6. Жаттығулар

22.1. Үш еселік интегралдың анықтамасы және оның болу шарттары

22.2. Үш еселік интегралдың жай қасиеттері

22.3. Үш еселік интегралды есептеп шығару тәсілі

22.4. Остроградский формуласы

22.5. Үш еселік интеграл арқылы дененің көлемін табу

22.6. Үш еселік интегралдағы айнымалыларды ауыстыру

22.7. Жоғары еселік интегралға келетін бір физикалық мысал

22.8. Жаттығулар

23.1. Векторлық дифференциалдау

23.2. Скалярлық және векторлық өрістер

23.3. Скалярлық өрістің градиенті

23.4. Векторлық өріс

23.5. Беттегі бағытталған элемент