Introduction to Methods of Applied Mathematics, 2004

I. Алгебра

1. Жиындар және функциялар

1.1 Жиындар

1.2 Бірмәнді функциялар

1.3 Кері және көпмәнді функциялар

1.4 Теңдеулерді түрлендіру

1.5 Жаттығулар

1.6 Нұсқаулар

1.7 Шешімдер

2. Векторлар

2.1 Векторлар

2.1.1 Скалярлар және векторлар

2.1.2 Кронекер дельтасы және Эйнштейннің қосындылау келісімі

2.1.3 Скаляр және векторлық көбейтінді

2.2 $n$ өлшемді кеңістіктегі векторлар жиындары

2.3 Жаттығулар

2.4 Нұсқаулар

2.5 Шешімдер

II. Математикалық анализ

3. Дифференциалдық есептеу

3.1 Функциялардың шектері

3.2 Үзіліссіз функциялар

3.3 Туынды

3.4 Айқын емес дифференциалдау

3.5 Максимумдар және минимумдар

3.6 Орта мән туралы теоремалар

3.6.1 Қолданылуы: функцияларды жуықтау үшін Тейлор теоремасын пайдалану

3.6.2 Қолданылуы: ақырлы айырымдар схемалары

3.7 Лопиталь ережесі

3.8 Жаттығулар

3.8.1 Функциялардың шектері

3.8.2 Үзіліссіз функциялар

3.8.3 Туынды

3.8.4 Айқын емес дифференциалдау

3.8.5 Максимумдар және минимумдар

3.8.6 Орта мән туралы теоремалар

3.8.7 Лопиталь ережесі

3.9 Нұсқаулар

3.10 Шешімдер

3.11 Тест

3.12 Тест шешімдері

4. Интегралдық есептеу

4.1 Анықталмаған интеграл

4.2 Анықталған интеграл

4.2.1 Анықтамасы

4.2.2 Қасиеттері

4.3 Интегралдық есептеудің негізгі теоремасы

4.4 Интегралдау әдістері

4.4.1 Жай бөлшектерге жіктеу

4.5 Меншіксіз интегралдар

4.6 Жаттығулар

4.6.1 Анықталмаған интеграл

4.6.2 Анықталған интеграл

4.6.3 Интегралдаудың негізгі теоремасы

4.6.4 Интегралдау әдістері

4.6.5 Меншіксіз интегралдар

4.7 Нұсқаулар

4.8 Шешімдер

4.9 Тест

4.10 Тест шешімдері

5. Векторлық анализ

5.1 Векторлық функциялар

5.2 Градиент, дивергенция және ротор

5.3 Жаттығулар

5.4 Нұсқаулар

5.5 Шешімдер

5.6 Тест

5.7 Тест шешімдері

III. Комплекс айнымалы функциялары

6. Комплекс сандар

6.1 Комплекс сандар

6.2 Комплекс жазықтық

6.3 Полярлық түр

6.4 Арифметика және векторлар

6.5 Бүтін көрсеткіштер

6.6 Рационал көрсеткіштер

6.7 Жаттығулар

6.8 Нұсқаулар

6.9 Шешімдер

7. Комплекс айнымалы функциялары

7.1 Қисықтар және облыстар

7.2 Шексіздіктегі нүкте және стереографиялық проекция

7.3 Тармақталу нүктелеріне кіріспе

7.4 Декарттық және модуль-аргументтік түр

7.5 Комплекс айнымалы функцияларының графиктері

7.6 Тригонометриялық функциялар

7.7 Кері тригонометриялық функциялар

7.8 Риман беттері

7.9 Тармақталу нүктелері

7.10 Жаттығулар

7.11 Нұсқаулар

7.12 Шешімдер

8. Аналитикалық функциялар

8.1 Комплекс туындылар

8.2 Коши–Риман теңдеулері

8.3 Гармоникалық функциялар

8.4 Ерекше нүктелер

8.4.1 Ерекше нүктелерді жіктеу

8.4.2 Оқшауланған және оқшауланбаған ерекше нүктелер

8.5 Қолданылуы: потенциалдық ағын

8.6 Жаттығулар

8.7 Нұсқаулар

8.8 Шешімдер

9. Аналитикалық жалғастыру

9.1 Аналитикалық жалғастыру

9.2 Қосындыларды аналитикалық жалғастыру

9.3 Нақты айнымалылар арқылы анықталған аналитикалық функциялар

9.3.1 Полярлық координаталар

9.3.2 Нақты немесе жорамал бөліктері арқылы анықталған аналитикалық функциялар

9.4 Жаттығулар

9.5 Нұсқаулар

9.6 Шешімдер

10. Контурлық интегралдау және Коши–Гурса теоремасы

10.1 Сызықтық интегралдар

10.2 Контурлық интегралдар

10.2.1 Максимум модуль бойынша интегралдық бағалау

10.3 Коши–Гурса теоремасы

10.4 Контурды деформациялау

10.5 Морера теоремасы

10.6 Анықталмаған интегралдар

10.7 Алғашқы функциялар арқылы математикалық анализдің негізгі теоремасы

10.7.1 Сызықтық интегралдар және алғашқы функциялар

10.7.2 Контурлық интегралдар

10.8 Комплекстік анализ арқылы математикалық анализдің негізгі теоремасы

10.9 Жаттығулар

10.10 Нұсқаулар

10.11 Шешімдер

11. Кошидің интегралдық формуласы

11.1 Кошидің интегралдық формуласы

11.2 Аргумент теоремасы

11.3 Руше теоремасы

11.4 Жаттығулар

11.5 Нұсқаулар

11.6 Шешімдер

12. Қатарлар және жинақтылық

12.1 Тұрақтылар қатарлары

12.1.1 Анықтамалар

12.1.2 Арнайы қатарлар

12.1.3 Жинақтылық белгілері

12.2 Бірқалыпты жинақтылық

12.2.1 Бірқалыпты жинақтылық белгілері

12.2.2 Бірқалыпты жинақтылық және үзіліссіз функциялар

12.3 Бірқалыпты жинақталатын дәрежелік қатарлар

12.4 Дәрежелік қатарларды интегралдау және дифференциалдау

12.5 Тейлор қатары

12.5.1 Ньютонның бином формуласы

12.6 Лоран қатары

12.7 Жаттығулар

12.7.1 Тұрақтылар қатарлары

12.7.2 Бірқалыпты жинақтылық

12.7.3 Бірқалыпты жинақталатын дәрежелік қатарлар

12.7.4 Дәрежелік қатарларды интегралдау және дифференциалдау

12.7.5 Тейлор қатары

12.7.6 Лоран қатары

12.8 Нұсқаулар

12.9 Шешімдер

13. Қалындылар теоремасы

13.1 Қалындылар теоремасы

13.2 Нақты интегралдар үшін Кошидің бас мәні

13.2.1 Кошидің бас мәні

13.3 Контурлық интегралдар үшін Кошидің бас мәні

13.4 Нақты ось бойындағы интегралдар

13.5 Фурье интегралдары

13.6 Фурьенің косинустық және синустық интегралдары

13.7 Контурлық интегралдау және тармақ кесіктері

13.8 Симметрияны пайдалану

13.8.1 Секторлық контурлар

13.8.2 Тікбұрышты контурлар

13.9 Синус пен косинус қатысатын анықталған интегралдар

13.10 Шексіз қосындылар

13.11 Жаттығулар

13.12 Нұсқаулар

13.13 Шешімдер

IV. Қарапайым дифференциалдық теңдеулер

14. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер

14.1 Белгілеулер

14.2 Мысал есептер

14.2.1 Өсу және ыдырау

14.3 Бір параметрлі функциялар отбасылары

14.4 Интегралданатын түрлер

14.4.1 Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер

14.4.2 Дәл теңдеулер

14.4.3 Біртекті коэффициентті теңдеулер

14.5 Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеу

14.5.1 Біртекті теңдеулер

14.5.2 Біртекті емес теңдеулер

14.5.3 Параметрлерді вариациялау

14.6 Бастапқы шарттар

14.6.1 Бөліктеп үзіліссіз коэффициенттер және біртекті емес мүшелер

14.7 Дұрыс қойылған есептер

14.8 Комплекс жазықтықтағы теңдеулер

14.8.1 Қарапайым нүктелер

14.8.2 Дұрыс ерекше нүктелер

14.8.3 Дұрыс емес ерекше нүктелер

14.8.4 Шексіздіктегі нүкте

14.9 Қосымша жаттығулар

14.10 Нұсқаулар

14.11 Шешімдер

14.12 Тест

14.13 Тест шешімдері

15. Бірінші ретті сызықтық дифференциалдық теңдеулер жүйелері

15.1 Кіріспе

15.2 Біртекті шешімдерді табу үшін меншікті мәндер мен меншікті векторларды пайдалану

15.3 Матрицалар және Жорданның канондық түрі

15.4 Матрицалық экспонента

15.5 Жаттығулар

15.6 Нұсқаулар

15.7 Шешімдер

16. Сызықтық қарапайым дифференциалдық теңдеулер теориясы

16.1 Дәл теңдеулер

16.2 Шешімдердің табиғаты

16.3 Бірінші ретті жүйеге түрлендіру

16.4 Вронскиан

16.4.1 Анықтауыштың туындысы

16.4.2 Функциялар жүйесінің Вронскианы

16.4.3 Дифференциалдық теңдеу шешімдерінің Вронскианы

16.5 Дұрыс қойылған есептер

16.6 Шешімдердің фундаменталдық жүйесі

16.7 Түйіндес теңдеулер

16.8 Қосымша жаттығулар

16.9 Нұсқаулар

16.10 Шешімдер

16.11 Тест

16.12 Тест шешімдері

17. Сызықтық дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістері

17.1 Тұрақты коэффициентті теңдеулер

17.1.1 Екінші ретті теңдеулер

17.1.2 Нақты мәнді шешімдер

17.1.3 Жоғары ретті теңдеулер

17.2 Эйлер теңдеулері

17.2.1 Нақты мәнді шешімдер

17.3 Дәл теңдеулер

17.4 $y$-ке айқын тәуелділігі жоқ теңдеулер

17.5 Ретті төмендету

17.6 Ретті төмендету және түйіндес теңдеу

17.7 Қосымша жаттығулар

17.8 Нұсқаулар

17.9 Шешімдер

18. Сызықтық емес дифференциалдық теңдеулерді шешу әдістері

18.1 Бернулли теңдеулері

18.2 Риккати теңдеулері

18.3 Тәуелді және тәуелсіз айнымалыларды алмастыру

18.4 Автономды теңдеулер

18.5 $x$ бойынша теңөлшемді теңдеулер

18.6 $y$ бойынша теңөлшемді теңдеулер

18.7 Масштабқа инвариантты теңдеулер

18.8 Жаттығулар

18.9 Нұсқаулар

18.10 Шешімдер

19. Түрлендірулер және канондық түрлер

19.1 Тұрақты коэффициентті теңдеу

19.2 Қалыпты түр

19.2.1 Екінші ретті теңдеулер

19.2.2 Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер

19.3 Тәуелсіз айнымалыны түрлендіру

19.3.1 $u''+a(x)u=0$ түріне түрлендіру

19.3.2 Тұрақты коэффициентті теңдеуге түрлендіру

19.4 Интегралдық теңдеулер

19.4.1 Бастапқы мәндер есебі

19.4.2 Шекаралық есептер

19.5 Жаттығулар

19.6 Нұсқаулар

19.7 Шешімдер

20. Дирактың дельта-функциясы

20.1 Хевисайд функциясының туындысы

20.2 Дельта-функция шек ретінде

20.3 Жоғары өлшемдер

20.4 Тікбұрышты емес координаталар жүйелері

20.5 Жаттығулар

20.6 Нұсқаулар

20.7 Шешімдер

21. Біртекті емес дифференциалдық теңдеулер

21.1 Дербес шешімдер

21.2 Анықталмаған коэффициенттер әдісі

21.3 Параметрлерді вариациялау

21.3.1 Екінші ретті дифференциалдық теңдеулер

21.3.2 Жоғары ретті дифференциалдық теңдеулер

21.4 Бөліктеп үзіліссіз коэффициенттер және біртекті емес мүшелер

21.5 Біртекті емес шекаралық шарттар

21.5.1 Біртекті емес шекаралық шарттарды жою

21.5.2 Біртекті емес теңдеулер мен біртекті емес шекаралық шарттарды бөлу

21.5.3 Біртекті емес шекаралық шарттары бар есептер шешімдерінің бар болуы

21.6 Бірінші ретті теңдеулер үшін Грин функциялары

21.7 Екінші ретті теңдеулер үшін Грин функциялары

21.7.1 Штурм–Лиувилль есептері үшін Грин функциялары

21.7.2 Бастапқы мәндер есебі

21.7.3 Аралас емес шекаралық шарттары бар есептер

21.7.4 Аралас шекаралық шарттары бар есептер

21.8 Жоғары ретті есептер үшін Грин функциялары

21.9 Фредгольмнің альтернатив теоремасы

21.10 Жаттығулар

21.11 Нұсқаулар

21.12 Шешімдер

21.13 Тест

21.14 Тест шешімдері

22. Айырымдық теңдеулер

22.1 Кіріспе

22.2 Дәл теңдеулер

22.3 Бірінші ретті біртекті теңдеулер

22.4 Бірінші ретті біртекті емес теңдеулер

22.5 Тұрақты коэффициентті біртекті теңдеулер

22.6 Ретті төмендету

22.7 Жаттығулар

22.8 Нұсқаулар

22.9 Шешімдер

23. Дифференциалдық теңдеулердің қатарлық шешімдері

23.1 Қарапайым нүктелер

23.1.1 Екінші ретті дифференциалдық теңдеу үшін Тейлор қатарына жіктеу

23.2 Екінші ретті теңдеулердің дұрыс ерекше нүктелері

23.2.1 Индикаторлық теңдеу

23.2.2 Қос түбір жағдайы

23.2.3 Түбірлердің айырмасы бүтін сан болған жағдай

23.3 Дұрыс емес ерекше нүктелер

23.4 Шексіздіктегі нүкте

23.5 Жаттығулар

23.6 Нұсқаулар

23.7 Шешімдер

23.8 Тест

23.9 Тест шешімдері

24. Асимптотикалық жіктеулер

24.1 Асимптотикалық қатынастар

24.2 Дифференциалдық теңдеулердің жетекші ретті мінез-құлқы

24.3 Бөліктеп интегралдау

24.4 Асимптотикалық қатарлар

24.5 Дифференциалдық теңдеулердің асимптотикалық жіктеулері

24.5.1 Параболалық цилиндр теңдеуі

25. Гильберт кеңістіктері

25.1 Сызықтық кеңістіктер

25.2 Ішкі көбейтінділер

25.3 Нормалар

25.4 Сызықтық тәуелсіздік

25.5 Ортогоналдық

25.6 Грам–Шмидт ортогоналдауы

25.7 Ортонормаланған функциялық жіктеу

25.8 Функциялар жиындары

25.9 Функцияны ең кіші квадраттар әдісімен жуықтау және толықтық

25.10 Тұйықталу қатынасы

25.11 Сызықтық операторлар

25.12 Жаттығулар

25.13 Нұсқаулар

25.14 Шешімдер

26. Өздігінен түйіндес сызықтық операторлар

26.1 Түйіндес операторлар

26.2 Өздігінен түйіндес операторлар

26.3 Жаттығулар

26.4 Нұсқаулар

26.5 Шешімдер

27. Өздігінен түйіндес шекаралық есептер

27.1 Түйіндес операторларға шолу

27.2 Формалды өздігінен түйіндес операторлар

27.3 Өздігінен түйіндес есептер

27.4 Өздігінен түйіндес меншікті мәндер есептері

27.5 Біртекті емес теңдеулер

27.6 Жаттығулар

27.7 Нұсқаулар

27.8 Шешімдер

28. Фурье қатарлары

28.1 Меншікті мәндер есебі

28.2 Фурье қатарлары

28.3 Ең кіші квадраттар әдісімен жуықтау

28.4 Еркін аралықтарда анықталған функциялардың Фурье қатарлары

28.5 Фурьенің косинустық қатары

28.6 Фурьенің синустық қатары

28.7 Комплекстік Фурье қатары және Парсеваль теоремасы

28.8 Фурье коэффициенттерінің мінез-құлқы

28.9 Гиббс құбылысы

28.10 Фурье қатарларын интегралдау және дифференциалдау

28.11 Жаттығулар

28.12 Нұсқаулар

28.13 Шешімдер

29. Дұрыс Штурм–Лиувилль есептері

29.1 Штурм–Лиувилль түрін шығару

29.2 Дұрыс Штурм–Лиувилль есептерінің қасиеттері

29.3 Дифференциалдық теңдеулерді меншікті функциялар бойынша жіктеулер арқылы шешу

29.4 Жаттығулар

29.5 Нұсқаулар

29.6 Шешімдер

30. Интегралдар және жинақтылық

30.1 Интегралдардың бірқалыпты жинақтылығы

30.2 Риман–Лебег леммасы

30.3 Кошидің бас мәні

30.3.1 Шексіз облыстағы интегралдар

30.3.2 Ерекше функциялар

31. Лаплас түрлендіруі

31.1 Лаплас түрлендіруі

31.2 Кері Лаплас түрлендіруі

31.2.1 Полюстері бар $\hat f(s)$

31.2.2 Тармақталу нүктелері бар $\hat f(s)$

31.2.3 $\hat f(s)$ функциясының асимптотикалық мінез-құлқы

31.3 Лаплас түрлендіруінің қасиеттері

31.4 Тұрақты коэффициентті дифференциалдық теңдеулер

31.5 Тұрақты коэффициентті дифференциалдық теңдеулер жүйелері

31.6 Жаттығулар

31.7 Нұсқаулар

31.8 Шешімдер

32. Фурье түрлендіруі

32.1 Фурье қатарынан шығару

32.2 Фурье түрлендіруі

32.2.1 Ескерту

32.3 Фурье интегралдарын есептеу

32.3.1 Жинақталатын интегралдар

32.3.2 Кошидің бас мәні және абсолют жинақталмайтын интегралдар

32.3.3 Аналитикалық жалғастыру

32.4 Фурье түрлендіруінің қасиеттері

32.4.1 Тұйықталу қатынасы

32.4.2 Туындының Фурье түрлендіруі

32.4.3 Фурье орамының теоремасы

32.4.4 Парсеваль теоремасы

32.4.5 Ығысу қасиеті

32.4.6 $xf(x)$ функциясының Фурье түрлендіруі

32.5 Дифференциалдық теңдеулерді Фурье түрлендіруі арқылы шешу

32.6 Фурьенің косинустық және синустық түрлендірулері

32.6.1 Фурьенің косинустық түрлендіруі

32.6.2 Фурьенің синустық түрлендіруі

32.7 Фурьенің косинустық және синустық түрлендірулерінің қасиеттері

32.7.1 Туындылардың түрлендірулері

32.7.2 Орам теоремалары

32.7.3 Косинустық және синустық түрлендірулерді Фурье түрлендіруі арқылы өрнектеу

32.8 Дифференциалдық теңдеулерді Фурьенің косинустық және синустық түрлендірулері арқылы шешу

32.9 Жаттығулар

32.10 Нұсқаулар

32.11 Шешімдер

33. Гамма-функция

33.1 Эйлер формуласы

33.2 Ханкель формуласы

33.3 Гаусс формуласы

33.4 Вейерштрасс формуласы

33.5 Стирлинг жуықтауы

33.6 Жаттығулар

33.7 Нұсқаулар

33.8 Шешімдер

34. Бессель функциялары

34.1 Бессель теңдеуі

34.2 $z=0$ маңындағы Фробениус қатары түріндегі шешім

34.2.1 Шексіздіктегі мінез-құлық

34.3 Бірінші текті Бессель функциялары

34.3.1 Бессель функциясы Бессель теңдеуін қанағаттандырады

34.3.2 Бессель функциясын қатарға жіктеу

34.3.3 Бүтін емес ретті Бессель функциялары

34.3.4 Рекурренттік формулалар

34.3.5 Жартылай бүтін ретті Бессель функциялары

34.4 Нейман жіктеулері

34.5 Екінші текті Бессель функциялары

34.6 Ханкель функциялары

34.7 Модификацияланған Бессель теңдеуі

34.8 Жаттығулар

34.9 Нұсқаулар

34.10 Шешімдер

V. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер

35. Теңдеулерді түрлендіру

35.1 Жаттығулар

35.2 Нұсқаулар

35.3 Шешімдер

36. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді жіктеу

36.1 Екінші ретті квазисызықтық теңдеулерді жіктеу

36.1.1 Гиперболалық теңдеулер

36.1.2 Параболалық теңдеулер

36.1.3 Эллипстік теңдеулер

36.2 Тепе-теңдік шешімдері

36.3 Жаттығулар

36.4 Нұсқаулар

36.5 Шешімдер

37. Айнымалыларды ажырату

37.1 Біртекті теңдеулердің меншікті шешімдері

37.2 Біртекті шекаралық шарттары бар біртекті теңдеулер

37.3 Уақытқа тәуелсіз көздер және шекаралық шарттар

37.4 Біртекті шекаралық шарттары бар біртекті емес теңдеулер

37.5 Біртекті емес шекаралық шарттар

37.6 Толқын теңдеуі

37.7 Жалпы әдіс

37.8 Жаттығулар

37.9 Нұсқаулар

37.10 Шешімдер

38. Ақырлы түрлендірулер

38.1 Жаттығулар

38.2 Нұсқаулар

38.3 Шешімдер

39. Диффузия теңдеуі

39.1 Жаттығулар

39.2 Нұсқаулар

39.3 Шешімдер

40. Лаплас теңдеуі

40.1 Кіріспе

40.2 Фундаменталдық шешім

40.2.1 Екіөлшемді кеңістік

40.3 Жаттығулар

40.4 Нұсқаулар

40.5 Шешімдер

41. Толқындар

41.1 Жаттығулар

41.2 Нұсқаулар

41.3 Шешімдер

42. Ұқсастық әдістері

42.1 Жаттығулар

42.2 Нұсқаулар

42.3 Шешімдер

43. Сипаттамалар әдісі

43.1 Бірінші ретті сызықтық теңдеулер

43.2 Бірінші ретті квазисызықтық теңдеулер

43.3 Сипаттамалар әдісі және толқын теңдеуі

43.4 Шексіз облыстағы толқын теңдеуі

43.5 Жартылай шексіз облыстағы толқын теңдеуі

43.6 Ақырлы облыстағы толқын теңдеуі

43.7 Қисықтар жанамаларының орауышы

43.8 Жаттығулар

43.9 Нұсқаулар

43.10 Шешімдер

44. Түрлендіру әдістері

44.1 Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер үшін Фурье түрлендіруі

44.2 Фурьенің синустық түрлендіруі

44.3 Фурье түрлендіруі

44.4 Жаттығулар

44.5 Нұсқаулар

44.6 Шешімдер

45. Грин функциялары

45.1 Біртекті емес теңдеулер және біртекті шекаралық шарттар

45.2 Біртекті теңдеулер және біртекті емес шекаралық шарттар

45.3 Эллипстік теңдеулер үшін меншікті функциялар бойынша жіктеулер