Алгебрадан қысқаша анықтамалық

Арифметикалық амалдар

$ab+ac=a(b+c)$

$\dfrac{\dfrac{a}{b}}{c}=\dfrac{a}{bc}$

$\dfrac{a}{c}+\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad+bc}{bd}$

$\dfrac{a-b}{c-d}=\dfrac{b-a}{d-c}$

$\dfrac{ab+ac}{a}=b+c, a\neq 0$

$\dfrac{a}{\dfrac{b}{c}}=\dfrac{ac}{b}$

$a\left( \dfrac{b}{c}\right) =\dfrac{ab}{c}$

$\dfrac{a}{b}-\dfrac{c}{d}=\dfrac{ad-bc}{bd}$

$\dfrac{a+b}{c}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{b}{c}$

$\dfrac{\dfrac{a}{b}}{\dfrac{c}{d}}=\dfrac{ad}{bc}$

Дәреженің қасиеттері

$a^{n}a^{m}=a^{n+m}$

$\left( a^{n}\right) ^{m}=a^{nm}$

$\left( ab\right) ^{n}=a^{n}b^{n}$

$a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$

$\left( \dfrac{a}{b}\right) ^{-n}=\left( \dfrac{b}{a}\right) ^{n}=\dfrac{b^{n}}{a^{n}}$

$\dfrac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}=\dfrac{1}{a^{m-n}}$

$a^{0}=1,a\neq 0$

$\left( \dfrac{a}{b}\right) ^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$

$\dfrac{1}{a^{-n}}=a^{n}$

$a ^{\frac{n}{m}}=\left( a ^{\frac{1}{m}}\right) ^{n}=\left( a ^{n}\right) ^{\frac{1}{m}}$

Түбірдің қасиеттері

$\sqrt[n] {a}=a^{\dfrac{1}{n}}$

$\sqrt[n] {\sqrt[m] {a}}=\sqrt[nm] {a}$

$\sqrt[n] {a^{n}}=a$, егер $n$ тақ болса

$\sqrt[n] {a^{n}}=\left| a\right|$, егер $n$ жұп болса

$\sqrt[n] {ab}=\sqrt[n] {a}\cdot \sqrt[n] {b}$

$\sqrt[n] {\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt[n] {a}}{\sqrt[n] {b}}$

Теңсіздіктердің қасиеттері

Егер $a \lt b$ болса, онда $a+c \lt b+c$ және $a-c \lt b-c$

Егер $a \lt b$ және $c \gt 0$ болса, онда $ac \lt bc$ және $\dfrac{a}{c} \lt\dfrac{b}{c}$

Егер $a \lt b$ және $c \lt 0$ болса, онда $ac \gt bc$ және $\dfrac{a}{c} \gt \dfrac{b}{c}$

Модульдің қасиеттері

$\left| a\right| =\begin{cases}a,a\geq 0\\ -a,a \lt 0\end{cases}$

$\left| a\right| \geq 0$

$\left| -a\right| =\left| a\right|$

$\left| \dfrac{a}{b}\right| =\dfrac{\left| a\right| }{\left| b\right| }$

Арақашықтықтың формуласы

$P_{1}\left( x_{1};y_{1}\right)$ және $P_{2}\left( x_{2};y_{2}\right)$ нүктелерінің ара қашықтығы мына формуламен анықталады

$d\left( P_{1},P_{2}\right) =\sqrt{\left( x_{2}-x_{1}\right) ^{2}+\left( y_{2}-y_{1}\right) ^{2}}$

Комплекс сандар

$i=\sqrt{-1}$, $i^{2}=-1$, $\sqrt{-a}=i\sqrt{a},a\geq 0$

$(a + bi) + (c + di) = a + c + (b + d) i$

$(a + bi) - (c + di) = a - c + (b - d) i$

$(a + bi)(c + di)=ac - bd + (ad + bc) i$

$(a+bi)(a-bi)=a^{2}+b^{2}$

$\left| a+bi\right| =\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ Комплекс санның модулі

$\left( a+bi\right) ^{\ast }=a-bi$ Комплекс санның түйіндесі

$\left( a+bi\right) ^{\ast }\cdot \left( a+bi\right) =\left| a+bi\right| ^{2}$