Сандық өрнектерді тепе-тең түрлендіру (Рустюмова 1.1.4)

 +/-  - Есептің жауабын көрсету/көрсетпеу.

▲/▼ - Жауап орнын жасыру/шығару

   ×    - Сұрақты алып тастау.

Бөлшектің бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз.

№ 1 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: $\dfrac{4}{{3 - \sqrt 3 }}$

Шешуі: $$ = \dfrac{{4(3 + \sqrt 3 )}}{{(3 - \sqrt 3 )(3 + \sqrt 3 )}} = \dfrac{{4(3 + \sqrt 3 )}}{{{3^2} - {{(\sqrt 3 )}^2}}} = \dfrac{{4(3 + \sqrt 3 )}}{{9 - 3}} = \dfrac{{2(3 + \sqrt 3 )}}{3} = \dfrac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3}$$

№ 2 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: $\dfrac{6}{{3\sqrt 2 + 4}}$

Шешуі: $$ = \dfrac{{6(3\sqrt 2 - 4)}}{{(3\sqrt 2 - 4)(3\sqrt 2 + 4)}} = \dfrac{{6(3\sqrt 2 - 4)}}{{{{(3\sqrt 2 )}^2} - {4^2}}} = \dfrac{{6(3\sqrt 2 - 4)}}{2} = 3(3\sqrt 2 - 4) = 9\sqrt 2 - 12$$

№ 3 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: ${\dfrac{4}{{\sqrt 7 - \sqrt 3 }}}$

Шешуі: $${ = \dfrac{{4(\sqrt 7 + \sqrt 3 )}}{{(\sqrt 7 - \sqrt 3 )(\sqrt 7 + \sqrt 3 )}} = \dfrac{{4(\sqrt 7 + \sqrt 3 )}}{{{{(\sqrt 7 )}^2} - {{(\sqrt 3 )}^2}}} = \sqrt 7 + \sqrt 3 }$$

№ 4 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: ${\dfrac{{17}}{{3\sqrt 5 - 2\sqrt 7 }}}$

Шешуі: $${ = \dfrac{{17(3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 )}}{{(3\sqrt 5 - 2\sqrt 7 )(3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 )}} = \dfrac{{17(3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 )}}{{{{(3\sqrt 5 )}^2} - {{(2\sqrt 7 )}^2}}} = \dfrac{{17(3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 )}}{{45 - 28}} = 3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 }$$

№ 5 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: $\dfrac{7}{{\sqrt {5 - \sqrt {11} } }}$

Шешуі: $$ = \dfrac{{7\sqrt {5 - \sqrt {11} } }}{{\sqrt {5 - \sqrt {11} } \cdot \sqrt {5 - \sqrt {11} } }} = \dfrac{{7\sqrt {5 - \sqrt {11} } }}{{5 - \sqrt {11} }} = \dfrac{{7\sqrt {5 - \sqrt {11} } \cdot (5 + \sqrt {11} )}}{{(5 - \sqrt {11} )(5 + \sqrt {11} )}} = \dfrac{{7\sqrt {5 - \sqrt {11} } \cdot (5 + \sqrt {11} )}}{{25 - 11}} = $$ $$ = \dfrac{{7\sqrt {5 - \sqrt {11} } \cdot (5 + \sqrt {11} )}}{{14}} = \dfrac{{\sqrt {5 - \sqrt {11} } \cdot (5 + \sqrt {11} )}}{2} = \dfrac{{\sqrt {5 - \sqrt {11} } \cdot \sqrt {5 + \sqrt {11} } \cdot \sqrt {5 + \sqrt {11} } }}{2} = \dfrac{{\sqrt {14(5 + \sqrt {11} )} }}{2}$$

№ 6 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: $\dfrac{3}{{\sqrt {4 - \sqrt 7 } }}$

Шешуі: $$ = \dfrac{{3\sqrt {4 - \sqrt 7 } }}{{\sqrt {4 - \sqrt 7 } \cdot \sqrt {4 - \sqrt 7 } }} = \dfrac{{3\sqrt {4 - \sqrt 7 } }}{{4 - \sqrt 7 }} = \dfrac{{3\sqrt {4 - \sqrt 7 } \cdot (4 + \sqrt 7 )}}{{(4 - \sqrt 7 )(4 + \sqrt 7 )}} = \dfrac{{3\sqrt {4 - \sqrt 7 } \cdot (4 + \sqrt 7 )}}{{16 - 7}} = $$ $$\dfrac{{\sqrt {4 - \sqrt 7 } \cdot \sqrt {4 + \sqrt 7 } \cdot \sqrt {4 + \sqrt 7 } }}{3} = \dfrac{{\sqrt {16 - 7)(4 + \sqrt 7 )} }}{3} = \dfrac{{3\sqrt {4 + \sqrt 7 } }}{3} = \sqrt {4 + \sqrt 7 } $$

№ 7 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: $\dfrac{{11}}{{3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 }}$

Шешуі: $$ = \dfrac{{11(3\sqrt 5 - 2\sqrt 7 )}}{{(3\sqrt 5 + 2\sqrt 7 )(3\sqrt 5 - 2\sqrt 7 )}} = \dfrac{{11(3\sqrt 5 - 2\sqrt 7 )}}{{45 - 28}} = \dfrac{{11(3\sqrt 5 - 2\sqrt 7 )}}{{17}}$$

№ 8 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: ${\dfrac{2}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}}$

Шешуі: $$\dfrac{{2\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } \cdot \sqrt {2 - \sqrt 3 } }} = \dfrac{{2\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{{2 - \sqrt 3 }} = \dfrac{{2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \cdot (2 + \sqrt 3 )}}{{(2 - \sqrt 3 )(2 + \sqrt 3 )}} = $$ $$ = 2\sqrt {2 - \sqrt 3 } \cdot \sqrt {2 + \sqrt 3 } \cdot \sqrt {2 + \sqrt 3 } = 2\sqrt {2 + \sqrt 3 } $$

№ 9 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: $\dfrac{1}{{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{5}}}$

Шешуі: $$ = \dfrac{{\left. {{{(\sqrt[3]{3})}^2} - \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{5} + {{(\sqrt[3]{5})}^2}} \right)}}{{(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{5})\left( {{{(\sqrt[3]{3})}^2} - \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{5} + {{(\sqrt[3]{5})}^2}} \right)}} = \dfrac{{\sqrt[3]{{{3^2}}} - \sqrt[3]{{3 \cdot 5}} + \sqrt[3]{{{5^2}}}}}{{3 + 5}} = = \dfrac{1}{8}(\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{{15}} + \sqrt[3]{{25}})$$

№ 10 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: $\dfrac{1}{{\sqrt[3]{3} - 1}}$

Шешуі: $$ = \dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{{3^2}}} + \sqrt[3]{3} \cdot 1 + 1} \right)}}{{(\sqrt[3]{3} - 1)\left( {\sqrt[3]{{{3^2}}} + \sqrt[3]{3} \cdot 1 + 1} \right)}} = \dfrac{{\sqrt[3]{9} + \sqrt[3]{3} + 1}}{2}$$

№ 11 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: $\dfrac{1}{{\sqrt[3]{2} + 1}}$

Шешуі: $$ = \dfrac{{\left( {\sqrt[3]{{{2^2}}} - \sqrt[3]{2} + 1} \right)}}{{(\sqrt[3]{2} + 1)\left( {\sqrt[3]{{{2^2}}} - \sqrt[3]{2} + 1} \right)}} = \dfrac{{\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} + 1}}{3}$$

№ 12 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: $\dfrac{1}{{\sqrt[3]{{49}} - \sqrt[3]{{35}} + \sqrt[3]{{25}}}}$

Шешуі: $$ = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{7^2}}} - \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{{{5^2}}}}} = \dfrac{{\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{5}}}{{\left( {\sqrt[3]{{{7^2}}} - \sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{5} + \sqrt[3]{{{5^2}}}} \right)(\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{5})}} = \dfrac{{\sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{5}}}{{12}}$$

№ 13 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: $\dfrac{4}{{2 - 3 \cdot \sqrt[3]{2}}}$

Шешуі: $$ = \dfrac{{4 \cdot (4 + 6 \cdot \sqrt[3]{2} + 9 \cdot \sqrt[3]{4})}}{{(2 - 3 \cdot \sqrt[3]{2})(4 + 6 \cdot \sqrt[3]{2} + 9 \cdot \sqrt[3]{4})}} = \dfrac{{4(4 + 6 \cdot \sqrt[3]{2} + 9\sqrt[3]{4})}}{{{2^3} - 27 \cdot 2}} = \dfrac{{ - 2(4 + 6 \cdot \sqrt[3]{2} + 9\sqrt[3]{4})}}{{23}}$$

№ 14 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: $\dfrac{1}{{\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}}}$

Шешуі: $$ = \dfrac{1}{{\sqrt[3]{{{3^2}}} - \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{{{2^2}}}}} = \dfrac{{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}}{{(\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2})\left( {\sqrt[3]{{{3^2}}} - \sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{{{2^2}}}} \right)}} = \dfrac{{\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}}}{5}$$

№ 15 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: $\dfrac{1}{{\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2}}}$

Шешуі: $$ = \dfrac{{(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2})}}{{(\sqrt[4]{3} + \sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2})}} = \dfrac{{\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2}}}{{\sqrt 3 - \sqrt 2 }} = $$ $$ = \dfrac{{(\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2}) \cdot (\sqrt 3 + \sqrt 2 )}}{{(\sqrt 3 - \sqrt 2 )(\sqrt 3 + \sqrt 2 )}} = (\sqrt[4]{3} - \sqrt[4]{2})(\sqrt 3 + \sqrt 2 )$$

№ 16 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: ${\dfrac{1}{{\sqrt[4]{2} - 1}}}$

Шешуі: $$ = \dfrac{{1 \cdot (\sqrt[4]{2} + 1)}}{{(\sqrt[4]{2} - 1)(\sqrt[4]{2} + 1)}} = \dfrac{{\sqrt[4]{2} + 1}}{{\sqrt 2 - 1}} = \dfrac{{(\sqrt[4]{2} + 1)(\sqrt 2 + 1)}}{{(\sqrt 2 - 1)(\sqrt 2 + 1)}} = $$ $${ = (\sqrt[4]{2} + 1)(\sqrt 2 + 1)}$$

№ 17 Бөлшек бөліміндегі иррационалдықтан құтылыңыз: ${\dfrac{6}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 }}}$

Шешуі: $${ = \dfrac{{6 \cdot (\sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 5 )}}{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5 )(\sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 5 )}} = \dfrac{{6 \cdot (\sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 5 )}}{{{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 )}^2} - {{(\sqrt 5 )}^2}}} = }$$ $${ = \dfrac{{6 \cdot (\sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 5 )}}{{{{(\sqrt 2 + \sqrt 3 )}^2} - {{(\sqrt 5 )}^2}}} = \dfrac{{6 \cdot (\sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 5 )}}{{5 + 2\sqrt 6 - 5}} = \dfrac{{\sqrt 6 \sqrt 6 \cdot (\sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 5 )}}{{2\sqrt 6 }} = }$$ $${ = \dfrac{{\sqrt 6 \cdot (\sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 5 )}}{2} = \dfrac{{\sqrt {12} + \sqrt {18} - \sqrt {30} }}{2} = \dfrac{{2\sqrt 3 + 3\sqrt 2 - \sqrt {30} }}{2}}$$

№ 18 Өрнекті ықшамдаңыз: ${\left( {\dfrac{2}{{\sqrt 3 - 1}} + \dfrac{3}{{\sqrt 3 - 2}} + \dfrac{6}{{3 - \sqrt 3 }} - 3} \right) \cdot \dfrac{2}{{\sqrt 3 + 5}}}$

Шешуі: $${ = \left( {\dfrac{{2(\sqrt 3 + 1)}}{{(\sqrt 3 - 1)(\sqrt 3 + 1)}} + \dfrac{{3(\sqrt 3 + 2)}}{{(\sqrt 3 - 2)(\sqrt 3 + 2)}} + \dfrac{{6(3 + \sqrt 3 )}}{{(3 - \sqrt 3 )(3 + \sqrt 3 )}} - 3} \right) \cdot \dfrac{{2(\sqrt 3 - 5)}}{{(\sqrt 3 + 5)(\sqrt 3 - 5)}} = }$$ $${ = (\sqrt 3 + 1 - 3\sqrt 3 - 6 + 3 + \sqrt 3 - 3) \cdot \dfrac{{5 - \sqrt 3 }}{{11}} = }$$ $${ = \dfrac{{ - (\sqrt 3 + 5)(5 - \sqrt 3 )}}{{11}} = \dfrac{{ - 22}}{{11}} = - 2}$$

№ 19 Өрнекті ықшамдаңыз: $\left( {\dfrac{2}{{\sqrt {19} + \sqrt {17} }} + \dfrac{2}{{\sqrt {17} + \sqrt {15} }} + \sqrt {15} } \right) \cdot \sqrt {19} $

Шешуі: $$ = \left( {\dfrac{{2(\sqrt {19} - \sqrt {17} )}}{{(\sqrt {19} + \sqrt {17} )(\sqrt {19} - \sqrt {17} )}} + \dfrac{{2(\sqrt {17} - \sqrt {15} )}}{{(\sqrt {17} + \sqrt {15} )(\sqrt {17} - \sqrt {15} )}} + \sqrt {15} } \right) \cdot \sqrt {19} = $$ $$ = (\sqrt {19} - \sqrt {17} + \sqrt {17} - \sqrt {15} + \sqrt {15} ) \cdot \sqrt {19} = \sqrt {19} \cdot \sqrt {19} = 19$$

№ 20 Өрнекті ықшамдаңыз: $\left( {\dfrac{{12}}{{\sqrt 7 - 1}} \cdot \dfrac{{18}}{{\sqrt 7 + 5}} - 4\sqrt 7 } \right)(\sqrt 7 + 1)$

Шешуі: $$ = \left( {\dfrac{{12(\sqrt 7 + 1)}}{{(\sqrt 7 - 1)(\sqrt 7 + 1)}} \cdot \dfrac{{18(\sqrt 7 - 5)}}{{(\sqrt 7 + 5)(\sqrt 7 - 5)}} - 4\sqrt 7 } \right) \cdot (\sqrt 7 + 1) = $$ $$ = (2(\sqrt 7 + 1) \cdot ( - (\sqrt 7 - 5)) - 4\sqrt 7 ) \cdot (\sqrt 7 + 1) = $$ $$ = ((2\sqrt 7 + 2) \cdot (5 - \sqrt 7 ) - 4\sqrt 7 ) \cdot (\sqrt 7 + 1) = $$ $$ = (10\sqrt 7 + 10 - 14 - 2\sqrt 7 - 4\sqrt 7 ) \cdot (\sqrt 7 + 1) = $$ $$ = (4\sqrt 7 - 4)(\sqrt 7 + 1) = 4(\sqrt 7 - 1)(\sqrt 7 + 1) = 4 \cdot 6 = 24$$

№ 21 Өрнекті ықшамдаңыз: $\dfrac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }} - \dfrac{{\sqrt {2 - \sqrt 3 } }}{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }}$

Шешуі: $$ = \sqrt {\dfrac{{{{(2 + \sqrt 3 )}^2}}}{{(2 - \sqrt 3 )(2 + \sqrt 3 )}}} - \sqrt {\dfrac{{{{(2 - \sqrt 3 )}^2}}}{{(2 + \sqrt 3 )(2 - \sqrt 3 )}}} = $$ $$ = 2 + \sqrt 3 - 2 + \sqrt 3 = 2\sqrt 3 $$

№ 22 Өрнекті ықшамдаңыз: ${\dfrac{9}{{5 - \sqrt 7 }} - \dfrac{1}{{\sqrt 7 + \sqrt 5 }} + \dfrac{{22}}{{7 + \sqrt 5 }}}$

Шешуі: $${ = \dfrac{{9(5 + \sqrt 7 )}}{{(5 - \sqrt 7 )(5 + \sqrt 7 )}} - \dfrac{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}{{(\sqrt 7 + \sqrt 5 )(\sqrt 7 - \sqrt 5 )}} + \dfrac{{22(7 - \sqrt 5 )}}{{(7 + \sqrt 5 )(7 - \sqrt 5 )}} = }$$ $${ = \dfrac{{5 + \sqrt 7 }}{2} - \dfrac{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}{2} + \dfrac{{7 - \sqrt 5 }}{2} = \dfrac{{5 + \sqrt 7 - \sqrt 7 + \sqrt 5 + 7 - \sqrt 5 }}{2} = 6}$$

№ 23 Өрнекті ықшамдаңыз: $\dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }} + \dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 }}{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }} - \dfrac{{\sqrt 5 + 1}}{{\sqrt 5 - 1}}$

Шешуі: $$ = \dfrac{{{{(\sqrt 5 - \sqrt 3 )}^2}}}{{(\sqrt 5 + \sqrt 3 )(\sqrt 5 - \sqrt 3 )}} + \dfrac{{{{(\sqrt 5 + \sqrt 3 )}^2}}}{{(\sqrt 5 - \sqrt 3 )(\sqrt 5 + \sqrt 3 )}} - \dfrac{{{{(\sqrt 5 + 1)}^2}}}{{(\sqrt 5 - 1)(\sqrt 5 + 1)}} = $$ $$ = \dfrac{{8 - 2\sqrt {15} }}{2} + \dfrac{{8 + 2\sqrt {15} }}{2} - \dfrac{{6 + 2\sqrt 5 }}{4} = $$ $$ = \dfrac{{8 - 2\sqrt {15} + 8 + 2\sqrt {15} - 3 - \sqrt 5 }}{2} = \dfrac{{13 - \sqrt 5 }}{2}$$

№ 24 Өрнекті ықшамдаңыз: ${\dfrac{{\sqrt[3]{{{{(6 - \sqrt {35} )}^2}}}}}{{\sqrt[3]{{6 + \sqrt {35} }}}} + \sqrt {35} }$

Шешуі: $${\dfrac{{\sqrt[3]{{{{(6 - \sqrt {35} )}^2}}} \cdot \sqrt[3]{{{{(6 + \sqrt {35} )}^2}}}}}{{\sqrt[3]{{6 + \sqrt {35} }} \cdot \sqrt[3]{{{{(6 + \sqrt {35} )}^2}}}}} + \sqrt {35} = \dfrac{{\sqrt[3]{{(6 - \sqrt {35} )(6 + \sqrt {35} ){)^2}}}}}{{6 + \sqrt {35} }} + \sqrt {35} = }$$ $${ = \dfrac{1}{{6 + \sqrt {35} }} + \sqrt {35} = \dfrac{{6 - \sqrt {35} }}{{(6 + \sqrt {35} )(6 - \sqrt {35} )}} + \sqrt {35} = 6 - \sqrt {35} + \sqrt {35} = 6}$$

№ 25 Өрнекті ықшамдаңыз: $\dfrac{{\sqrt[3]{{{{(8 - \sqrt {63} )}^2}}}}}{{\sqrt[3]{{8 + \sqrt {63} }}}} + \sqrt {63} + 2005$

Шешуі: $${ = \dfrac{{\sqrt[3]{{{{((8 - \sqrt {63} )(8 + \sqrt {63} ))}^2}}}}}{{\sqrt[3]{{8 + \sqrt {63} }} \cdot \sqrt[3]{{{{(8 + \sqrt {63} )}^2}}}}} + \sqrt {63} + 2005 = \dfrac{1}{{8 + \sqrt {63} }} + \sqrt {63} + 2005 = }$$ $${ = \dfrac{{8 - \sqrt {63} }}{{(8 + \sqrt {63} )(8 + \sqrt {63} )}} + \sqrt {63} + 2005 = 8 - \sqrt {63} + \sqrt {63} + 2005 = 2013}$$

 

Осы тақырыптағы посттар

Пікір қалдыру

Сіздің электронды почтаңыз жарияланбайды, Міндетті жолдарды толтырып шығыңыз.